《定积分的简单应用》名师教案

选修2-2第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用（谢强）一、教学目标1．核心素养通过定积分的简单应用的学习，提高分析和解决数学问题的能力，培养应用数学的意识．2．学习目标（1）应用定积分解决一些简单的几何问题．（2）应用定积分解决一些简单的物理问题．3．学习重点应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，在解决问题的过程中体会定积分的应用．4．学习难点把实际问题抽象为定积分的数学模型．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P56－57.体会定积分在求平面图形面积的应用．思考：用定积分求平面图形面积的步骤．任务2阅读教材P58—59，回顾求变速直线运动的路程的定积分公式．思考：变力做功的定积分公式是什么？并理解上述两个公式．2．预习自测1．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．答案：B．2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点延着F(x)相同的方向，从点x＝0处运动到点x＝1处，力F(x)所做的功是()A．eB．1＋eC.eq\f(1,e)D．e－1答案：A．3．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m答案：B（二）课堂设计1．知识回顾（1）定积分的几何意义=1\*GB3①如果在区间函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.=2\*GB3②当对应的曲线轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于轴上方曲边图形的面积减去轴下方曲边图形的面积.（2）微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.（3）做变速运动的物体所经过的路程，等于其速度函数（）在时间区间上的定积分，即.2．问题探究问题探究一：定积分在几何中的应用重点、难点知识★▲活动一：回顾整合，定积分的几何意义的深入研究思考并解答以下关于定积分几何意义的相关问题.1．求由一条曲线和直线，（）及所围成平面图形的面积，主要有以下三种类型：（1）图=1\*GB3①中，，所以图中阴影部分面积为________________________；；（2）图=2\*GB3②中，，所以图中阴影部分面积为________________________；；（3）图=3\*GB3③中，当时，；当时，.所以图中阴影部分面积为________________________..2．求由两条曲线和，直线，（）所围成平面图形的面积，主要有以下两种类型：（1）图=4\*GB3④中，，所以图中阴影部分面积为________________________.；（2）图=5\*GB3⑤中，，所以图中阴影部分面积为______________________..活动二：整合旧知，探索利用定积分求平面图形的面积的方法.例1．（1）计算曲线与直线所围成图形的面积．（2）求曲线，及直线所围成的图形的面积．解：（1）由，解得：或.如图，从而所求图形.（2）如图可知，积分区间为.面积.点拨：本题为简单图形面积的求解，应作出图像后结合图像直接应用定积分求解.例2．求抛物线和直线所围成的图形的面积.【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：由方程组解出抛物线和直线的交点及.法一：选作积分变量，由图可知：，由于抛物线在轴上方的方程为，在轴下方的方程为，所以，又，于是.法二：选作为积分变量，将曲线方程写成及，则.点拨：1.由多条曲线围成的较为复杂的图形求面积，应根据交点将积分区间进行分段，然后根据图像对各段求面积进而求出需要求的图形面积.2.若积分变量选取运算较为复杂，可以尝试选为积分变量，同时注意更改积分的上、下限.例3．在曲线上某一点处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为，试求：曲线在点A处的切线方程．【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：设切点的坐标为，则切线方程为，可得切线与轴的交点坐标为.作出如图所示的草图.故解得：，从而切点的坐标为.于是，曲线在处的切线方程为.点拨:本题综合考察了导数的几何意义与利用定积分求图形面积.根据题目条件，建立等量关系即可解决本题.活动三：归纳提升.从上面的例题中，你能总结出利用定积分求平面图形面积的步骤吗？利用定积分求平面图形面积的基本步骤：（1）画出图形；（2）根据图形特点选择适当的积分变量；（3）借助图形直观确定被积函数以及计算积分的上、下限；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；问题探究二：定积分在物理中的应用．重点、难点知识▲活动一：回顾整合，变速运动物体的路程一物体在变速直线运动，其速度函数为，该物体在时间区间所经过的路程为，则.活动二：用定积分求变速运动物体的路程例4．有一动点从原点出发沿轴运动，在时刻为时的速度为(速度的正方向与x轴正方向一致)．求:（1）时，点离开原点后运动的路程；（2）时，求点的位移；（3）经过时间后又返回原点时的值．解：（1）由得.即当时，点沿轴正方向运动，当时，点向轴负方向运动.故当时，点离开原点后运动的路程.（2）当时，点的位移为.（3）依题意，即，解得或，于是时，物体返回原点.点拨：由物理知识可知：物体沿直线运动时，路程是位移的绝对值之和，从时刻到时刻所经过的路程和位移情况如下：(1)若，则；.(2)若，则；.(3)若在区间上，在区间上，则，.所以求路程时要先求得速度的正负区间．●活动三：归纳提升从上面的例题，尝试归纳出利用定积分求直线运动的物体的路程的步骤.=1\*GB3①求出每一时间段上的速度函数；=2\*GB3②求出对应时间段上速度函数的定积分的绝对值，得到做变速直线运动物体的路程.●活动四：合作探究，得出变力做功公式1.一物体在恒力（单位：）的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为_________________2.如果物体在变力的作用下做直线运动，且物体沿着与相同的方向从移动到，如何计算变力所做的功呢？尝试利用求曲边梯形面积和求变速直线运动的路程一样的方法来解决变力做功问题，请用“四步曲”操作.归纳与总结：通过以上操作，你对求变力做功的有什么发现呢？如果物体在变力的作用下沿着与相同的方向从移动到.则变力做的功.●活动五：运用新知，求变力做功例5．如图所示，一物体沿斜面在拉力的作用下由经运动到，其中cm，cm，cm，变力，在段运动时与运动方向成角，在段运动时与运动方向成，在段与运动方向相同，求物体由运动到所做的功．解：在段运动时在运动方向上的分力.在段运动时在运动方向上的分力.由变力做功公式得：.