《导数在研究函数中的应用（第3课时）》名师课件

名师课件0导数在研究函数中的应用（第3课时）名师：税长江知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0检测下预习效果:点击“随堂训练”选择“《导数在研究函数中的应用（第3课时）》预习自测”1.函数f（x）在闭区间上的最值有什么结论？般地，如果在区间[a,b]上函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.此时，函数的最大值和最小值必在极值处或区间的端点处取得.2.求函数f（x）在[a,b]上的最大值与最小值的步骤是什么？（1）求函数f（x）在区间（a,b）内的极值；（2）将函数f（x）各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0问题探究一

构造新函数●活动一看懂选项，各归各位例1.若0＜x1＜x2＜1，则（）A. B.C.D.点拨：要看出原函数的结构，题目选项是重要的提示，通过移项，使得x1，x2分居不等号两侧，构造结构，就可以清晰的看出所需研究的原函数的解析式，再进一步将不等式问题转化为通过导数研究单调性的问题.C令f(x)＝，则f′(x)＝，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递减，∵0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即，∴知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0问题探究二

切线条数问题●活动一切线条数与根的个数例3.已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则m的取值范围是（

）A.(－1,1)B.(－2,3)C.(－1，－2)D.(－3，－2)f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.设切点为(x，y)，则切线的斜率k＝3x2－3＝，整理，得2x3－3x2＋m＋3＝0，由题意得方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三个根.D设g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，则g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x∈(－∞，0]时，g(x)为增函数；当x∈(0,1)时，g(x)为减函数；当x∈[1，＋∞)时，g(x)为增函数；则，解得－3＜m＜－2.

知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0点拨：解决切线问题，关键在于三个方程：化简出的方程有几组解，切线便有几条，进一步将其转化为函数g(x)＝2x3－3x2＋m＋3的零点个数问题.（2）在两边取对数，得.由于0<x<1，所以①由（1）知：当x∈(0,1)时，.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当aln2>－e，即a>－eln2.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0问题探究三最值与不等式●活动一最值与恒成立例4.设函数f(x)＝(x>0且x≠1).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围.详解：（1）f′(x)＝.若f′(x)＝0，则x＝.当f′(x)>0，即0<x<时，f(x)为增函数；当f′(x)<0，即<x<1或x>1时，f(x)为减函数.所以f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为[，1)和(1，＋∞).点拨：恒成立的本质就是对最值的要求，将恒成立问题转化为最值是常见解题思路，注意充分运用第一问的结论，避免重复运算.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0例5.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.（1）求f(x)的单调区间与极值；详解：（1）由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f

′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a).知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0例5.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.（2）求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.（2）证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0).而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.点拨：导数的解答题，一定要注意充分运用前一问的结论，前一问会对第二问起到提示思路，提供构造方案或者简化运算的作用.知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0(1)学会观察统一结构，构造新函数，再借助导数研究新函数；(2)切线的条数问题除了可以结合图像外，还可借助解方程这样的代数方法；(3)不等式的证明问题终究可以转化为最值问题.重难点突破知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0(1)构造新函数关键抓住条件和选项，选项是最好的提示；(2)最值本身就是恒成立的不等关系，所以不等式的恒成立与不等式的证明本质上均可转化为最值问题.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0知识回顾问题