专题16 圆中的辅助线模型（原卷版）

专题16.圆中的辅助线模型在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题例1．（2023•江苏中考一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（）A．25° B．35° C．45° D．55°例2．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）.如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交千点．若，则弧的度数为．

例3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．例4．（2023·湖南长沙初三二模）如图，在中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的长为___．模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。例1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（）米A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5例2．（2023·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（）A．3 B．4 C． D．例3．（2023·广东九年级专题练习）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（）A．50m B．45m C．40m D．60m例4．（2023·哈尔滨市九年级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（）A．2 B． C．3 D．模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）【模型解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。例1．（2023·江苏淮安·校考二模）如图，是的外接圆，，则的度数为（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·江苏·九年级校考周测）若圆心角，则（）

A． B． C． D．例3．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则°例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。例1．（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°例2．（2023·江苏·统考中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径．

例3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，和分别是半圆的直径和弦，且，点是上的点，交于点，垂足为点，且：：，若，则．模型5、遇90°的圆周角连直径【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。例1．（2023·河南周口·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小姝测量了一个圆月门尺寸，如图，她测得门下矩形的边高为0.3米，的长为1米，小姝测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小姝想做一个等大的木质模具（不包含）修缮后固定支撑圆月门，则木质模具的总长度为米，（结果保留π）

例2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图所示，直径为的经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则为（

）

A． B． C． D．例3．（2023·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为．（结果保留）

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）【模型解读】如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。AABCO已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。例1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点D在的延长线上，切圆于点C，如果，，那么线段的长是．

例3．（2022春·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，是圆的直径，是切线，是切点，弦，与的延长线交于点，，则（

）

A． B． C． D．模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）【模型解读】证明直线AB是⊙O的切线.ABABCO遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．例1．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．求证：是的切线；

例2．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．

例3．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．(1)求证：是的切线．(2)若，，求图中阴影部分的面积．

例4．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．

模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。例1．（2023秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（

）A．8 B． C． D．例2．（2023·云南红河·九年级统考期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则．

例3．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数

课后专项训练1．（2023·广西初三一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（）A．6 B．12 C．6 D．62．（2023·扬州市初三一模）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（）度.A．74 B．106 C．117 D．1273．（2023·浙江九年级期中）已知的直径与弦交于点，且，则的度数是（）A． B． C． D．4．(2023.江苏省初三期末)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°5．（2023年重庆市中考数学真题）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2023·广东·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（）A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则7．（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知的内接正四边形，点是上任意一点（除、两点外）则的度数是（

）

A． B． C．或 D．或8．（2023秋·山西朔州·九年级校联考期中）如图，为的直径，半径的垂直平分线交于点C，D，交于点E，若，则的长为（

）A． B．4 C． D．69．（2022春·广东深圳·九年级校考周测）如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（

）

A． B．3 C． D．10．（2023秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，则的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm11．（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形中，点E在以B为圆心的弧上，射线交于F，连接，若，则（）．

A．2 B． C． D．12．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，的半径为10，弦，点M是弦上的动点且点M不与点A、B重合，若的长为整数，则这样的点M有几个？（

）

A．4 B．5 C．7 D．913．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）简易直尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），为三角板与直尺的交点，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若点处刻度为4，点处刻度为6，则该量角器的直径长为（

）

A．2 B． C．4 D．14．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）如图，为的直径，为的弦，连接、，若，则的度数为度．

15．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，的弦，点E为垂足，，，且则的半径为．

16．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则和的度数分别为．

17．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，的内切与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为．

18．（2023·江苏九年级期中）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．19．（2023·江苏连云港初三月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为_____________20．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）如图，的两条半径与互相垂直，垂足为点O，点C为上一点，连接并延长交于点D．若，则的值为．

21．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．22．（2023·南京九年级月考）（定义）圆心到弦的距离叫做弦心距．（探究）等弧所对弦