2025年高考数学复习难题速递之数列（2025年4月）

第37页（共37页）2025年高考数学复习难题速递之数列（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025春•沙坪坝区校级月考）正项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，已知函数f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．2472．（2025•重庆校级模拟）已知函数f(x)=x2-x2．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．453．（2025•临潼区二模）函数f(x)=x-1x(x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]4．（2025春•鼓楼区校级月考）已知数列{bn}满足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），设数列{1bn}的前n项和为TnA．910 B．1011 C．1112 5．（2025•道里区校级二模）已知函数f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，记方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．346．（2025•平谷区一模）在等比数列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，记Tn＝a1a2…an（n＝1，A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项7．（2025春•上海校级月考）已知等差数列{an}的首项为正数，其前n项和Sn满足S5＝S13，则当Sn取到最大值时，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或118．（2025•开福区校级模拟）在数列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈NA．anB．TnC．anD．8Tn＝10an﹣3二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•昌黎县校级模拟）某同学抛掷一枚质地均匀的骰子，规定：若掷得数字不大于4，则加1分；若掷得数字大于4，则加2分．每次投掷互不影响，记某同学一共得n分的概率为pn，则（）A．p2B．p3C．3pD．p（多选）10．（2025•临汾二模）已知数列{an}满足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，则下列说法正确的是（）A．a3＝9 B．{an}是单调递增数列 C．若Tn为数列{an(n+1)3n}D．若对任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，则﹣3≤λ≤1（多选）11．（2025春•广东月考）已知数列{an}满足an+2+an≥2an+1，数列{bn}满足bn=ean，Tn为数列{bn}A．b8B．bn+k+1•bn﹣k﹣1＜bn+k•bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，则b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，则a8的最大值为12（多选）12．（2025•信阳模拟）对于给定数列{cn}，如果存在常数p，q使得cn+1＝pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“H数列”．下列说法正确的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，则数列{an}是“H数列” B．若bn=3⋅2n-1，n∈N*，则数列{bC．若数列{an}是“H数列”，则数列{an+an+1}不是“H数列” D．若数列{an}满足a1＝2，an+an+1=3t⋅2n(n∈N+)，t三．填空题（共4小题）13．（2025•浦东新区模拟）已知数列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n项的和Sn满足：①存在小于1013的正整数t，使得S2t+1＝﹣1；②对任意的正整数k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．则满足以上条件的数列{Sn}（1≤n≤2025）共有个．14．（2025春•安徽月考）已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}为递增数列，a1＝a，则a的取值范围是．15．（2025春•禅城区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，an+1=an+1，n为奇数an+2，n为偶数，则a5＝；数列{（﹣1）n﹣1an16．（2025春•双流区月考）在数列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，当n≥20时，1a2+1a3+⋯+1a四．解答题（共4小题）17．（2025•江西模拟）设{xn}和{yn}是整数数列，若对于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我们就称数列{xn}和{yn}为一组耦合数列．（1）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，且∀n∈N*，都有xn＝yn，且x1＝x2＝1，求数列{xn}的通项公式；（2）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，证明：(x（3）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，探究是否存在实数c，使得对于某个m∈N*，从x1，x2，⋯，xm中任取一个数，这个数是c的概率大于49%，并说明理由．18．（2025春•沙坪坝区校级月考）记Sn是公差大于0的等差数列{an}的前n项和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比数列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，证明：数列{bn}的前n19．（2025春•南海区校级月考）数列{an}、{bn}满足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．20．（2025•潮阳区校级模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{2an4+1