点拨：解决变力做功注意以下两个方面：（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力的表达式，这是求功的关键．（2）求出位移的起始与终止位置，然后根据变力做功公式即可求出变力所做的功．●活动六：归纳提升从上面的例题，尝试归纳出利用定积分求直线运动的物体的路程的步骤.=1\*GB3①根据物理的实际意义，求出变力的函数表达式；=2\*GB3②确定在变力的作用下，物体位移的起始位置和终止位置；=3\*GB3③由公式得到变力所做的功.3．课堂总结【知识梳理】(1)利用定积分求平面图形的面积．(2)一物体在变速直线运动，其速度函数为，该物体在时间区间所经过的路程为，则.(3)若物体在变力的作用下沿着与相同的方向从移动到.则变力做的功.【重难点突破】（1）利用定积分求平面图形面积时，积分变量可以选择或，应利用图形仔细分析，适当选择.（2）利用定积分求平面图形面积的基本步骤：=1\*GB3①画出图形；=2\*GB3②根据图形特点选择适当的积分变量；=3\*GB3③借助图形直观确定被积函数以及计算积分的上、下限；=4\*GB3④写出平面图形面积的定积分表达式；=5\*GB3⑤运用微积分基本定理计算定积分，得出平面图形的面积.（2）利用定积分求变速直线运动的路程的基本步骤：=1\*GB3①求出每一时间段上的速度函数；=2\*GB3②求出对应时间段上速度函数的定积分，得到做变速直线运动物体的路程.（3）利用定积分求变力做功的步骤：=1\*GB3①根据物理的实际意义，求出变力的函数表达式；=2\*GB3②确定在变力的作用下，物体位移的起始位置和终止位置；=3\*GB3③由公式得到变力所做的功.4．随堂检测1．由直线，，曲线以及轴所围成的图形的面积为() A． B． C． D．【知识点：定积分的简单应用，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：D由题知图形面积为.2．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为()A．1B．3C．5D．7【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】答案：D解析：第2秒内即从到，故第2秒内所走的路程为.3．在弹性限度内，弹簧每拉长1cm要用5N的拉力，要把弹簧拉长20cm，则拉力做的功为()A．0.1JB．0.5JC．5JD．10J【知识点：变力做功，微积分基本定理】答案：D解析：设弹簧所受的拉力，于是，从而，于是拉力做功为J4．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.【知识点：定积分的简单应用，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：解析：题设中封闭图形的面积为，解得.5．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________________【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：解析：如图，由，解得交点坐标为，.因此所求图形的面积为.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，由与围成的阴影部分的面积是()A．2eq\r(3)B．2－eq\r(3)C．eq\f(32,3)D．eq\f(35,3)【知识点：定积分的简单应用，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：C解析：2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】答案：B解析：m3．曲线与轴所围图形的面积为A．B．C．D．【知识点：定积分的简单应用，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：D解析：由的对称性可知，面积4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A．eq\f(160,3)mB．eq\f(80,3)mC．eq\f(40,3)mD．eq\f(20,3)m【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】答案：A解析：由v＝40－10t2＝0，得到物体达到最高时t＝2，高度h＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(40－10t2)dt＝＝eq\f(160,3)(m)．5．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J【知识点：变力做功，微积分基本定理】答案：D解析：由变力做功公式有：J.6．由曲线，与直线，所围成的平面图形(如图所示的阴影部分)的面积是______.【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：解析：易知图中阴影部分两曲线的交点坐标为.根据对称性可知：阴影部分面积.能力型师生共研7．一物体在力F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100≤x≤2，,3x＋4x>2))(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处(单位：m)，则力F(x)做的功为()A．44JB．46JC．40JD．60J【知识点：变力做功，微积分基本定理】答案：B解析：做的功为J.8．过原点的直线与抛物线所围成的图形面积为，则直线的方程为（）A．B．C．D．【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】答案：A解析：直线的斜率存在，故设直线的方程为，由得交点坐标为，，于是图形面积，解得：，从而直线方程为.9．物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为___________________.【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】答案：解析：设A追上B时，所用时间为t0，依题意得SA＝SB＋5，即，∴teq\o\al(3,0)＋t0＝5teq\o\al(2,0)＋5，即t0(teq\o\al(2,0)＋1)＝5(teq\o\al(2,0)＋1)，∴t0＝5(s)．10．设满足约束条件，则所在平面区域的面积为______________.【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理，二元一次不等式表示的平面区域；数学思想：数形结合】答案：解析：画出对应的平面区域，如图所示.所以所在平面区域的面积为探究型多维突破11．椭圆所围区域的面积为_________________．