2025年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷

2025年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，5有一项是符合题

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遥四个数中（）

A.-yB.2C.ITD.-1

2.（4分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为

3.（4分）第三十三届夏季奥运会中，来自全球206个国家和地区的代表团的10500位运动员齐聚巴黎,

向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴.中国体育代表团在这次奥运会中获得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

4.（4分）如图，已知直线/〃力将含30°角的直角三角板按如图方式放置，则/2的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.（4分）估计加（泥4巧）的值应在（)

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

6.（4分）下列计算正确的是（）

A.。+2。=3。2B.a54-a2=a3

C.（-/D.(2a3)2=2心

7.（4分）如图，已知N8,BC,在同一平面内，以8C为边在该正〃边形的外部作正方形8cW.若/

ABN=126°()

第1页（共28页）

C.8D.6

8.（4分）甲、乙两人在2025年新上映的四部热门电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没重启未

来》《封神第二部：战火西岐》中各自随机选择了一部影片观看（两人选择每部电影的机会均等），则两

人恰好选择同一部影片进行观看的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

3243

9.（4分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃,加热到100℃,水温开始下降，此时

水温y（℃）（min）成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，水温y与通电时间x之间

的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）

A.水温从20℃加热到100℃,需要4加沅

B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是了盘.

x

C.上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃

D.在一个加热周期内水温不低于40°。的时间为Smin

10.（4分）对于实数a,b,定义新运算a*6=.a?-ab（a＞b）,若函数了=代（2x-1）（）

b2-ab（a＜b）

①方程x*（2x-1）=0的解为x=0或x=l；

②关于x的方程x*（2x7）有三个解，贝!J0＜加＜工；

2

③当x＜工时，y随x增大而增大；

2

④当时，函数y=x*（2x7）有最大值0.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）

第2页（共28页）

11.（4分）分解因式：x2-5x—.

12.（4分）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋

中摸出一个球，摸到白球的频率是0.4,则袋中约有红球个.

13.（4分）在一次函数y="-5）x-3中，y随x的增大而减小，则左的值可以是（任

意写出一个符合条件的数即可）.

14.（4分）如图，扇形纸扇完全打开后，扇形/8C的面积为1200111?加2,ZBAC=12Q°,BD=2AD,则

BD的长度为.

15.（4分）如图，在菱形/2CZ）中，N4BC=60°,连接/P,将沿着4P折叠，连接。E,点F是

DE的中点，则C尸的最小值为.

三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）

1・1

16.（7分）计算：|一/§|-2sin60°+（-）+（2025-兀）

2（x_l）+1>-5

（分）解不等式组，，并写出它的所有正整数解.

17.7上1夕i+x

18.（7分）如图，四边形45CD是矩形，点£和点尸在边上，求证：AF=DE.

19.（8分）【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如图①所示，它的侧面可视作

如图②，NC为支撑杆，CD为电脑托板，C转动，测得NC=16c%

【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据

任务1：若/B/C=30°,/ACD=75°,求此时电脑托板的最高点。离底板AB的距离（精确到0.1cm,

第3页（共28页）

加心1.41）.

【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究.

任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于120。角（如图③，/CDE>120。.现小甬同学为陈

老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕助垂直于底板/以点C到底板N3的距离S是4cm,问

这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由.

（参考数据：sinl4.48°仁0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°20.25）

20.（8分）如图，Zk/BC中，ZACB=90°,以点。为圆心，。。为半径作圆与48相切于点。

（1）求证：NABC=2N4CD；

（2）若。。的半径为3,AC=8,求8C的长.

21.（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目.为了解学生

的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百

分制，用x表示），70Wx<80,80Wx<90

下面给出了部分信息：

70Wx<80的成绩为：

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

第4页（共28页）

创意设计比赛成绩的频数分布直方图创意设计比赛成绩的扇形统计图

根据以上信息解决下列问题:

(1)请补全频数分布直方图;

(2)所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是分;

(3)请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数;

(4)根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按2：3的比例确定这次活动各人的综合

成绩.

某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下:

创意设计比赛科技竞赛

甲的成绩9590

乙的成绩9295

通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高?

22.（10分）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境,

某学校决定扩大图书馆面积，现需购进20个书架用于摆放书籍，

【素材呈现】

素材一：有/，3两种书架可供选择，/种书架的单价比2种书架单价高20%；

素材二：用14400元购买/种书架的数量比用9000元购买8种书架的数量多6个；

素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的工；

3

【问题解决】

问题一：求出43两种书架的单价；

问题二：设购买。个/种书架，购买总费用为w元，求w与。的函数关系式

23.（10分）物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）（厘米）与

所挂物体质量x（千克）之间的关系，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，并修改了表中

第5页（共28页）

这个数据.

