2025年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年4月）

第37页（共37页）2025年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025•江西模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线l经过第一、三象限，F为C的右焦点，O为坐标原点，A．x﹣y＝0 B．2x-y=0 C．3x-y=0 2．（2025春•盐都区校级月考）过双曲线C：x2a2-y2=1(a＞0)右支上的点P作C的切线l，F1，F2为双曲线C的左右焦点，N为切线l上的一点，且A．2 B．2 C．52 D．3．（2025•昌黎县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，过F1的直线l交圆x2+yA．355 B．455 C．734．（2025•蚌埠模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为7的直线与C的右支交于A，B两点，且|BF2A．13 B．23 C．14 5．（2025•河西区一模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线的渐近线上的点，满足F1M→⋅F2M→=0，且|A．x2-9y2C．9x216-6．（2025•辽宁一模）设F1，F2是双曲线C：x2-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P（m，n）在A．[-72，7C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]7．（2025•武汉模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，若△PF1F2的内心为Q（xQ，a），且PQ→+3OQ→与A．y＝±x B．y=±2x C．y=±38．（2025•广安模拟）若双曲线x2a2-y2b2=1(A．2或233 B．3 C．2 D二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•湖北模拟）已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，过D且垂直于y轴的直线与CA．|AB|2|OAC．|OD|2|（多选）10．（2025•道里区校级二模）已知P（x0，y0）为双曲线C：x24-y212=1上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面积为126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2内切圆的半径r（多选）11．（2025•鹤壁二模）已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|A．点F1到C的渐近线的距离为3 B．|AB|＝10 C．C的离心率为2 D．分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为15（多选）12．（2025•洮北区校级一模）已知直线l：y＝﹣3x+m（m≠0）与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．三．填空题（共4小题）13．（2025•昌黎县校级模拟）已知直线l交双曲线Γ：x220-y216=1于点A，B，点C（0，4），若△ABC的重心恰好落在双曲线Γ的左焦点14．（2025•黄梅县校级模拟）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，点P为E的右支上的一点，直线PF被圆O：x2+y2＝a215．（2025•吉林三模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过右支上一点A作双曲线C的切线与x轴交于点P，设I为△AF1F2的内心，且3|PF1|＝5|PF216．（2025•石景山区一模）已知双曲线x2﹣my2＝1，若m＝1，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形ABCD为正方形，则m的一个取值为．四．解答题（共4小题）17．（2025•香坊区校级二模）已知直线l：y＝x+1与双曲线M：x2m-y24=1（m＞0）及其渐近线分别交于点A（1）求实数m的取值范围；（2）证明：AC＝BD；（3）若m＝2，过双曲线M上一点P向双曲线N：x2m-y24=λ作切线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，问是否存在这样的λ，使得k1•k2为定值？若存在，求出λ18．（2025•昌黎县校级模拟）已知双曲线E的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求双曲线E的标准方程．（2）直线l1，l2均经过E的右焦点，l1与E交于A，B两点，l2与E交于D，E两点，以AB为直径的圆记作⊙O1，以DE为直径的圆记作⊙O2．①求证：存在定圆与⊙O1相切；②设⊙O1与⊙O2的公共弦所在直线为l，求直线l经过的定点．19．（2025春•沙坪坝区校级月考）双曲线Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，⋯，n)的离心率为414，斜率为k1的直线l1和斜率为k2的直线l（1）求实数m的值；（2）作斜率为k的过原点的直线l（异于l1，l2）与E1，E2，⋯，En的右支分别交于点P1，P2，⋯，Pn，记△AiBiPi的面积为Si（i＝1，2，⋯，n）．（i）求证：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(20．（2025•潮阳区校级模拟）已知等轴双曲线C：x2（1）求双曲线C的方程；（2）已知点A是C上一定点，过点B（0，1）的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．