2025年高考数学复习难题速递之数列（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADABCCAD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDABCACAB一．选择题（共8小题）1．（2025春•沙坪坝区校级月考）正项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，已知函数f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．247【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】利用给定条件分析得到x2+an+1x+(an+12)2=0有且仅有一个根，再利用判别式得到【解答】解：因为f(所以f(x)=x[x2因为函数f(则方程x2得到Δ=即an而{an}是正项数列，得到an则an+1+1＝2an+2＝2（an+1），又a1+1＝1+1＝2≠0，得到an令bn＝an+1，a1＝1，且b1＝a1+1＝2，得到{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，则bn=2×2n-故Sn得到S6故选：A．【点评】本题考查等比数列与函数零点的应用，属于中档题．2．（2025•重庆校级模拟）已知函数f(x)=x2-x2．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．45【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】先得到a1=a22-a22及递推公式(a【解答】解；根据题目已知：函数f(x)=x2-x2．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝f（an由题意可知：Sn当n＝1时，a1当n≥2时，Sn两式相减可得：an=a所以an+1＝﹣an，或an当a2，⋯，a20是公差为12的等差数列，且a21＝﹣a20时，a2最小，a1此时a2＝a21＝﹣a20＝﹣a2﹣9，解得a2=-9当a3＝﹣a2且a3，⋯，a21是公差为12的等差数列时，a2最大，a1此时a21＝a3+9＝﹣a2+9＝a2，解得a2=92，此时a综上所述：a1的最大值为452故选：D．【点评】本题考查数列与函数的综合，属于中等题．3．（2025•临潼区二模）函数f(x)=x-1x(x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】A【分析】根据题意可得cn=n(n+1)(n【解答】解：∵1cn=f(n)=Tn=n∴Sn∵Tn＞0，∴{Sn}为递增数列，∵S2∴当n≥2时，53故选：A．【点评】本题考查裂项相消法的应用，属于中档题．4．（2025春•鼓楼区校级月考）已知数列{bn}满足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），设数列{1bn}的前n项和为TnA．910 B．1011 C．1112 【考点】裂项相消法；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】B【分析】根据bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，利用累加法求得bn=n2+【解答】解：因为bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，所以当n≥2时，bn因为b1＝2，也满足bn所以bn因为1b所以T10故选：B．【点评】本题考查累加法以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．5．（2025•道里区校级二模）已知函数f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，记方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．34【考点】数列与三角函数的综合．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】C【分析】由题意得到sin(2x+π6)=13，设θ=2【解答】解：因为函数f(所以f(又方程f(即sin(2因为x∈[π设θ=2x+π6可得方程sinθ=13在θ∈[π2其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即2x1+π6+2x解得x1+x2=4π所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=4故选：C．【点评】本题考查三角函数图象性质的综合应用，属于中档题．6．（2025•平谷区一模）在等比数列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，记Tn＝a1a2…an（n＝1，A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【考点】等比数列的性质；数列的单调性．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式求出an=(-1)n⋅8⋅32-n，进而结合等差数列的求和公式可得Tn=(-1)n(n+1)2×【解答】解：等比数列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，Tn＝a1a2…an设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a1则a1+a1q=-16a1则an则T=(-1)设bn=8∴bn则n≤2时，bn+1bn＞1，即b当n≥3时，bn+1bn＜1，即b则b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞⋯，则b3为最大项，此时T3为正数项，且在正数项中最大；再比较b2和b4，其中一个为第二大的项，由于T4＞0，T2＜0，∴T2为最小项．综上，数列{Tn}有最大项和最小值，T3为最大项，T2为最小项．故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（2025春•上海校级月考）已知等差数列{an}的首项为正数，其前n项和Sn满足S5＝S13，则当Sn取到最大值时，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或11【考点】由等差数列的前n项和求解数列．