第十九章四边形 导学案

第十九章四边形19.1.1平行四边形的性质（一）【学习目标】1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．【学习重点】：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．【学习难点】：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．【学习过程】：一、温故知新1、由___条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形的内角和等于_____度；四边形外角和等于_____度2.如图AB与BC叫___边，AB与CD叫___边；∠A与∠B叫___角，∠D与∠B叫___角;多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，四边形ABCD中对角线有___条，它们是_____阅读课本82页内容，了解本章即将学习的数学知识。二、新科探究：独立完成学习书本内容，并完成下列问题：1、平行四边形的定义：（1）定义：有的四边形叫做平行四边形。（2）表示：平行四边形用“”表示，如右下图，平行四边形ABCD记“”（3）定义的双重性：具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“”，反过来，“平行四边形”就一定具有“”性质。（4）定义的几何语言表述：①∵AB//DC,AD//BC∴（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴（性质）1：根据定义请画一个平行四边形ABCD；对边有___组，分别是______________；分别有啥关系________对角有___组，分别是_______________；分别有啥关系________理论证明：已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形∵(平行四边形的定义)∴(两直线平行，内错角相等)∴△ABC≌△CDA（ASA）∴（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）又∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠BAD＝∠BCD总结：平行四边形性质1：平行四边形相等；平行四边形相等；性质1几何语言描述：①∵四边形ABCD是平行四边形∴(平行四边形的对边相等)②∵四边形ABCD是平行四边形∴(平行四边形的对角相等)3、实践运用，1、已知ABCD的周长是30，其中AB长5，求其它三边的长各是多少？变形：在ABCD中，AB=5,BC=3,求它的周长2：一个平行四边形的一个外角是，这个平行四边形的每个内角的度数分别是四、学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？课堂达标1、如图，在ABCD中，E、F为对角线AC上两点，（1）若AE=CF求证：DE=BF.（2）若AF=CE，DE与BF还相等吗？2、如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1=∠2，求证：AE=CF课题：19.1.1平行四边形的性质（2）【学习目标】1、理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．【学习重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．【学习难点】：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．【学习过程】一、温故知新：平行四边形的对角，平行四边形对边且.如在中，若,则=，=.在中，=3cm，=2cm，则的周长等于.已知的周长为32，=4，则等于.在中，的值可以是（）A、1:2:3:4B、1:2:2:1C、2:2:1:1D、2:1:2:16、如图，在中，，延长到，延长到,连接,则等于（）新课探究：1、认真阅读探究，可以发现：与、与的关系是；（1）平行四边形的又一个性质：平行四边形的对角线；（2）几何语言：如图∵四边形是平行四边形∴（平行四边形对角线互相平分）（3）结合图1，证明此性质证明：2：学习例2完成下题例：如图3，四边形是平行四边形，且,,,求的长以及的面积.解：三、学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？四、课堂达标1、如图，在中，对角线AC长为10cm，,AB长为6cm，求的面积2、已知和的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：3、如图，在中，是对角线的交点，,垂足分别是点,那么与是否相等？为什么？平行四边形的性质检测一、填空题1．两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD表示_____。2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．4．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．5．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．5题图6题图选择题1图6．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．7．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．二、选择题:1、如图，下列推理不正确的是()．A∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°B∵∠1＝∠2∴AD∥BCC∵AD∥BC∴∠3＝∠4D∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD2．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为()．(A)5(B)6(C)8(D)123．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是()．(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④4．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有()个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数5．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是()……(1)(2)(3)(A)3n(B)3n(n＋1) (C)6n (D)6n(n＋1)三．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）三、解答题1．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．4.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，求□ABCD的周长和面积.若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.3．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．4．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．课题：19.1.2平行四边形的判定（1）【学习目标】1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、角来判定平行四边形的方法．2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．【学习重点】平行四边形的判定方法及应用．【学习难点】：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．【学习过程】：一、温故知新1、如图，在ABCD中，用几何语言叙述其性质有：边______________角________________对角线________________对称性_____________________平行四边形的判定方法1.（定义法）的四边形叫做平行四边形。如图：符号语言：∵__________________________∴___________________________（平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础。）新课探究：1“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题是（）2、结合图形证明此判定定理：已知：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC求证：四边形ABCD为平行四边形证明：归纳：与“两边”有关的平行四边形判定方法：方法2：_______________________________的四边形是平行四边形符号语言：∵___________________∴_____________________3“平行四边形的一组对边平行且相等”的逆命题是：（先自己找出命题的题设、结论，写出已知求证，再完成证明过程）已知：______________________________，求证：______________________________证明：归纳：与一组对边相关的平行四边形的判定方法：方法3：___________________________________的四边形是平行四边形符号语言：∵________________________∴___________________________已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D，求证：四边形ABCD为平行四边形归纳：与“角”有关的判定方法方法4：________________________________的四边形是平行四边形符号语言：∵__________________________∴___________________________5、已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AO=CO,B0=DO求证：四边形ABCD为平行四边形方法一：方法二：归纳：与“对角线”有关的判定方法方法5：________________________________的四边形是平行四边形符号语言：∵__________________________∴___________________________:三、学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？