2025年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACCBABBC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDADACDBC一．选择题（共8小题）1．（2025•江西模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线l经过第一、三象限，F为C的右焦点，O为坐标原点，A．x﹣y＝0 B．2x-y=0 C．3x-y=0 【考点】由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据直线平行与垂直，表示出直线方程，联立求交点，结合中点坐标，代入双曲线方程，可得答案．【解答】解：由题知双曲线C：x2a2设F（c，0），延长FP与l交于点Q，则P为FQ的中点，由y=ba所以P(代入x2得(a结合c2＝a2+b2，得a＝b，所以l的方程是x﹣y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．2．（2025春•盐都区校级月考）过双曲线C：x2a2-y2=1(a＞0)右支上的点P作C的切线l，F1，F2为双曲线C的左右焦点，N为切线l上的一点，且A．2 B．2 C．52 D．【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】先求出双曲线在点P（x0，y0）的切线方程为x0xa2-y0y=1，从而得到切线方程与x轴交点坐标，再由平行关系得到比例关系，得到方程，求出(a-2)(a【解答】解：因为点P在双曲线C：设P（x0，y0），x0＞0，则双曲线在点P（x0，y0）的切线方程为x0令x0xa2-得x=a2故|OB|=a故|B其中|F又x02=(因为ON∥F1P，所以|ON即2a整理得(a显然a2故a﹣2＝0，故a＝2，所以c=所以双曲线的离心率为52故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．3．（2025•昌黎县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，过F1的直线l交圆x2+yA．355 B．455 C．73【考点】双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】过O作OQ⊥MN，设|MN|＝2m，利用几何关系计算m与a的关系，再在△F1OQ中利用勾股定理即可得解．【解答】解：如图，设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，过O作OQ⊥MN，垂足为Q，则|OM|＝|ON|＝a，∴|MQ|＝|NQ|．∵|F1M|＝|PN|，∴|F1Q|＝|PQ|，即Q为线段F1P的中点．∵O为F1F2的中点，∴OQ∥PF2，∴PF2⊥PF1，|PF2|＝2|OQ|．设|MN|＝2m，则|F1M|＝|PN|＝m，∴|PF1|＝4m，|MQ|＝|NQ|＝m，|PF2|＝|PF1|﹣2a＝4m﹣2a，∴|OQ|＝2m﹣a．在Rt△MOQ中，|OQ|2+|MQ|2＝|OM|2，即（2m﹣a）2+m2＝a2，解得m=45a，∴在Rt△F1OQ中，|OQ|2解得c=735a，∴双曲线故选：C．【点评】本题主要考查离心率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．4．（2025•蚌埠模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为7的直线与C的右支交于A，B两点，且|BF2A．13 B．23 C．14 【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】根据同角三角函数关系可得cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，再根据双曲线的定义，设|AF2|＝m，则|BF2|＝3m，结合余弦定理计算可得-4b2+12am=32【解答】解：如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b因为直线AB的斜率为7，所以tan∠所以cos∠AF设|AF2|＝m，则|BF2|＝3m，又|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF1|﹣|AF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+3m，|AF1|＝2a+m，在△BF1F2中，由余弦定理得|B即（2a+3m）2＝（3m）2+（2c）2-2整理得-4在△AF1F2中，由余弦定理得|A即(2a整理得-4所以8am即c=所以b=所以|A故选：B．【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．5．（2025•河西区一模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线的渐近线上的点，满足F1M→⋅F2M→=0，且|A．x2-9y2C．9x216-【考点】双曲线的焦点三角形；双曲线的几何特征．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】根据给定条件可得F1M⊥F2M，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出ba【解答】解：因为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b由F1M→⋅F2M→=0因为|MF1|＝2|MF2|，△MF1F2的面积为209则S△所以|F令双曲线C的半焦距为c，则4c2=即a2直线OM方程为y=tan∠MF1F2=|MF2则ba联立解得a2所以双曲线C的方程为x2故选：A．【点评】本题考查双曲线定义的应用，以及双曲线基本量运算，属于中档题．6．（2025•辽宁一模）设F1，F2是双曲线C：x2-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P（m，n）在A．[-72，7C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【考点】由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解；新定义类．