定理（第1课时）（课件）七年级数学下册（苏科版2024）

12.4定理（1）第1课时学习目标1.了解定理、推理的意义；初步理解定理在公理体系中的作用；2.通过证明三角形的内角和定理及其推论，进一步掌握证明的基本形式与规则.问题情境三角形三个内角的和是多少？你是怎么知道的？知识回顾三角形三个内角的和等于180°.3231平角：180°你认为这个结论正确吗？怎么证明？知识回顾证明一个命题的一般步骤有哪些?1.在“已知”后面写出命题的条件；2.在“求证”后面写出命题的结论；3.从已知出发，由“因为……，所以……组成一步推理；4.从已知和上一步推理的结果出发，通过一系列推理，推出“结论”.探索与思考证明：三角形三个内角的和等于180°.思考：1.这个命题的条件是什么？结论是什么？2.根据命题的条件怎么画图形？3.结合图形，怎么写已知、求证？探索与思考证明：三角形三个内角的和等于180°.ABC已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.结合上面的拼图过程，思考怎样将∠A、∠B、∠C“搬”到一起？探索与思考证明：三角形三个内角的和等于180°.ABC已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.可以通过画平行线

实现拼图中的“搬”角.FE探索与思考证明：三角形三个内角的和等于180°.ABCFE证法1：作边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB.∵CE∥AB，∴∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等).∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换).探索与思考证明：三角形三个内角的和等于180°.ABCD12证法2：如图，过点C作CD∥AB.∵

CD∥AB，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(两直线平行,内错角相等).∵∠1＋∠ACB＋∠2＝180°(平角的定义)∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°(等量代换).讨论与交流三角形内角和定理的证明思路是什么？

运用平行线的性质,将三个内角“搬”到一个顶点处，合并成一个平角即可证明.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．归纳与总结ABC符号语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.归纳与总结

一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem).定理可以作为证明后续命题的依据.例题讲解例1证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.DABC已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角.求证：∠ACD＝∠A＋∠B.∴∠ACD＝180°－∠ACB，∠A＋∠B＝180°－∠ACB(等式性质).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换).证明：∵∠ACD

＋∠ACB＝180°(平角的定义)，∠A＋∠B

＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，归纳与总结

由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．归纳与总结符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.DABC拓展与提升例2已知：如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2.ABDCQ12P你能想到几种证明方法？拓展与提升例2已知：如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2.ABDC12P证明：∵∠BDC是△DPC的一个外角(已知)∴∠BDC＝∠DPC＋∠2(三角形内角和定理的推论

).同理可得

∠DPC＝∠A＋∠1.∴

∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2.

(等量代换).新知巩固1.已知：如图，如图,AC、BD相交于点O.求证:∠A＋∠B＝∠C＋∠D.CBADO证法1：在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°(三角形内角和定理)，∴∠A＋∠B＝180°

－∠AOB(等式性质).在△CDO中，同理可得

∠C＋∠D

＝180

°

－∠COD.∵∠AOB

＝∠COD(对顶角相等)，∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代换).新知巩固1.已知：如图，如图,AC、BD相交于点O.求证:∠A＋∠B＝∠C＋∠D.CBADO证法2：∵∠AOD是△AOB的一个外角(已知)∴∠AOD＝∠A＋∠B(三角形内角和定理的推论

).同理可得

∠AOD＝∠C＋∠D.∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代换).新知巩固变式

如图，∠A与∠B的和等于∠OCD与∠ODC的和吗？为什么？CBADO证明：在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°(三角形内角和定理)，∴∠A＋∠B＝180°

－∠O(等式性质).在△CDO中，同理可得

∠OCD＋∠ODC＝180

°

－∠O.∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代换).解：逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.这个逆命题是真命题.新知巩固2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明.ACB已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余.求证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∵∠A与∠B互余(已知)，∴∠C＝180

°－(∠A＋∠B)(等式性质).∴

∠A＋∠B＝90

°(互余的定义).∴∠C＝180

°－90

°

＝90

°

(等量代换).∴△ABC是直角三角形

(直角三角形的定义).三角形内角和定理课堂总结三角形内角和定理的推论定理和推论的概念定理和推论的关系当堂检测基础过关1.如图，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD等于()A．75°B．80°C．105°D．54°ADABC当堂检测基础过关2.

如图，AB、CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝

64°

⁠.

64°BDACO当堂检测基础过关3.已知∠A，∠B为直角三角形ABC的两个锐角，若∠B＝54°，则∠A的度数为

85°

⁠.ABC36°当堂检测基础过关4.

如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数为

85°

⁠.

85°DABCE当堂检测基础过关5.已知：如图，在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．ABCD证明：

∵∠ACB＝90°(已知)，∴

∠A＋∠B＝90°

(直角三角形的两个锐角互余).∵

∠ACD＝∠B(已知)，∴∠A＋∠ACD＝90°(等量代换).∴∠ADC＝90°(有两个角互余的三角形是直角三角形),即CD⊥AB(垂直定义).当堂检测能力提升1.含30°角的直角三角尺与直线l1、l2的位置关系如图所示，若l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1的度数为(

B

)ABCDl11l2BA.70°C.40°B.60°D.30°当堂检测能力提升2.

如图，在△ACB中，∠A＋∠B＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E，则图中共有

5

⁠个直角三角形.

5ABC