2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共3题）、填空题（共3题）、解答题（共5题），满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置．3．作答题目必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2.已知向量，且，则x的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根据可得存在实数满足，即，即可得，解得.故选：D.3.某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（）A.24种 B.10种 C.9种 D.15种【答案】D【解析】依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；第二类：选择连衣裙，共有中选择；所以共有种选择.故选：D.4.已知空间单位向量，，两两垂直，则（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】因为空间单位向量两两垂直,所以，所以.故选：A.5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：取，，为基底，则，，所以.又，.所以.故选：C.6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A.20 B.13 C.12 D.15【答案】B【解析】设级台阶的走法为，则，（走法有每步上一级或一步二级，共2种走法），当时，（可以从第级台阶跨一级到达第级，或从第级台阶跨二级到达第级）.所以：，，，.故选：B.7.如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中,四边形是平行四边形,侧面是正方形,又是的交点,所以是的中点,因为,,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以异面直线与的夹角的余弦值为.故选：A.8.已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取中点为，因为，，所以，又，则，又正方体棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，所以，所以，所以当，反向时，，有最小值为；当，同向时，，有最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知，则B.已知，则C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法【答案】ACD【解析】对A：由，且，解得，故A正确；对B：由或解得或，故B错误；对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确；对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故D正确.故选：ACD.10.已知，，若随机事件A，B相互独立，则（）A B. C. D.【答案】BC【解析】随机事件A，B相互独立，，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：BC.11.已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（）A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1C.系数最大项为第4项 D.有理项共有4项【答案】AD【解析】因为的展开式共有8项，所以.所以所有项的二项式系数和为，故A正确；对B：令，可得所有项的系数和为，故B错误；因为二项展开式的通项公式为：.对C：设，由，所以第3项的系数最大，故C错误；对D：由为整数，且可得，的值可以为：，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.展开式中，x的一次项的系数为______．【答案】4【解析】因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.13.已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______．【答案】【解析】，，向量与垂直，，．14.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______．【答案】（答案不唯一，在内均可）【解析】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，；当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，；所以可得，即，因此的一个可能的值为.（答案不唯一，在内均可）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．解：以，，为基底，则，.又，所以，所以，即，间的距离为3.16.某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．（1）求客户满意的概率；（2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？解：（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，则客户满意且是甲运送的概率为：,客户满意且是乙运送的概率为：,客户满意且是丙运送的概率为：.17.如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值．解：（1）因为平面，平面，所以；又底面为菱形，所以；又，平面，所以平面.（2）如图：设，取的中点，连接，则，所以平面.故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为为直线与平面所成的角，所以.又,所以O0,0,0，，，，，则，.设平面的法向量为，则，取.又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，则.18.高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：华为甲乙0若甲、乙都选概率为.（1）求，的值；（2）求甲、乙选择不同手机的概率；（3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：手机华为补贴金额（百元部）354记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列.解：（1）由题表中数据及题意，得，所以，又因为，所以；（2）设甲、乙选择不同手机为事件，则；（3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，则，，，，所以的分布列为：700800900100019.的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列．（1）求的值；（2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：．解：（1）因为，令得：；令得：.两式相减得：.（2）因为，，所以展开式中，的系数为：又展开式中，，由，所以的系数为：.所以.江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共3题）、填空题（共3题）、解答题（共5题），满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置．3．作答题目必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2.已知向量，且，则x的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根据可得存在实数满足，即，即可得，解得.故选：D.3.某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（）A.24种 B.10种 C.9种 D.15种【答案】D【解析】依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；第二类：选择连衣裙，共有中选择；所以共有种选择.故选：D.4.已知空间单位向量，，两两垂直，则（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】因为空间单位向量两两垂直,所以，所以.故选：A.5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：取，，为基底，则，，所以.又，.所以.故选：C.6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A.20 B.13 C.12 D.15【答案】B【解析】设级台阶的走法为，则，（走法有每步上一级或一步二级，共2种走法），当时，（可以从第级台阶跨一级到达第级，或从第级台阶跨二级到达第级）.所以：，，，.故选：B.7.如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中,四边形是平行四边形,侧面是正方形,又是的交点,所以是的中点,因为,,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以异面直线与的夹角的余弦值为.故选：A.8.已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取中点为，因为，，所以，又，则，又正方体棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，所以，所以，所以当，反向时，，有最小值为；当，同向时，，有最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知，则B.已知，则C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法【答案】ACD【解析】对A：由，且，解得，故A正确；对B：由或解得或，故B错误；对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确；对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故D正确.故选：ACD.10.已知，，若随机事件A，B相互独立，则（）A B. C. D.【答案】BC【解析】随机事件A，B相互独立，，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：BC.11.已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（）A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1C.系数最大项为第4项 D.有理项共有4项【答案】AD【解析】因为的展开式共有8项，所以.所以所有项的二项式系数和为，故A正确；对B：令，可得所有项的系数和为，故B错误；因为二项展开式的通项公式为：.对C：设，由，所以第3项的系数最大，故C错误；对D：由为整数，且可得，的值可以为：，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.展开式中，x的一次项的系数为______．【答案】4【解析】因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.13.已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______．【答案】【解析】，，向量与垂直，，．14.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______．【答案】（答案不唯一，在内均可）【解析】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，；当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，；所以可得，即，因此的一个可能的值为.（答案不唯一，在内均可）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．解：以，，为基底，则，.又，所以，所以，即，间的距离为3.16.某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．（1）求客户满意的概率；（2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？解：（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，则客户满意且是甲运送的概率为：,客户满意且是乙运送的概率为：,客