归纳：我们学习了平行四边形的定义，性质、判定。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。 四、学习检测1、下面给出了四边形ABCD中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）Ａ、１：２：３：４Ｂ、２：２：３：３Ｃ、２：３：２：３Ｄ、２：３：３：２2、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）Ａ、一组对边平行，另一组对边相等Ｂ、一组对边平行，一组对角互补Ｃ、一组对角相等，一组邻角互补Ｄ、一组对角相等，另一组对角互补3、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个4、已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．5、已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形.6.如图所示，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.7．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．8、已知，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过O点的直线交BC和AD于E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形。（用两种方法）9．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥AC，EF∥BC，求证：BE=CF课题：19.1.2三角形中位线定理【学习目标】1、掌握三角形中位线概念及定理，会运用三角形中位线定理解题2、知道两条平行线间的距离概念3、会利用三角形的中位线概念解决相关问题【学习重、难点】会运用三角形中位线定理解题【学习过程】一、温故知新1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边_____________的四边形是平行四边形；②两组对边_____________的四边形是平行四边形；③一组对边_____________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线_____________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边6．下列命题中，正确的是()．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形二、轻松探究、大胆尝试EDBEDBCC(A’)BFAA将△ADE如何拼到△CFE的位置上？这样拼出的图形为什么是一个平行四边形？请证明！3）在上面的剪裁过程中，线段DE叫做三角形的中位线.请给三角形的“中位线”下一个定义？CBEDA4）：CBEDA语言叙述：.数学符号：.②你能证明这个结论吗？证明：5）：①一个三角形有几条中位线？请你画出△ABC的所有中位线.FFEBDAC②三角形的三条中位线把原三角形分成四个小三角形，这四个小三角形有什么关系？有几个平行四边形？ODCODCBA分成四个小三角形，如图这四个小三角形之间有什么关系？三、阅读课本第89页，说出什么是“两条平行线间的距离”.两条平行线间的距离：性质：两条平行线间的距离；点与点之间的距离：点与直线之间的距离：学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？预习时的疑难解决了吗？课堂检测1．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．2、如左下图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．如右上图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．3.已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形（此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形）．4．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．5、变式练习：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点求证：课题19.1平行四边形（复习）[学习目标]：复习平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理及其应用。一、知识回顾：1．平行四边形的性质和判定：性质判定方法平行四边形（1）对边______________________；（2）对角____________；（3）两条对角线_________________；（4）是图形，对称中心是_______________。____________________________的四边形；____________________________的四边形；____________________________的四边形；____________________________的四边形；____________________________的四边形。例1.如图，在□ABCD的边AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE、DF交于点M，求证：CD=CM.三角形的中位线：

定义：叫做三角形中位线。定理：三角形的中位线。

如图，∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴.3.平行线间的距离：叫做这两条平行线间的距离例2.□ABCD中，AE⊥BC于E，点E为BC的中点，AD=8，AE=3，则AB与CD间的距离为.例3.如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EF//BC，AF与DE交于点G，BF与EC交于点H，求证：GH=AB.二、合作探究：1、已知：如图，E，F是□ABCD对角线BD上的两点，添加一个条件，可使四边形AECF是平行四边形．你有几种方法？和同伴交流一下.2、□ABCD中，BD⊥CD，将△BCD沿BD折叠，使点C落在E.求证：（1）FD=BC；（2）若=20，求△BDF的面积.三、课堂检测1、若□ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则AC=cm.2、若□ABCD中∠BAD的平分线交BC于点E,且AE=BE，则∠BCD=°.3、□ABCD的对角线交于O点，若□ABCD的周长为40，△AOB的周长比△COB的周长大6，则BC=.4、□ABCD的对角线交于O点，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是：5、点O为□ABCD的对角线AC的中点，过O任意作一条直线交BC、AD于E、F，那么四边形AECF是平行四边形吗？为什么？6、如图，把一张平行四边形的纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE和AD相交于O，若,则;7、如图，对角线AC，BD相交于点O，且点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；8、如图，四边形ABCD是平行四边形，,BE平分且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，求∠1的度数。9、四边形ABCD中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，,求BC的长和四边形ABCD的面积；10、如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；19.2.1矩形.（一）矩形的性质【学习目标】：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．【学习重点】矩形的性质．【学习重点】：矩形的性质的灵活应用．【学习过程】一、温故知新：1、如图，在ABCD中，用几何语言叙述其性质有：边______________角________________对角线________________对称性_____________________面积________________二、学习新知：自学P94-95页。结合老师演示回答下列问题：1、矩形的定义：__________________________的平行四边形叫做矩形．由此可见，矩形是特殊的，它具有平行四边形的所有性质。如：_________2．证明：矩形的四个角都是直角已知：如图，矩形矩形ABCD，∠A=90°图形：画在下面求证：___________________证明：3、证明：矩形对角线相等已知：如图，图形：画在下面求证：证明：三、探索活动问题一如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？