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你认为表中第次数据了是错误的？正确的值是y=.

（2）观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上

（3）当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量.

（4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为xi,记录对应的弹簧长度为口；第二次所挂物体的质

量为X2,记录对应的弹簧长度为JV2,当X2-Xl=14时，夕2-yi的值为.

24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a?+6x-3（°、6为常数且aWO）.

（1）若抛物线经过点（3,0）、（2,-3）两点，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，当直线/：y=x+a与抛物线交于点/、3时（点N在点3的左侧），使得△N5C

的面积最大？若存在，请求出点C的坐标，请说明理由；

（3）若抛物线的对称轴为直线x=l,当直线y=x+a与抛物线y=a/+bx-3有两个交点时，直接写出

a的取值范围.

备用图

25.（12分）在直角三角形纸片N5C中，ZBAC=90a,AC=6

【数学活动】

将三角形纸片N3C进行以下操作：①折叠三角形纸片N5C,使点。与点N重合，得到折痕②将

△DEC绕点。顺时针方向旋转得到△。aG,点E,G,当直线G尸与边/C相交时交点为与边

相交时交点为N.

【数学思考】如图1：

第6页（共28页）

(1)折痕DE的长为_________________；

(2)试判断与ME的数量关系，并证明你的结论；

【数学探究】

(3)如图2,当直线GB经过中点N时，求此时的长度；

【问题延伸】

(4)在△DEC绕点。旋转的过程中，当DG,3c时，是否存在点M,请求的长度；若不存在

EC

图1图2备用图

第7页(共28页)

2025年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

题号12345678910

答案A.DC.ACBBCDB

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，5有一项是符合题

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遍四个数中（）

A.-V5B.2C.TTD.-1

【解答】解：V-V5<-1<3<TT,

，最小的数是：-■'/弓.

故选：A.

2.（4分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功.如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为

)

从正面看

故选：D.

3.（4分）第三十三届夏季奥运会中，来自全球206个国家和地区的代表团的10500位运动员齐聚巴黎,

向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴.中国体育代表团在这次奥运会中获得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

【解答】解：10500=1.05X104.

第8页（共28页）

故选：c.

4.（4分）如图，已知直线机〃”将含30°角的直角三角板N2C按如图方式放置，则N2的度数为（

A.20°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：•..直线机〃小

AZ2+ZABC+Z\+ZBAC^1SQ0,

VZABC^30°,ZBAC=9Q°,

.".Z2=180°-30°-90°-40°=20°,

故选：A.

5.(4分)估计版(72W3)的值应在(）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

【解答】解：V8(V3+V8)

=我xVs+V?X72

=V24+4

=4通+4，

•/V8<V6<V6.25,

8<V6<2.7,

/.4<2V3<5,

8<4V6+4<7,

故选：C.

6.(4分)下列计算正确的是()

A.a+2a=3a2B.a5-i-a2=a3

C.(-〃)2・Q3=_/D.(2/)2=2Q6

【解答】解：Q+2Q=3Q,则4不符合题意;

Q6+Q2=“3,则B符合题意；

(-a)8・Q3=Q5,则。不符合题意；

（6〃3）2=8Q6,则。不符合题意;

第9页（共28页）

故选：B.

7.（4分）如图，已知48,BC,在同一平面内，以为边在该正〃边形的外部作正方形BCMN.若/

C.8D.6

【解答】解：在同一平面内，以8C为边在该正〃边形的外部作正方形8cMM

:./NBC=90°,

：.ZABC=360°-90°-126°=144°,

...正"边形的一个外角为180°-144°=36°,

:.n的值为即&—=10,

36°iu

故选：B.

8.（4分）甲、乙两人在2025年新上映的四部热门电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没重启未

来》《封神第二部：战火西岐》中各自随机选择了一部影片观看（两人选择每部电影的机会均等），则两

人恰好选择同一部影片进行观看的概率是（）

A.-1B.AC.AD.Z

3243

【解答】解：把《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没重启未来》《封神第二部：战火西岐》四部影

片分别记为/、B、C、D,画树状图如下：

由树状图可知：共有16种等可能的结果，其中二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，

•••两人恰好选择同一部影片进行观看的概率是-乞=9，

164

故选：C.