【知识点：定积分在求面积中的应用，定积分的几何意义，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质；数学思想：数形结合】解：12π由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，得y＝±eq\f(3,4)eq\r(16－x2).由椭圆的对称性知，椭圆的面积为.由y＝eq\r(16－x2)，得x2＋y2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积，∴，∴S＝3×4π＝12π.12．已知二次函数，直线和(其中为常数，且)，直线l2与函数的图象以及直线，与函数的图象所围成的封闭图形如图，设这两个阴影区域的面积之和为.(1)求函数的解析式.(2)定义函数，.若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.【知识点：定积分在求面积中的应用，定积分的几何意义，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点个数；数学思想：数形结合】解：（1）由，得，.所以直线l2与的图象的交点的横坐标分别为0，t+1.因为0<t<1，所以1<t+1<2.所以S(t)=0t+1dx+t+12.（2）由题知，，x∈R，则.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y=h(x)上.过点A作曲线y=h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，则，化简整理得，其有三个不等实根.设，则.由，得或；由，得，所以在区间，(1，+∞)上单调递增，在(1，1)上单调递减，所以当时，函数取极大值；当时，函数取极小值.因此，关于的方程有三个不等实根的充要条件是即，即.故实数的取值范围是.自助餐1．设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为，则()A.2 B.e C.2e D.e2【知识点：定积分的简单应用，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：D由题知：，解得：.2．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A． B. C. D.【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：C联立，解得：，于是围成图形的面积为.3．一物体在力（的单位：m，的单位：N）的作用下，沿着与力相同的方向从处运动到处，则力所做的功为()A．J B.J C.J D.J【知识点：变力做功，微积分基本定理】解：B由题知所做的功为.4．由曲线，直线和围成的图形的面积（）A． B． C． D．【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：A如图，解方程组，，及，得交点坐标为，，，所以.5．一辆汽车在高速路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：s，的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A． B． C． D．【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】解：C令，得，解得：或（舍去），则汽车行驶的距离为.6．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为()A.eq\f(2,e2) B．1－eq\f(2,e2)C.eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e)【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理，几何概型；数学思想：数形结合】解：B根据题意y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称，所以两个阴影部分的面积相等．联立y＝e与y＝ex得x＝1，所以阴影部分的面积＝2[(e－e)－(0－1)]＝2，于是由几何概型可知无信号的概率为.7．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．【知识点：导数的几何意义，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y＝－2x＋6，))得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－eq\i\in(1,3,)(－x2＋4x－3)dx＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).8.一物体在变力(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为________________________.【知识点：变力做功，微积分基本定理】解：W=12F(x)cos30°dx=1232(5x9．一变速运动的物体的运动速度v(t)=2t,0≤t<12t【知识点：变速直线运动物体的路程与位移，微积分基本定理】解：98ln2运动的路程s=012tdt+122tdt+e28tdt=910．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0所围成的平面图形的面积为eq\f(4,3)，求a的值．【知识点：定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合，分类讨论】解：由已知可得或或解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a3－3a2＋4＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a≤2，,a3－3a2＋4＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a3－3a2＋4＝0))∴得a＝－1或a＝2，∴a的值为－1或2.11．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.（1）求常数a，b的值；（2）求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．【知识点：利用导数研究函数极值，定积分在求面积中的应用，微积分基本定理；数学思想：数形结合】解：（1）由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝－2，,3＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－3.))（2）由(1)可知，f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－eq\r(3)，0)，(0,0)和(eq\r(3)，0)，而y＝x3－3x