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齐次化方法在圆锥曲线中的应用齐次化的数学定义和原理

“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在数学中，齐次式是指一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子.例如：

就是一个二次齐次式，因为每一项都是关于

和

的二次项.齐次方程则是指满足某个齐次式的方程.齐次化方法的课本探源选择性必修一

习题3.36.如图，直线

与抛物线

相交于

两点，求证：AxyB

分析：

设

要证：

只要证：齐次化方法的应用例1：已知椭圆

，直线

，设直线

与椭圆

相交于

两点，直线

的斜率成等比数列（其中

为坐标原点），求

的面积的取值范围.

思考如果不是从坐标原点出发的两条直线的斜率关系呢？

齐次化方法的课本探源选择性必修一

习题2.211.设点

在直线

上，求证：这条直线的方程还可以写成：齐次化方法的课本探源从向量几何的角度理解直线：视角一：视角二：齐次化方法的数学本质思考：如果不是从坐标原点出发的两条直线的斜率关系呢？

只要化为关于

的齐次方程

即可.数学本质并没有变化——从整体上用代数方法转译几何关系，而方程

正是关于

的一次齐次方程.齐次化方法的应用例2：若直线

与椭圆

相交于

两点（

不是左右顶点），且以

为直径的圆过椭圆

的右顶点.求证：直线

过定点，并求出该定点的坐标.分析：课堂小结齐次化在圆锥曲线中的应用步骤：1.设直线与圆锥曲线相交于两点

和.2.联立直线和圆锥曲线的方程，得出齐次方程.3.利用韦达定理，得到斜率之和或斜率之积的表达式.（目的）通过齐次化处理，将复杂的表达式转化为简单的代数形式，从而简化计算.（效果）课堂小结齐次化方法一般应用于：（1）题设条件中满足三个点都在圆锥曲线上，其中一个点为定点;(2)定点与两个动点连线的斜率之和、斜率之积关系.课后作业2022年全国新高考1卷已知点

在双曲线

上，直线

交

于

两点，直线

的斜率之

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