9.（4分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃,加热到100℃,水温开始下降，此时

水温y（°C）（min）成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，水温V与通电时间x之间

的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）

第10页（共28页）

A.水温从20℃加热到100℃,需要4加〃

B.水温下降过程中，夕与X的函数关系式是y=幽

X

C.上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃

D.在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为Smin

【解答】解：水温从20℃加热到100℃,需要的时间为（100-20）4-20=4（min）,

正确，不符合题意；

设水温下降过程中，y与x的函数关系式是>=&,

X

将坐标（4,100）代入y=K,

X

得ioo=K,

8

解得左=400,

水温下降过程中，y与x的函数关系式是>=理2,

x

正确，不符合题意；

当y=20时，得20=驷L,

y

解得y=20,

水温从20℃加热到100℃,再降到20℃所用时间为20min,

'20x+20（0<x<4）

水温与通电时间之间的函数关系式为>=«400-,，

yX-^（3<x<20）

X

上午10点到10：30共30分钟，则30-20=10（分钟），

当x=10时，得了=%,

10

上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃,

；.C正确，不符合题意；

当0WxW4时，当y=40时，

第11页（共28页）

解得％=6,

当4<xW20时，当y=40时，得理2,

X

解得％=10,

10-1=2(min),

・••在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9mm,

工。不正确，符合题意.

故选：D.

10.(4分)对于实数a,b,定义新运算a*6=,a"ab(a>b),若函数尸状⑵-1)(

b2-ab(a<b)

①方程x*(2x-1)=0的解为x=0或x=l；

②关于x的方程x*(2x-1)=机有三个解，则OWmvL；

2

③当时，歹随x增大而增大；

2

④当X>JL时，函数y=x*(2x7)有最大值0.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①当x22x-l时，即xW3,

x*(2x-1)

=、3-X(2x-1)

=x3-2X2+X

=-x8+x,

；・-x2+x=0,

：・x=7或x=l；

当％V2x-8时，即x>l,

x*(2x-5)

=(2x-1)8-x(2x-1)

=5x2-4x+5-2X2+X

=4x2-3x+2,

2x2-6x+l=0.

.,.x=8(不符合题意)或％=工(不符合题意)，

2

第12页(共28页)

综上所述，方程X*(4x-1)=0的解为x=6或x=l.

②由①可得：当x22x-4时，即xWl?+x=-(x-旦)2+—,

24

A-x2+x的最大值为

4

当x<2尤-7时，即X>12-6X+1=2(x--)--,

44

2x2-5x+l的最小值为--1,

4

综上，于X的方程X*(2x-1)=加有三个解〈工.

8m3

.••②的结论不正确；

当x<1时，y=-x2+x,

V-4<0,

...抛物线的开口方向向下，X<A,

5

.•.③的结论正确；

当x>l时，函数了=2》6-3x+l=5(x--)-―,

48

V2>6,

抛物线的开口方向向上，x>l,

.•.当x>工时，函数y=x*(2尤-1)没有最大值.

4

④的结论不正确.

综上，正确的结论有：①③.

故选：B.

二、填空题：(本大题共5个小题，每小题4分，共20分.)

11.(4分)分解因式：/-5x=x(x-5).

【解答】解：X2-5x=x(x-3).

故答案为：x(x-5).

12.(4分)一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋

中摸出一个球，摸到白球的频率是0.4,则袋中约有红球12个.

【解答】解：由题意可得，

袋中约有红球：84-0.6-8

=20-8

第13页(共28页)

=12（个），

故答案为：12.

13.（4分）在一次函数y="-5）x-3中，夕随x的增大而减小，则左的值可以是1（答案不唯一）（任

意写出一个符合条件的数即可）.

【解答】解：•••在一次函数》=（左-5）x-3中，y随x的增大而减小，

：.k-7<0,

解得：k<5,

为正整数，

左值可以为3（答案不唯一）.

故答案为：1（答案不唯一）.

14.（4分）如图，扇形纸扇完全打开后，扇形4BC的面积为1200TTC/,/R4c=120°,BD=2AD,则

BD的长度为40。力.

【解答】解：^AD=xcm,则5D=24D=2xCM由题意可得，

120K2£lMl=12oOTr,

360

解得x=20（负值舍去），

.".BD=2x=4Q（cm）.

故答案为：40cm.

