瞬时变化率与导数第1课时-高二下学期数学人教B版选择性

6.1.2课时1瞬时变化率与导数人教B版(2019)选择性必修第三册1.理解瞬时变化率、导数的概念．2.理解导数的几何意义．3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．上节已经学习了函数的平均变化率和物体运动的平均速度的概念，二者有何关系？

阅读下列实例，回答问题：实例1：一个小球从高空自由下落，其下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为，其中，g为重力加速度(g取9.8m/s2).估算小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式，可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度有时用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出5s到5.1s这段时间内的平均速度用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况.如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.解：将时间间隔每次缩短为上次的，计算出相应的平均速度，得到下表.可以看岀，当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49m/s,因此，可以认为小球在t0=5s

这个时刻的瞬时速度为49m/s.从上面的分析和计算可以看岀，瞬时速度为49m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49m.可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.707kg/m.实例2：如图,一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m.设x(单位:m)表示OX这段棒的长,y(单位:kg)表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：

估计该合金棒在x=2m处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量).解：由，可以计算出相应的平均线密度，得到下表.从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.707kg/m的物理意义是:如果有1m长的这种线密度的质量均匀的合金棒，其质量将为0.707kg.与实例1类似，同学们也可以动手计算当x1从“左侧”趋近于x0=2m时的平均线密度,会发现也趋于0.707kg/m.据此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度约为0.707kg/m.实例1和实例2都是通过减小自变量的改变量（为计算方便选取，也可以选取等）,用平均变化率“逼近”瞬时变化率.1.函数的瞬时变化率

2.导数

讨论：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？

变式1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度.解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，即物体的初速度为1m/s.解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.变式2：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.

方法归纳解：f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4kg的食品.例2一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3)=3.5,试解释它们的实际意义.f'(3)=3.5表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品.

1.物体运动函数为s(t)=3t2(位移单位:m，时间单位:s)，若当Δt趋于0时，

趋于18m/s，则下列说法中正确的是(

)A.18m/s是物体从0s到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3