二项式系数的性质课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性

6.3.2二项式系数的性质新课引入

被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右.1、理解二项式系数的性质；2、会用赋值法求展开式系数的和；3、会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题。学习目标新知探究

1112113311464

1151010511615201561探究1

：用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.杨辉三角形通过计算，填表，你发现了什么规律？为了便于发现规律,上表还可以写成如下所示的形式:观察上图，你还能发现哪些规律?①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.即：②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

即：16152015611510105114641133112111③同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.新知探究

新知探究

二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的：在中间项取得最大值.

1.对称性由此我们可得二项式系数有以下性质：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．rf(r)O1235101520456

图象的对称轴为

2.增减性与最大值

rf(r)O1235101520456

1.二项展开式的系数和（赋值法）练习:P34练习14

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：(1)a1+a2+…+a7；例

3令x=0，得a0=-1.令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128，

①∴a1+a2+…+a7=129.(2)a1+a3+a5+a7；(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.(2)a1+a3+a5+a7；令x=-1，则a0-a1+…+a6-a7=(-4)7，

②由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，∴a1+a3+a5+a7=8

256.(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.

二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),2.在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,即所有奇数项系数之和为976562.

例

1-640两个二项式积与三项展开式问题

求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决.

反思感悟

跟踪训练

1

(2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为

.

30(1)实数1.9965的近似值为

.(精确到0.001)

例

2

31.681整除和余数问题及近似值问题(2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.(2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.

反思感悟

例

3√二项展开式中的系数最值问题

5

反思感悟(1)求二项式系数的最大值，依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解.(2)求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组求解二项展开式中系数的最值策略

跟踪训练

3√√

1.知识清单：(1)两个二项式积与三项展开式问题.(2)整除和余数问题及近似值问题.(3)二项展开