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】先推出a9+a10＝0，再利用Sn﹣Sn﹣1＝an的正负性得到答案．【解答】解：等差数列{an}的首项为正数，S5＝S13，由于a1＞0，S5＝S13，故0＝S13﹣S5＝a6+a7+...+a13＝4（a9+a10），即0＝a9+a10＝2a1+17d＞17d，得d＜0．这表明当n≤9时，有an当n≥10时，有an所以对2≤n≤9有Sn﹣Sn﹣1＝an＞0，对n≥10有Sn﹣Sn﹣1＝an＜0，这就意味着Sn在n＝9时最大．故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列性质及求和公式的应用，属于中档题．8．（2025•开福区校级模拟）在数列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈A．anB．TnC．anD．8Tn＝10an﹣3【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和，根据所求可对各选项做出判断．【解答】解：由在数列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈等式两边同时除以5n+1，可得an设bn=a所以，数列{bn}是首项为45，公差为2由等差数列的通项公式可得bn=45+对于C，an+1a所以，Tn则5T两式相减可得-4Tn所以Tn=(1对于D，8Tn=(4则8Tn≠10an﹣3．故D错误．故选：D．【点评】本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•昌黎县校级模拟）某同学抛掷一枚质地均匀的骰子，规定：若掷得数字不大于4，则加1分；若掷得数字大于4，则加2分．每次投掷互不影响，记某同学一共得n分的概率为pn，则（）A．p2B．p3C．3pD．p【考点】数列的应用；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．【答案】ACD【分析】由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式可判断AB，由题意得到pn+2=【解答】解：根据题目：规定：若掷得数字不大于4，则加1分；若掷得数字大于4，则加2分．每次投掷互不影响，记某同学一共得n分的概率为pn，掷得数字不大于4的概率为23，大于4的概率为13，所以p2p3=(因为pn+2=23pn+1+13pn，所以3p由3pn+2＝2pn+1+pn，得3（pn+2﹣pn+1）＝﹣（pn+1﹣pn），所以pn+1-所以pn所以p2m＞34所以D正确．故选：ACD．【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．（多选）10．（2025•临汾二模）已知数列{an}满足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，则下列说法正确的是（）A．a3＝9 B．{an}是单调递增数列 C．若Tn为数列{an(n+1)3n}D．若对任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，则﹣3≤λ≤1【考点】数列递推式；数列求和的其他方法．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】ABC【分析】根据累乘法可得an=3nn，即可判断A，根据an+1an＞1【解答】解：由数列{an}满足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，可得an+1an=3nn+1上面各式相乘可得ana1=3上式对n＝1也成立，故a3=3由于an+1an=3nn+1=1+2n-1nan故Tn=(1-1由（﹣1）nλan≤an+1可定(-当n为偶数时，则λ≤3(1-1n+1当n为奇数时，则-λ≤3(1-1n故对任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，则-32≤故选：ABC．【点评】本题考查数列的递推式和数列的单调性、数列的裂项相消求和，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．（多选）11．（2025春•广东月考）已知数列{an}满足an+2+an≥2an+1，数列{bn}满足bn=ean，Tn为数列{bn}A．b8B．bn+k+1•bn﹣k﹣1＜bn+k•bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，则b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，则a8的最大值为12【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】AC【分析】先根据条件得到bn+2bn+1≥bn+1bn≥bnbn-1≥bn-1bn-2≥⋯≥b2b1，A选项，方法1：利用累乘法得到b8b4≥b5b1；方法2：先得到b8b1≥b4b5，故b8b4≥b5b1；B选项，得到bn-k【解答】解：数列{an}满足an+2+an≥2an+1，数列{bn}满足bn=ean，Tn为数列{bn}可得bn＞0，得bn因为an+2+an≥2an+1，所以an+2﹣an+1≥an+1﹣an，所以ean+2依次类推，得到bn对于选项A：b8b7≥b5b对于选项B：由于bn+1b整理得bn+k+1•bn﹣k﹣1≥bn+k•bn﹣k，1≤k＜n，故选项B错误．对于选项C：由于bn+k+1•bn﹣k﹣1≥bn+k•bn﹣k，1≤k＜n，则b50•b51≤b49•b52≤b48•b53≤⋯≤b1•b100，则(b50⋅b51)50≤b1对于选项D：由2an+1≤an+an+2，则an+2﹣an+1≥an+1﹣an，a2025﹣a2024≥a9﹣a8，a2024﹣a2023≥a9﹣a8，a2023﹣a2022≥a9﹣a8，…，a9﹣a8≥a9﹣a8，将以上式子累加得：a2025﹣a8≥2017（a9﹣a8），①另外，a9﹣a8≥a8﹣a7，a9﹣a8≥a7﹣a6，…，a9﹣a8≥a2﹣a1，将以上式子累加得：7（a9﹣a8）≥a8﹣a1，②结合①②式得：a2025-a82017≥显然an＝n符合题意，此时a8＝8，综上所述，a8的最大值为8，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查数列的递推式和不等式的性质、数列的累加法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．（多选）12．（2025•信阳模拟）对于给定数列{cn}，如果存在常数p，q使得cn+1＝pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“H数列”．