湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期拔尖创新人才培养竞赛（初赛）数学 含解析

湖南省邵阳市20232024学年高一上学期拔尖创新人才培养竞赛（初赛）数学试题一、选择题（每题5分，共25分）1.已知集合A={x|x²5x+6<0}，B={x|2x3>0}，则A∩B等于（）A.{x|2<x<3}B.{x|3<x<4}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<4}2.函数f(x)=log₂(x²3x+2)的定义域是（）A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(3,4)3.已知复数z满足|z1|=2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在△ABC中，若∠A=60°，a=5，b=7，则c的长度是（）A.2√3B.4√3C.6√3D.8√35.已知数列{an}是等差数列，且a₁=2，d=3，则a₅/a₃的值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（每题5分，共25分）6.函数f(x)=2sin(x)+cos(x)的周期是______。7.若等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²n，则a₃=______。8.已知函数f(x)=x²4x+3，若f(x)≥0，则x的取值范围是______。9.在△ABC中，若a²=b²+c²2bccosA，则∠A的大小是______。10.已知函数g(x)=2x1，若g(x)>0，则x的取值范围是______。三、解答题（每题10分，共30分）11.已知函数f(x)=x³3x²+2x，求f(x)的单调区间。12.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求∠C的大小。13.已知等比数列{an}的首项a₁=2，公比q=3，求该数列的前5项和。四、证明题（15分）14.已知数列{an}是等差数列，且a₁=1，d=2，证明：数列{an²}是等差数列。五、综合题（20分）15.已知函数f(x)=log₂(x²2x+3)，求证：对于任意实数x，都有f(x)≥1。解析：1.集合A的解为x²5x+6<0，即(2,3)，集合B的解为2x3>0，即x>3/2。交集为(2,3)，选C。2.解不等式x²3x+2>0，得解为x<1或x>2，选C。3.解不等式|z1|=2，得解为z在以(1,0)为圆心，半径为2的圆上，选A。4.根据余弦定理，c²=a²+b²2abcosC，代入a,b,C的值计算，选C。5.根据等差数列的通项公式an=a₁+(n1)d，代入a₁,d,n的值计算，选B。6.f(x)的周期为2π，因为sin(x)和cos(x)的周期都是2π。7.由Sn=3n²n，计算得a₃=5。8.解不等式x²4x+3≥0，得解为x≤1或x≥3。9.由余弦定理，代入a,b,c的值计算，得∠A=90°。10.解不等式2x1>0，得解为x>1/2。11.求导数f'(x)=3x²6x+2，令f'(x)=0，解得x=1/3或x=2。根据导数的符号变化确定单调区间。12.根据余弦定理，代入a,b,c的值计算，得∠C=90°。13.根据等比数列的前n项和公式计算。14.根据等差数列的性质，证明{an²}的相邻两项之差为常数。15.利用对数函数的性质和不等式证明。1.答案获取建议联系学校或竞赛组织方：直接咨询邵阳市教育部门或竞赛主办方，获取试题答案。关注教育论坛或社区：在数学教育论坛或竞赛交流群中，可能有其他用户分享相关资源。知识点分类1.集合与函数：集合的交集、并集运算。函数的定义域、值域及单调性分析。2.三角函数：三角函数的周期性、性质及图像。解三角不等式。3.复数：复数的几何意义及其运算。复平面上的点表示。4.数列：等差数列和等比数列的通项公式及求和公式。数列的单调性与极限。5.不等式：一元二次不等式的解法。含绝对值的不等式求解。6.几何：余弦定理及其应用。解析几何中的距离与角度问题。7.导数与函数分析：导数的计算及其在研究函数性质中的应用。函数的单调性、极值与最值。题型分析选择题：主要考察学生对基础概念和性质的理解，如集合运算、函数定义域等。填空题：侧重于计算和推理能力，如周期计算、数列求和等。解答题：涉及综合运用能力，包括不等式证明、函数性质分析、几何问题求解等。3.示例题解析选择题：