问题二将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”已知：图形：画在下面求证：证明：问题三上面结论的逆命题是：。是否正确？请给予证明。四、例题学习1、例：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。求证：△AOB是等边三角形。(注意表达格式完整性与逻辑性)2、本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？五、课堂小结：六、课堂测试:1、已知:四边形ABCD是矩形(1)若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝㎝OB=㎝(2)若已知∠CAB=40°，则∠OCB=，∠OBA=，∠AOB=，∠AOD=。(3)若已知AC＝10，BC=6，则矩形的周长＝，矩形的面积＝。(4)若已知∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=。2、已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若CD=3㎝，则AB＝㎝。3、已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。求证：EA=ED.19.2.1矩形矩形的判定【学习目标】：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力【学教重点】矩形的判定．【学习难点】：矩形的判定及性质的综合应用．【学习过程】一、温故知新：1.____________________的平行四边形是矩形.2.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．3.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．4.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边角对角线二、学习新知：自学教材95—96页，怎样判定一个图形是矩形呢？1.矩形的判定定理1几何语言：∵在ABCD中∴ABCD是矩形3.矩形的判定定理2∵在四边形ABCD中∴四边形ABCD是矩形三、课堂展示：证明定理：1、对角线相等的平行四边形是矩形已知：如图在ABCD中对角线AC和BD相交于点O，且AC=BD求证：ABCD是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形已知：如图在四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90°求证四边形ABCD是矩形四、课堂检测1．下列说法不能判定四边形是矩形的是（）A．有一个角为90°的平行四边形B．四个角都相等的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形2．在ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BCC．∠A+∠C=180°D．AB=AC3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DOB．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=COD．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD4．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证：四边形EFGH是矩形．札记5.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．札记五、课堂总结：1、矩形判定方法1：_____________________矩形判定方法2：_________________2、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()矩形小结复习【学习要求】理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理【知识训练】1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．4、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角5．下列命题中不正确的是()．(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半(B)矩形的对角线相等(C)矩形的对角线互相垂直(D)矩形是轴对称图形6．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为()．(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm7．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是()(A) (B) (C) (D)8、下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形9、满足下列条件（）的四边形是矩形。A．有三个角相等B.有一个角是直角C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分10．已知：如图

，在△ABC中，∠C＝90°，

CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．11.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。12、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩13．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．14．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．课题19.2.2菱形（一）【学习目标】：1.掌握菱形的性质，学会运用菱形的性质解决一些问题，进一步发展学生的合情推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法.2.经历探索菱形性质的过程，发展学生主动探索、研究的习惯.【学习重点】：菱形的性质【学习难点】：菱形的性质的研究.【学习过程】：一、温故知新1、如图，在ABCD中，用几何语言叙述其性质有：边______________角________________对角线________________对称性_____________________面积________________二、学习探究：1、学习97页内容有一组邻边的平行四边形叫做菱形。菱形是的平行四边形。那么菱形具有平行四边形的所有性质：____________________按照97页探究提示，自己做一个菱形，结合图形探究菱形的性质，同学间说明理由：（1）菱形_____轴对称图形，有_____条对称轴，对称轴位置关系__________（2)定理：菱形的四条边都；(3)定理：菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角。4）菱形的一条对角线把菱形分成两个______的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的______三角形.菱形的面积计算公式________________1CBA三1CBA1.如图是边长为16cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=.2.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，菱形的周长________和面积________3.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。FFEDCAB4.如右图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.求证：①△ABE≌△ADF；②∠AEF=∠AFE.5如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．四、小结：菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为_______三角形（_____三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。五、课堂检测1．_____________________的平行四边形叫做菱形．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,则AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等，图中的等腰三角形有__________________，直角三角形有______________，△AOD≌____________≌____________≌_____________，由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________．3．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得到_____________的四边形是菱形．4．下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形5、下面性质中，菱形不一定具有的是（）A．对角线相等B．是中心对称图形C．是轴对称图形D．对角线互相平分6、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．7、以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是____________．8．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．