15.（4分）如图，在菱形/BCD中，ZABC=60°,连接/尸，将尸沿着4P折叠，连接点尸是

的中点，则CF的最小值为,芥-1.

【解答】解：延长。C至点。，使得CD=CQ,EQ,

,点尸是。E的中点，

第14页（共28页）

:.CF是ADEQ的中位线，

:.CF=XEQ,

当EQ取最小值时，CF有最小值，

连接NC,

:四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2,BC//AD,

：/B=60°,

***4ABe是等边三角形，

：.CQ=AC=CD=2,ZADQ=ZB=60°,

ZBCQ=ZADQ=60°,

9：BCLAQ,垂足为"，

：.ZQ=30°,AQ=2QM.

：.CM=1JCQ=\,

42

•<-QM=7CQ-CM=Vs，

：.AQ=3y[3,

由折叠可知N£=3/=2,

XAE+EQ^AQ,

:.EQ,AQ-AE,

当点/,E,。共线时、几-2,

此时CF的最小值为愿-8,

故答案为：Vs-1.

三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）

1~1

16.（7分）计算：||-2sin60°+（―）+（2025-兀）口,

第15页（共28页）

£

【解答】解：||-2sin60°++（2025-兀）3也

=Vs-4乂也

2

=V3-J^+3+3+2

=6.

2（xT）+1>-5

17.（7分）解不等式组/i+x，并写出它的所有正整数解.

卜14工

’2（x-l）+6〉-5①

【解答】解：』5+x今，

X-15-。

解不等式①得，x>-2；

解不等式②得，xW3,

所以不等式组的解集为：-2<xW3,

则不等式组的正整数解为4,2,3.

18.（7分）如图，四边形48CD是矩形，点£和点尸在边3。上，求证：AF=DE.

BEFC

【解答】证明：•.•四边形/BCD为矩形，

：.AB=CD,ZB=ZC=90°,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF.

即：BF=CE,

在和△DC£中，

'AB=CD

<NB=NC，

,BF=CE

:.AABF沿ADCE（SAS'）,

：.AF=DE.

19.（8分）【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如图①所示，它的侧面可视作

如图②，NC为支撑杆，CD为电脑托板，C转动，测得NC=16c%

【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据

第16页（共28页）

任务1：若NA4c=30°,NACD=75。，求此时电脑托板的最高点。离底板N3的距离（精确到QAcm,

【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究.

任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于120°角（如图③，ZCDE>120°.现小甬同学为陈

老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板点。到底板N3的距离C"是4c〃z,问

这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由.

（参考数据：sinl4.48°-0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°-0.25）

【解答】解：任务1：在图②中，过点。作。于点过点C作以于点尺,

在RtZk/Q?中，sin/B/C=里，

AC

.,.MN—CR—AC,smZBAC—16X—=8(cm),

7

在RtZVJNC中，ZDCN=ZACD-ZACN=ZACD-ZCAR=15°-30°=45°,

VsinZ£>C7V=M,

CD

DN=CD•sinZDCN=20X14.1(cm),

6

DM=DN+MN^14.1+2=22.1(cm),

即点。离底板的距离约为22.1c加；

任务6：不符合陈老师的工作习惯，理由如下:

在图③中，延长ED交A8于点尸，

在RtzXNC”中，sinZCAH=^=-^-,

AC16

：.ZCAH^14A8°,

,/CKLDF,EDLAB,

J.DF//AB,

第17页（共28页）

AACK=ZCAH=14.48°,

；./DCK=/ACD-/ACK=40°-14.48°=25.52°,

/.ZEDC=ZCDK+ZDCK=90°+25.52°=115.52°<120°,

不符合陈老师的工作习惯.

③

②

20.(8分)如图，ZX/BC中，ZACB=90°,以点。为圆心，OC为半径作圆与N5相切于点。

(1)求证：N4BC=2/4CD；

(2)若。。的半径为3,NC=8,求8c的长.

【解答】（1）证明：连接。。，如图,

为。。的切线，

：.OD±AB,

：.ZODA=ZODB=90°,

VZACB=90°,

：.ZABC+ZCOD=ISO°,

VZAOD+ZCOD^ISO0,

第18页(共28页)

・•・/ABC=/AOD,

OC=OD,

：./ACD=/ODC,

：.ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,

：.ZABC=2ZACD；

(2)解：・・・。。的半径为3,4C=8,

：・OD=OC=3,

：.AO=AC-OC=3f

在RtA^OD中，

•,•^£)=7AO2-OD2=：8,

•：/OAD=/BAC,ZADO=ZACB,

：./\AOD^/\ABC,

•OD—ADpn3—4

BCACBC2

21.（9分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目.为了解学生

的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百

分制，用x表示），704M80,804<90

下面给出了部分信息：

70<xV80的成绩为：

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

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创意设计比赛成绩的频数分布直方图创意设计比赛成绩的扇形统计图

根据以上信息解决下列问题：

（1）请补全频数分布直方图;

（2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是78分；

（3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数；

（4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按2：3的比例确定这次活动各人的综合

成绩.