下列说法正确的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，则数列{an}是“H数列” B．若bn=3⋅2n-1，n∈N*，则数列{bC．若数列{an}是“H数列”，则数列{an+an+1}不是“H数列” D．若数列{an}满足a1＝2，an+an+1=3t⋅2n(n∈N+)，t【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；新定义类．【答案】AB【分析】对于AB，根据给定的数列，利用“H数列”的定义直接计算判断即可；对于C，利用“H数列”的定义推理论证可判断；对于D，根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列的前n项和公式求解即可判断．【解答】解：对于A，因为an＝2n+1，所以an+1＝2（n+1）+1＝2n+3＝2n+1+2＝an+2，n∈N*，由“H数列”的定义知，数列{an}是“H数列”，故A正确；对于B，因为bn=3⋅2所以bn+1＝2bn，n∈N*，由“H数列”的定义知，数列{bn}是“H数列”，故B正确；对于C，因为数列{an}是“H数列”，所以存在实常数p，q使得an+1＝pan+q对于任意n∈N*都成立，显然an+2＝pan+1+q对于任意n∈N*都成立，所以an+2+an+1＝p（an+1+an）+2q对于任意n∈N*都成立，由“H数列”的定义知，数列数列{an+an+1}也是“H数列”，对应的实常数分别为p，2q，故C不正确；对于D，因为an所以a1+a2=3所以数列{an}前2024项的和为S2024＝（a1+a2）+（a3+a4）+⋯+（a2023+a2024）=3t⋅2故选：AB．【点评】本题考查数列新定义的应用，涉及并项求和法及等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•浦东新区模拟）已知数列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n项的和Sn满足：①存在小于1013的正整数t，使得S2t+1＝﹣1；②对任意的正整数k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．则满足以上条件的数列{Sn}（1≤n≤2025）共有21012﹣1个．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】21012﹣1．【分析】根据Sn的奇偶性结合S2t+1＝﹣1，S1＝1分析可知S2m＝0，进而可得a2＝﹣1，a2k+1【解答】解：因为a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），可知Sn的奇偶性与n的奇偶性一致，对于①，存在小于1013的正整数t，使得S2t+1＝﹣1，对于②，对任意的正整数k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1，可知|S2m﹣S2k﹣1|为奇数，即|S2m﹣S2k﹣1|＝1，令k＝t+1，则|S2m﹣S2t+1|＝|S2m+1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝﹣2；令k＝1，则|S2m﹣S1|＝|S2m﹣1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝2，综上所述：对任意的正整数m，S2m＝0且a1＝1，可得a2＝﹣1，a2即a1，a2确定，a2k+1，a2k+2不相等，有2种可能，此时S2n＝0，S2n﹣1＝±1，条件②满足，对于数列{Sn}（1≤n≤2025）可知：（a3，a4），（a5，a6），⋯，（a2023，a2024），a2025均有2种可能，则满足条件的数列共有22024-22又因为存在小于1013的正整数t，使得S2t+1＝﹣1，可知对任意k∈N*，k≤1012，a2k+1＝1不成立，即a3＝a5＝⋯＝a2025＝1这种情况不符合题意，综上所述：符合题意的数列共有21012﹣1个．故答案为：21012﹣1．【点评】本题考查数列递推公式的应用，属于难题．14．（2025春•安徽月考）已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}为递增数列，a1＝a，则a的取值范围是（0，1）．【考点】数列递推式；数列的单调性．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（0，1）．【分析】当n＝1时，求得a2＝1；当n≥2时，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，作差推导出数列{an}的奇数项和偶数项分别成以1为公差的等差数列，根据数列的单调性得出a1＜a2＜a3，即可解得实数a的取值范围．【解答】解：由各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}为递增数列，a1＝a，可知对任意的n∈N*，an≠0，且a≠0，当n＝1时，则有S1＝a1＝a1a2，解得a2＝1，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，这两个等式作差可得an＝an（an+1﹣an﹣1），可得an+1﹣an﹣1＝1，所以，数列{an}的奇数项和偶数项分别成以1为公差的等差数列，且a3＝a1+1＝a+1，因为数列{an}为递增数列，只需a1＜a2＜a3即可，即a＜1a+1＞1，解得因此，实数a的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义，以及数列的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．15．（2025春•禅城区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，an+1=an+1，n为奇数an+2，n为偶数，则a5＝6；数列{（﹣1）n﹣1an}【考点】数列求和的其他方法；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】6；2n．【分析】由数列的递推式计算a2，a3，a4，a5；由数列的并项求和，计算可得所求和．【解答】解：由a1＝0，an+1=a可得a2＝a1+1＝1，a3＝a2+2＝3，a4＝a3+1＝4，a5＝a4+2＝6；数列{（﹣1）n﹣1an}的前2n+1项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a2n﹣1﹣a2n+a2n+1＝0+2+2+...+2＝2n．故答案为：6；2n．【点评】本题考查数列的递推式和数列的并项求和，考查转化思想和运算能力，属于基础题．