【答案】B【分析】利用坐标计算PF1→⋅PF【解答】解：根据题目：设F1，F2是双曲线C：x2O为坐标原点，点P（m，n）在C上且PF点P（m，n）在C上，则m2-n23=1，且m≤﹣因F1（﹣2，0），F2（2，0），则PF1→则PF解得-72≤m≤故选：B．【点评】本题考查由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数，属于中等题．7．（2025•武汉模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，若△PF1F2的内心为Q（xQ，a），且PQ→+3OQ→与A．y＝±x B．y=±2x C．y=±3【考点】求双曲线的渐近线方程．【答案】B【分析】设P（xp，yp），依题意可设PQ→+3OQ→=λF1F2→【解答】解：设P（xp，yp），依题意可设PQ→+3OQ→=λF1F2→，所以a﹣yp故S△PF1F2=12×2c×4所以|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a．因为F1（﹣c，0），所以|P则3c+a＝exp+a，解得xP＝3a，所以点P的坐标为（3a，4a），代入双曲线方程中，得(3a)2故所求渐近线的方程为y=故选：B．【点评】本题考查双曲线的图象与性质，属于中档题．8．（2025•广安模拟）若双曲线x2a2-y2b2=1(A．2或233 B．3 C．2 D【考点】双曲线的离心率．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】由题意不妨设直线l的方程为xa-yb=1，得bx﹣ay﹣ab＝0，由原点到直线l的距离为38m，得4ab=3【解答】解：由对称性可知，不妨设直线l的方程为xa即bx﹣ay﹣ab＝0，已知原点到直线l的距离为38m，则又2c＝m，∴4ab两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2（c2﹣a2）＝3c4，即3c4﹣16a2c2+16a4＝0，得3e4﹣16e2+16＝0，解得e2＝4或e2∵b＞a＞0，∴b2a2∴e2＝4，故e＝2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•湖北模拟）已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，过D且垂直于y轴的直线与CA．|AB|2|OAC．|OD|2|【考点】双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】由条件分别写出线段|OA|，|OF|，|OD|．由射影定理得到|OD|2＝|OA|•|OF|，即可判断A选项；由勾股定理化简|DF|2|OD|2-1及线段长化简后即可判断B选项；代入线段长化简|OD|2|AO|2即可判断C【解答】解：由题可知|OA|＝a，|OF|＝c，因为AB⊥x轴，且AB交曲线渐近线与点B，所以B（﹣a，b），因为以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，且BD⊥y轴，所以|AB|＝|OD|＝b，又AD⊥DF，由射影定理得|OD|2＝|OA|•|OF|，所以|AB|2又|DF|2又|OD|2由|OD|2＝|OA|•|OF|，得b2＝ac＝c2﹣a2，故c2﹣ac﹣a2＝0，即e2﹣e﹣1＝0，解得e=5+1故选：BCD．【点评】本题主要考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．（2025•道里区校级二模）已知P（x0，y0）为双曲线C：x24-y212=1上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面积为126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2内切圆的半径r【考点】双曲线的其他性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】根据双曲线的几何性质，圆的切线的性质，重心的坐标公式，等面积法，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：因为双曲线C：x2所以a＝2，b=23，c＝4因为G和I分别为△PF1F2的重心和内心，设△PF1F2的内切圆与x轴切于点Q，所以根据圆的切线长相等及双曲线的定义可知：||PF1|﹣|PF2||＝||F1Q|﹣|F2Q||＝2a＝4，又|F1Q|+|F2Q|＝|F1F2|＝2c＝8，所以|F1Q所以|xI|＝a＝2，又GI⊥x轴，所以|xG|＝|xI|＝2，又F1（﹣4，0），F2（4，0），所以|xG|＝|x0+4+(-4)3|=|x0|3=2，所以将|x0|＝6代入双曲线C：x24-y212=1所以△PF1F2的面积为12×|F因为P（±6，±46），F1（﹣4，0所以|PF1|＝14或10，所以C选项错误，因为|PF1|＝14，|PF2|＝10；或|PF1|＝10，|PF2|＝14，设△PF1F2内切圆的半径为r，则根据等面积法可得：166=12×(14+10+8)×r故选：AD．【点评】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的焦点三角形问题，化归转化思想，属中档题．（多选）11．（2025•鹤壁二模）已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|A．点F1到C的渐近线的距离为3 B．|AB|＝10 C．C的离心率为2 D．分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为15【考点】双曲线的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ACD【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理可求得|F1F2|＝4，从而可求得c＝2，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得|AB|判断选项B；点F1作F1E⊥BF2于点E，易知分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D．