某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下:

创意设计比赛科技竞赛

甲的成绩9590

乙的成绩9295

通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？

【解答】解：（1）V104-20%=50,而70<x<80有20人,

.•.80Wx<90有50-20-5-10=15,

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而70Wx<80的成绩为：

71,71,72,73,74,75,76,77,78,79,79.

•••50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，78；

中位数为78+78=78（人），

2

故答案为：78；

（3）估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数为：

1500X15+6=600（.人）,

50

答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数为600人；

（4）甲的成绩为：95X2+9°X3=92（分）；

5+3

乙的成绩为：92X2+95X7=93.6（分）

2+3

•••乙的综合成绩更高.

22.（10分）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境,

某学校决定扩大图书馆面积，现需购进20个书架用于摆放书籍，

【素材呈现】

素材一：有/,3两种书架可供选择，/种书架的单价比8种书架单价高20%；

素材二：用14400元购买/种书架的数量比用9000元购买2种书架的数量多6个；

素材三：/种书架数量不少于2种书架数量的工；

3

【问题解决】

问题一：求出4,5两种书架的单价；

问题二：设购买。个N种书架，购买总费用为1V元，求w与a的函数关系式

【解答】解：问题一：设3种书架的单价为x元，则/种书架的单价为x（1+20%）=1.5x元，

14400_9000=s

1.2xx

解得x=500,

经检验，x=500是原分式方程的解，

*,*1.2x=600?

答：/种书架的单价为600元，2种书架的单价为500元；

问题二：由题意可得，

w=600a+500(20-a)=100a+10000,

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-：A种书架数量不少于B种书架数量的旦,

3

（20-a）,

6

解得a25,

...当a=5时，w取得最小值，20-a=15,

即卬与。的函数关系式为w=100a+10000,费用最少时的购买方案是购买A种书架6个.

23.（10分）物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）（厘米）与

所挂物体质量千克）之间的关系，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，并修改了表中

这个数据.

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你认为表中第4次数据y是错误的？正确的值是"=15.

（2）观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上

（3）当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量.

（4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为xi,记录对应的弹簧长度为刀；第二次所挂物体的质

量为X2,记录对应的弹簧长度为了2,当X2-X1=14时，V2-VI的值为4.2.

【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得发现，y增加3,

.,.当x=30时，^=6+5X3=15,正确的值是y=15.

故答案为：4,15.

（2）由各点的分布规律可知，它们在同一条直线上，

.”是x的一次函数.

设这条直线所对应的函数表达式为夕=履+6（k、6为常数.

将坐标（3,6）和（10,

.（b=6

110k+b=3

•（k=0.3

'（b=7'

这条直线所对应的函数表达式为y=0.3x+4（0WxW50）.

（3）当y=30时，0.8x+6=30,

当弹簧长度为30厘米时，所挂物体的质量为80千克.

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（4）根据题意，得yi=3.3xi+6①，＞2=0.3%2+6②，

②-①，得/-歹1=0.2（X2-xi）,

•X3

，"一”=0.3X14=2.2.

故答案为：4.4.

24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yua/+bx-3（°、6为常数且aWO）.

（1）若抛物线经过点（3,0）、（2,-3）两点，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，当直线/：y=x+a与抛物线交于点/、3时（点/在点3的左侧），使得△ABC

的面积最大？若存在，请求出点。的坐标，请说明理由；

（3）若抛物线的对称轴为直线x=l,当直线y=x+a与抛物线y=ox2+6x-3有两个交点时，直接写出

a的取值范围.

备用图

【解答】解：（1）由题意得：［°=9a+5b-3,

I-3=8a+2b-3

解得：卜=3,

lb=-2

故抛物线的表达式为：y=x2-5x-3；

（2）存在，理由：

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由(1)知，〃=1,

联立上式和抛物线的表达式得：x+6=x2-2x-6,则x=-1或4,

即点4、5的横坐标分别为：