16．（2025春•双流区月考）在数列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，当n≥20时，1a2+1a3+⋯+1a【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（﹣∞，1]．【分析】由数列的递推式可得1an=an+1-a【解答】解：因为anan+1＝n，a1＝1，所以a2＝1，当n≥2时，an﹣1an＝n﹣1，所以anan+1﹣an﹣1an＝1，所以1a所以1a2+1a3+1a4+...+1an=a3﹣a1+a4﹣a2+a5﹣a3+...+an+1﹣an﹣1＝an+an+1﹣因为1a2+1a3+1a4+...当n≥20时，1a所以2λ≤2，解得λ≤1．所以实数λ的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查数列的递推式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•江西模拟）设{xn}和{yn}是整数数列，若对于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我们就称数列{xn}和{yn}为一组耦合数列．（1）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，且∀n∈N*，都有xn＝yn，且x1＝x2＝1，求数列{xn}的通项公式；（2）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，证明：(x（3）若数列{xn}和{yn}为一组耦合数列，探究是否存在实数c，使得对于某个m∈N*，从x1，x2，⋯，xm中任取一个数，这个数是c的概率大于49%，并说明理由．【考点】数列的应用．【专题】应用题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．【答案】（1）xn＝1；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．【分析】（1）利用给定条件化简得到xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2，再结合x1＝x2＝1求解通项公式即可．（2）利用给定定义对(x（3）利用给定定义得到x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t【解答】解：（1）根据题目定义：设{xn}和{yn}是整数数列，若对于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我们就称数列{xn}和{yn}为一组耦合数列．因为∀n∈N*，xn＝yn，所以（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝2（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）＝0，即xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2.又x1＝x2＝1，且∀n∈N*，故xn＝1，即{xn}的通项公式为xn＝1．（2）证明：因为（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝0，所以((x(y（3）由（2）知{(又{xn}和{yn}是整数数列，则∃a∈N，使得对于某个t∈N*，∀n＞t，有(x此时(x-[(xn+1-xn)2+(yn+1-yn)取此t∈N*，则xt＝xt+2＝xt+4＝⋯＝xt+10000t＝x10001t．令c＝xt，则x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t即从x1，x2，⋯，x10001t中任取一个数，这个数是c的概率为5000t+110001t＞500010001＞从x1，x2，⋯，xm中任取一个数，这个数是c的概率大于49%．【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．18．（2025春•沙坪坝区校级月考）记Sn是公差大于0的等差数列{an}的前n项和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比数列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，证明：数列{bn}的前n【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）an＝n；Sn（2）证明见解析．【分析】（1）首先设出公差，利用等比中项的性质建立方程，解出公差，进而求出an，再利用公式法求和得到Sn即可．（2）利用给定条件得到bn，进而结合裂项相消法得到Tn，最后利用n＞0证明Tn＜1即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，因为a3，a5+1，a13﹣1成等比数列，所以（1+4d+1）2＝（1+2d）×（1+12d﹣1），解得d＝1或d=所以an＝1+n﹣1＝n，Sn（2）证明：由上问得Sn=n所以bn×n得到Tn因为n＞0，所以1n+1＞0，得到1-1【点评】本题考查数列的综合应用，属中档题．19．（2025春•南海区校级月考）数列{an}、{bn}满足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝2n﹣3，bn（2）-12【分析】（1）由题干条件可知{an}是等差数列，由公式法可写出其通项公式，由bn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）可写出{bn}的通项公式，注意验证b1是否满足；（2）由（1）得数列{an•bn}的通项公式，利用错位相减法即可求出其前n项和．【解答】解：（1）数列{an}、{bn}满足：a2＝1，an+1=其中Sn是数列{bn}的前n项和，可得an+1﹣an＝2，则{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a2+（n﹣2）d＝1+2（n﹣2）＝2n﹣3；对于3S当n＝1时，3S1＝b1+2＝3b1，解得b1＝1；所以n≥2时，可得3Sn﹣1＝bn﹣1+2，作差得3（Sn﹣Sn﹣1）＝bn﹣bn﹣1，化简得bn所以{bn}是首项为1，公比为-1所以bn又b1也满足上式，所以bn（2）因为an所以Tn＝﹣1+（-12）1+3×（-12）2+...+（2n﹣3）×（-12-12Tn＝﹣1•（-12）+（-12）2+3×（-12）3+...+（2n①﹣②得，32Tn＝﹣1+2[（-12）1+（-12）2+...