【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，斜率为15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|双曲线C：x2-y对于A，C，连接BF1，由题意得tan∠BF2F1所以sin∠解得cos∠由于|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，又|BF1|﹣|BF2|＝2a＝2，故|BF1|＝4，设|F1F2|＝2c（c＞0），在△F1F2B中，由余弦定理可得|B即16=(2c)2+4-2×2c故离心率为ca点F1到C的渐近线的距离，即b=c2-a对于B，设|AF2|＝m（m＞0），则|AF1|＝|AB|＝2+m，在△F1F2A中，由余弦定理可得(2+m)2=16+m故|AB|＝2+m＝8，故B错误；对于D，因为|BF1|＝|F2F1|＝4，所以△BF1F2为等腰三角形，过点F1作F1E⊥BF2于点E，因为|F2F1|＝|BF1|＝4，所以E为BF2中点，易知分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，且|F1E故选：ACD．【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．（多选）12．（2025•洮北区校级一模）已知直线l：y＝﹣3x+m（m≠0）与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．【考点】双曲线的中点弦．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BC【分析】由题意可得直线l不平行于渐近线，推得e≠10，联立直线l和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式求得P的坐标，由斜率公式，解不等式可得c＞2a【解答】解：由题意知-ba≠-3，e≠10，设M（x1，y1），N由y=-3x+m，x2a2-y2b2=1，可得（b2﹣9a2）x2Δ＝（6ma2）2+4（b2﹣9a2）（a2m2+a2b2）＝4a2b2（m2+b2﹣9a2）＞0，所以x1+x2=-6ma2b2-9yP＝﹣3xP+m=9ma可得P(所以kOP即b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即为c＞2a，可得e=ca＞2故选：BC．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•昌黎县校级模拟）已知直线l交双曲线Γ：x220-y216=1于点A，B，点C（0，4），若△ABC的重心恰好落在双曲线Γ的左焦点【考点】直线与双曲线的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．【答案】185【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），先由重心坐标公式求出弦AB的中点坐标，再由A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解．【解答】解：根据题目已知：直线l交双曲线Γ：x220-点C（0，4），若△ABC的重心恰好落在双曲线Γ的左焦点F上，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为C（0，4），F（﹣6，0），由重心坐标公式得0+x1+所以弦AB的中点坐标为x1+x22=-9，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，由题意知直线l的斜率存在，则x1≠x2，故x1220-y1216=1x2220-y2216=1，作差得4（x1+x2）•（x将中点坐标代入得k=故答案为：185【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中等题．14．（2025•黄梅县校级模拟）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，点P为E的右支上的一点，直线PF被圆O：x2+y2＝a2+b【考点】直线与双曲线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】85或8【分析】直线PF与圆O的交点为M，连接OM，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，设∠OFN＝α，由题意得cosα=14，由条件PA→⋅PF→=PA→⋅FA→得到|PF|＝|AF|＝c+a，分M在线段PF【解答】解：直线PF与圆O的交点为M，连接OM、AP，令AP的中点为Q，连接FQ．过点P作PN⊥x轴，垂足为N，则F（c，0），|AF|＝c+a，圆O：x2+y2＝c2，|OM设∠OFM＝α，则cosα=因为Q为AP的中点，所以FA→因为PA→⋅PF所以PA⊥FQ，所以|PF|＝|AF|＝c+a，|FN|=|PF若M在线段PF上，则P(因为P在双曲线E：所以(3c-a所以(3c-所以(3e-1)2-15(1+e)e-1=16，整理得9若M在PF延长线上，则P(因为P在双曲线E：所以(a+5c所以(a+5c所以(1+5e)2-15(1+e)e-1=16，整理得25e2故答案为：85或8【点评】本题主要考查圆与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．15．（2025•吉林三模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过右支上一点A作双曲线C的切线与x轴交于点P，设I为△AF1F2的内心，且3|PF1|＝5|PF2【考点】双曲线的定点及定值问题．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】53；8【分析】由题意有AP是角∠F1AF2的角平分线，由角平分线定理有|PF1||PF2|=|【解答】解：由双曲线的光学性质有：AP是角∠F1AF2的角平分线，由角平分线定理可知，|P∵|F1F2|＝2c，∴|P由双曲线定义可知|AF1|﹣|AF2|＝2a，∴|AF1|＝5a，|AF2|＝3a，在△AF1F2中，由余弦定理可得，4c∴4c2＝49a2，∴e2=c2a2=连接F1I，∵I为△F1F2内心，∴F1I是∠AF1F2的角平分线，在△AF1P中，由角平分线定理可知|AI故答案为：53；8【点评】本题考查双曲线定义与性质的应用，属于中档题．