高2024级高一下期中期考试数学试题

高2024级高一下期中期考试数学试题命题人：程远见一、单项选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若复数，则＝A．2 B． C．10 D．2．已知平面向量＝（1，3），＝（2，﹣1），若⊥（+λ），则实数λ的值为A．10 B．8 C．5． D．33．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且=2，则的面积为A． B． C． D．4.下列说法正确的是A.若空间四点共面，则其中必有三点共线B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D.若空间四点不共面，则任意三点不共线5．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是A． B．4 C．8 D．6．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则r＝A．1.5 B．2 C．3 D．3.257.已知正方体的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为A. B. C. D.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为A． B． C． D．二、多项选择题(本题共3个小题,每小题6分,共18分;在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)9．已知z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论正确的是A．若z1z2＝0，则z1＝0 B．若，则z1+z2是实数 C．若，则z1是纯虚数 D．若，则z1＝z210.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，△ABC的面积，则A． B．C． D．11．如图1，扇形ABC的弧长为24π，半径为，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中（）A．圆锥的表面积为 B．当M为AB中点时，线段MN的长为C．存在M，使得MN⊥AB D．三、填空题(本题共3个小题,每小题5分,共15分)12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为13．18世纪英国数学家辛卜森推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积),我们也称为“万能求积公式”.例如,已知球的半径为,可得该球的体积为;已知正四棱锥的底面边长为,高为,可得该正四棱锥的体积为.类似地,运用该公式求解下列问题:如图,已知球的表面积为,若用距离球心都为的两个平行平面去截球,则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为.14.锐角的内角所对边分别是且,若变化时,存在最大值,则正数的取值范围四、解答题(本题共5个小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题13分)已知向量，，.(1)求向量与的夹角的大小；(2)若向量，（），当取得最小值时，求.16.(本小题15分)如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，点G在棱BB1上，且AE＝C1F＝B1G＝1，点H是棱B1C1中点．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．17.(本小题15分)已知分别是对边，且．点为三角形内部一点，且满足．(1)求角；(2)若，求的值；18.(本小题17分)现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB＝6，PO1＝2，求该几何体的体积．（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO1＝2．（i）求正四棱锥P﹣A1B1C1D1的侧面积．（ii）若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值．19.(本小题17分)在中，，，对应的边分别为，，，.(1)求；(2)若为边中点，，求的最大值；(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式