《函数的最值与导数》名师课件2

函数的最值与导数函数的极值与导数之间的关系：xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0极大值减f

(x)<0f

(x)=0增减极小值f

(x)>01复习引入☆.求可导函数极值的步骤。

（1）确定函数的定义域，求导数f′(x)；（2）解方程f′(x0)=0；（3）列表（顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程左右的值的符号）（4）判断单调性，确定极值左负右正为极小，左正右负为极大。1复习引入

在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题。极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。最大值与最小值的定义？1复习引入本节课我们解决以下几个问题：1.函数在什么条件下一定有最大值和最小值？2.最值存在于什么位置？如何求?问题1：连续函数y=f(x)在（a,b）上有最值吗？2新课讲解oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.2新课讲解xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6问题2：连续函数y=f(x)在[a,b]上有最值吗？结论：一般地，在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．2新课讲解问题3：连续函数在[a,b]上的最值与哪些值有关？分别在何处取得？2新课讲解xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6问题4：怎么求连续函数在[a,b]上的最值？2新课讲解例1、求函数

在区间

上的最大值与最小值。（舍去）－＋函数在区间上最大值为,最小值为↗↘极小值列表：归纳步骤3例题讲解①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值

(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下方法归纳例1、求函数

在区间

上的最大值与最小值。（舍去）－＋函数在区间上最大值为,最小值为↗↘极小值列表：注意：1、若极值点不在给定的区间范围内，需舍去。

2、若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.巩固训练巩固训练3例题讲解方法归纳求开区间上函数的最值巩固训练巩固训练巩固训练3例题讲解3例题讲解方法归纳②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．(1)含参数的函数最值问题的两类情况①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．方法归纳已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路巩固训练巩固训练3例题讲解3例题讲解3例题讲解方法归纳不等式恒成立问题常用的解题方法

巩固训练x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)单调递减极小值单调递增巩固训练素养提炼求函数的最值时,应注意以下几点(1)我们讨论的函数是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导的函数．在闭区间[a，b]上连续，保证函数有最大值和最小值；在开区间(a，b)上可导，才能用导数求解．(2)求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值．因此，函数极大值和极小值的判定是关键．(3)如果仅仅是求最值，因为函数f(x)在(a，b)内的全部极值，只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点处取得(以下称这两种点为可疑点)，所以只需要将这些可疑点求出来，然后将f(x)在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值．素养提炼(4)当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得．(5)当连续函数f(x)在(a，b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以判定f(x)在该点处取到最大(小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．求函数的最值时,应注意以下几点素养提炼辨析函数的极值与最值(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言．(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．素养提炼利用最值求解恒成立问题的依据(1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0；(2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0；(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x