16．（2025•石景山区一模）已知双曲线x2﹣my2＝1，若m＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形ABCD为正方形，则m的一个取值为12（答案不唯一）【考点】求双曲线的渐近线方程．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】y＝±x；12（答案不【分析】第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得1m【解答】解：因为双曲线x2﹣my2＝1，当m＝1时，双曲线为x2﹣y2＝1，此时a2＝b2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．又x2其渐近线方程为y=要使双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形ABCD是正方形，根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等，则1m＞1，解得0＜m＜1故答案为：y＝±x；12（答案不【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•香坊区校级二模）已知直线l：y＝x+1与双曲线M：x2m-y24=1（m＞0）及其渐近线分别交于点A（1）求实数m的取值范围；（2）证明：AC＝BD；（3）若m＝2，过双曲线M上一点P向双曲线N：x2m-y24=λ作切线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，问是否存在这样的λ，使得k1•k2为定值？若存在，求出λ【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的定点及定值问题．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）（0，4）∪（4，5）；（2）证明过程见解析；（3）不存在，理由见解析．【分析】（1）由题意，将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式即可求解；（2）根据韦达定理和中点坐标公式得点E，进而联立直线方程可得点C，D坐标，即可得CD与AB的中点重合，进而即可得证；（3）根据相切可利用判别式为0得k1，k2为方程(2-【解答】解：（1）联立y=x+1x2m-y24=1，消去y并整理得（4﹣m）此时m＞解得实数m的取值范围为（0，4）∪（4，5）；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知x1+x设AB的中点为E（x0，y0），此时x0所以y0即E(因为双曲线的渐近线方程为y=联立y=解得C(同理得D(所以CD的中点为(m此时CD与AB的中点重合，则AE＝EB，CE＝ED，故AC＝BD；设过P（x3，y3）且与双曲线N：x22-y24=λ相切的直线方程为y﹣即y＝kx+y3﹣kx3，联立y=kx+y3此时2-整理得(x此时x32-所以k1若k1•k2为定值，此时2=-解得λ=则k1•k2＝2，此时Δ1故不存在λ，使得k1•k2为定值．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．（2025•昌黎县校级模拟）已知双曲线E的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求双曲线E的标准方程．（2）直线l1，l2均经过E的右焦点，l1与E交于A，B两点，l2与E交于D，E两点，以AB为直径的圆记作⊙O1，以DE为直径的圆记作⊙O2．①求证：存在定圆与⊙O1相切；②设⊙O1与⊙O2的公共弦所在直线为l，求直线l经过的定点．【考点】直线与双曲线的综合；抛物线的定点及定值问题．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）x2-y23=1；（2）①证明见解析；【分析】（1）根据题意有双曲线E经过点P（﹣1，0），R（2，3）代入方程即可求解；（2）①先讨论直线AB的斜率不存在和斜率为0的情况，猜想所求圆为⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，再讨论当直线AB的斜率不为0时，设AB：x＝my+2，与双曲线方程联立即可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理有y1+y2，y1y2，得AB的中点O1(-23m2-1，-6m②当直线DE的斜率不为0时，设DE：x＝ny+2，计算圆O2，圆O1的方程和圆O2的方程相减得公共弦所在直线l的方程，化简即可得定点．【解答】解：（1）由题意可知，双曲线E经过点P（﹣1，0），R（2，3）．设双曲线E的方程为x2-y2b2=1(b＞0)，把点R所以双曲线E的方程为x2（2）①当直线AB的斜率不存在时，⊙O当直线AB的斜率为0时，⊙O结合对称性，猜想所求圆为⊙S：（x﹣3）2+y2＝4．当直线AB的斜率不为0时，设AB：x＝my+2，联立x=得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则3m所以AB的中点O1|AB=1+所以⊙O又⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，则S（3，0），半径为2，所以|O所以|O当3m2﹣1＞0时，⊙O1与⊙S的半径之和r1所以r1+r2＝|O1S|，⊙O1与⊙S外切；当3m2﹣1＜0时，⊙O1与⊙S的半径之差的绝对值|r所以|r1﹣r2|＝|O1S|，⊙O1与⊙S内切．综上所述，存在定圆（x﹣3）2+y2＝4与⊙O1相切．②当直线DE的斜率不为0时，设DE：x＝ny+2，则⊙O即x2+又⊙O即x2+两圆方程①﹣②，得直线l的方程为4(14(14(14(14(1(1即(1令y＝0，得x＝﹣1，所以直线l经过定点（﹣1，0）．【点评】本题考查双曲线与圆的方程的综合应用，属于难题．19．