高考热点：函数大题

1/12函数大题【高考真题重温】1.【新课标全国理，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)如果当，且时，，求的取值范围．2.【新课标全国文，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)证明：当，且时，．3.【新课标全国理，21】设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.4.【新课标全国文，21】设函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围.时＜0，即＜0.综合得的取值范围为.5.【新课标全国理】（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。6.【新课标全国文】设函数f(x)=ex－ax－2(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f´(x)+x+1>0，求k的最大值【命题意图猜想】1.近三年的高考试题基本上形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程进而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为和不等式相联系，考查不等式恒成立问题、证明不等式等综合问题，难度较大.预测函数大题，以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或者三个为背景，组合成一个函数，然后考查函数的性质，与不等式相结合时一个永恒的话题.2.从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用．预测高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向．【最新考纲解读】1．导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，(理)y＝eq\r(x)的导数．(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．(3)会使用导数公式表．3．导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．4．生活中的优化问题举例．例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．【回归课本整合】导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即.注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成.导数的几何意义：导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点.导数的物理意义：函数在点处的导数就是物体的运动方程在点时刻的瞬时速度，即4．几种常见函数的导数：(为常数)；()；；；；；；.5.求导法则：法则：；法则：,；法则：.6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且或7.导数与函数的单调性1）函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.2）利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数8.导数与函数的极（最）值1）极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.2）极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.3）极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.5.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数；求方程的根；用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.9.函数的最大值和最小值:一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.10.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p【方法技巧提炼】1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y=f,再根据题意求出切点.2.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.3.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【考场经验分享】1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．2．可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3.如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为“(－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”不是一个区间，该函数