+（-12）n﹣1]﹣（2=-整理得：Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（2025•潮阳区校级模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{2an4+1【考点】数列求和的其他方法；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（Ⅰ）an＝2n+1；（Ⅱ）23【分析】（Ⅰ）利用退一相减法可证数列{an}为等差数列，进而可通项公式；（Ⅱ）利用分组求和及裂项相消法可得Tn．【解答】解：（Ⅰ）由Sn+1＝Sn+an+2，可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝an+2，即an+1﹣an＝2，又a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（Ⅱ）由等差数列的求和公式可得Sn则2a所以Tn=12=1=2【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn=a1(1-qn3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则SA．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=n∴SnS1=1，S2∵数列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故选：D．2．数列的单调性【知识点的认识】数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．由于数列{an}中的每一项an与它的序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}．【解题方法点拨】﹣定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性．﹣递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性．﹣数列差：分析数列相邻两项的差an+1﹣an的符号判断单调性．【命题方向】常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A．an＝1﹣nB.aC．an＝2n2﹣5n+1D.a解：根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是递减数列，不符合题意，对于B，an=14n，有an+1﹣an对于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，则an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是递增数列，符合题意，对于D，an=n+3，n≤2，2n-1，故选：C．3．由等差数列的前n项和求解数列【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】﹣设未知数：假设通项公式，利用前n项和公式求解参数．﹣递推关系：利用等差数列的递推关系和前n项和公式推导出通项公式．﹣综合应用：将前n项和公式与通项公式结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式反向推导通项公式，求解数列的具体项．在等差数列{an}中，记Sn为数列{an}的前n项和，已知：a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30．求数列{an}的通项公式．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30，∴2a1+5故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12，故数列{an}的通项公式为：an＝2n﹣12．4．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•a等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．5．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．6．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．7．裂项相消法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：（1）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0【解题方法点拨】裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．【命题方向】常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：12解：因为k(所以原式=(1故答案为：1-18．数列求和的其他方法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】除了常用的方法外，还有其他数列求和的技巧，如变换法、分组法等．﹣变换法：通过对数列进行变换，使其成为已知形式的数列．﹣分组法：将数列项分组，利用分组结果求和．﹣应用：适用于处理复杂的数列和问题，特别是涉及多个数列项的求和．【命题方向】常见题型包括利用其他方法计算数列的前n项和，结合具体数列进行分析．已知数列{an}，Sn为{an}的前n项和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n为奇数解：因为an+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，则数列{bn}是以﹣2015为首项，4为公差的等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1010＝1010×（﹣2015）+1010×10092又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．9．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．10．数列与函数的综合【知识点的认识】数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．【解题方法点拨】1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【命题方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4