（2025春•沙坪坝区校级月考）双曲线Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，⋯，n)的离心率为414，斜率为k1的直线l1和斜率为k2的直线l（1）求实数m的值；（2）作斜率为k的过原点的直线l（异于l1，l2）与E1，E2，⋯，En的右支分别交于点P1，P2，⋯，Pn，记△AiBiPi的面积为Si（i＝1，2，⋯，n）．（i）求证：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(【考点】直线与双曲线的综合．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）16；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．【分析】（1）根据离心率公式得到方程，解出即可；（2）（i）通过联立方程求出Ai，Bi，Ai+1，Bi+1的坐标，再利用两点斜率公式即可证明平行；（ii）利用点到直线的距离公式和三角形面积公式求出Si的表达式，利用导数求出其值域，最后再利用放缩和裂项相消法即可证明不等式．【解答】解：（1）∵双曲线Ei∴x2∵Ei的离心率e=∴e=∴m＝16，（2）（i）证明：联立：y=则25x即x2∴x=ai即：Ai同理，Bi∴kA同理，Ai∴kA∴kA即AiBi∥Ai+1Bi+1．（ii）证明：由（i）知：当若k1＝1，k2＝0时，Ai(1lAiB同理有：Pi∴Pi到AiBi的距离d=∵△AiBiPi的面积为Si（i＝1，2，⋯，n），∴Si令f(则f'令f′（k）＜0，解得0＜k＜58，令f′（k则当0＜k＜58时，f（k）单调递减；当5∴f(x)≥f(58)=34，当k因此f(∴Si∴Si又∵i≥2时，1i∴S=【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于难题．20．（2025•潮阳区校级模拟）已知等轴双曲线C：x2（1）求双曲线C的方程；（2）已知点A是C上一定点，过点B（0，1）的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的标准方程；双曲线的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）x2﹣y2＝1；（2）A(2，1)，λ=【分析】（1）由等轴双曲线知a＝b，再由焦点可得双曲线C的方程；（2）设lPQ与点A、P、Q的坐标，由斜率之和为定值建立方程，根据韦达定理化简讨论方程根的情况即可．【解答】解：（1）由题意a＝b，a2+b2＝c2＝2，解得a＝b＝1，所以双曲线C的标准方程为x2﹣y2＝1．（2）设A（m，n），过点B的动直线为：y＝kx+1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2-y2=1y=kx+1得（1﹣k2）x所以1-k2≠0Δ=4k2+8(1-k2)＞0x1+x2=因为kAP+kAQ＝λ，即y1-n化简得(2k所以(2k化简得m（λm﹣2n）k2+2（λm﹣n﹣1）k+2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，由于上式对无穷多个不同的实数k都成立，所以m(如果m＝0，那么n＝﹣1，此时A（0，﹣1）不在双曲线C上，舍去．因此m≠0，从而λm＝2n＝n+1，所以n＝1，代入2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，得2λ＝λm2，解得m=±2，此时A综上，A(2，1)，λ=【点评】本题考查双曲线的方程和直线与双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．抛物线的定点及定值问题【知识点的认识】定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最值．【解题方法点拨】1．计算定点距离：利用抛物线方程计算点到定点的距离．2．应用定值：解决与定值相关的几何问题．【命题方向】﹣给定抛物线的定点和定值，求解相关问题．﹣分析定点问题的几何特征及应用．2．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程x2a2-y2b2=1中心在原点，焦点在x轴上y2a2-x2b2=1中心在原点，焦点在y轴上图形顶点（a，0）和（﹣a，0）（0，a）和（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2离心率e=ca（e＞e=ca（e＞渐近线x2即y＝±bay2即y＝±ab准线x＝±ay＝±a3．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数【知识点的认识】已知双曲线的焦点位置和焦距2c，可以求解a和b，从而得到标准方程．【解题方法点拨】1．计算a和b：由焦距和焦点位置计算a和b．2．代入标准方程：求得双曲线的标准方程．【命题方向】﹣给定焦点和焦距，求解双曲线的方程或参数．﹣利用焦点和焦距计算标准方程．4．求双曲线的渐近线方程【知识点的认识】双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线x2a2-y2b【解题方法点拨】1．计算斜率：利用ba2．代入方程：写出渐近线方程．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程．﹣利用标准方程计算渐近线方程．5．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y6．双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y7．求双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的离心率e是e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：利用公式e=2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求离心率．﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．8．双曲线的其他性质【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）x2a2-y2