9.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.19.2.2菱形的判定【学习目标】：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．【学习重点】：菱形的两个判定方法．【学习难点】：判定方法的证明方法及运用．【学习过程】：一温故知新1、菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________角：__________________________;______________________________对角线：_____________________________;___________________________________2、（菱形的判定方法一）菱形的定义：有一组邻边的叫做菱形.用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是四边形∵___＝____，∴□ABCD是菱形3.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点,过D作DF∥AB交AC于F点.求证：（1）四边形AEDF是平行四边形（2）∠2﹦∠3（3）四边形AEDF是菱形二、探究新知：探究并掌握菱形的判定方法二1.(画图)自学99页最后三行的画图过程,用圆规画出菱形ABCD,图画在右边(保留作图痕迹)2.你发现四边形ABCD四边的关系是：3.（猜想）四边相等的四边形ABCD是一个_____形.4.（证明）利用上图证明：“四边相等的四边形是菱形”已知：如上图，在四边形_______中，____=____=____=____求证：四边形ABCD是_____.证明：5.（总结）由上写出菱形的判定方法二:_______.利用上图用符号语言表示为：在四边形ABCD中，∵____=____=____=____∴四边形ABCD是形三探究新知：、探究并掌握菱形的判定方法三已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.2.总结写出菱形判定方法三:用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC___BD，∴□ABCD是菱形四、利用菱形判定方法进行计算和证明自学99页例3完成下题“在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，并且AB=9，OB=6，OA=3.求证：（1）AC⊥BD（2）□ABCD是菱形吗？说说你的理由.（3）求四边形ABCD的面积.2.判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱（）(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）(4).对角线相等的四边形是菱形（）五、小结：菱形的常用判定方法判定方法1：（定义：）判定方法2：判定方法3：六：课堂检测1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是四边形ABCD求证：（1）四边形ABCD是平行四边形(2)过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.(3)求证：四边形ABCD是菱形.菱形复习课【学习要求】理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．一、填空题：1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．二、选择题6．对角线互相垂直平分的四边形是()．(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是()．(A)矩形(B)平行四边形 (C)菱形 (D)任意四边形8．下列命题中，正确的是()．A两邻边相等的四边形是菱形B一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D对角线垂直的四边形是菱形9．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()．(A) (B)4 (C)1 (D)210．如下左图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是()．(A)4 (B)8(C)12 (D)1611．如上右图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．12．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．(1)求证：△ADE≌△CBF．(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．14.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。19.2.3正方形【学习目标】1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．【学习重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．【学习难点】：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．【学习过程】一.温故知新填表：性质判定方法矩形边：角：对角线：对称性：1.2.3.菱形边：角对角线：对称性：1.2.3.二.学习新知1.做一做：用一张长方形的纸片，折出一个正方形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．观察这出的正方形，猜猜正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的（），又是有一个角是直角的（）所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．3、正方形性质定理1：正方形的四个角都是，四条边都。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且，每一条对角线平分。4、自学教材100页，体会正方形与菱形矩形的关系：5、完成课本100页思考：并自学100页例16、已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）EA=AF；（2）EA⊥AF．三.课堂小结：完成下列练习1、正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线_______________．2、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的__________________3、正方形的边长为6，则面积为__________正方形的对角线长为6，则面积为__________课堂检测：1、．如右图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知EC=30,EB=10,则正方形ABCD的面积为_______________，对角线为__________．2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC3．如右图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．AABCDEF4.已知：如右图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．正方形复习课【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【知识检测】一、知识回顾1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的____，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形；4．对角线________________________________的四边形是正方形．5.判断对错：（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形.（）（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.（）（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形.（）（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.（）（5）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.（）二，知识检测1．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．2．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为.5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．6.如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是.7．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．8．如下左图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为()(A)12(B)13(C)14 (D)159．如上中图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为()cm2．(A)6(B)8(C)16 (D)不能确定10、如上右图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AC、BD交于点O，若不增加字母或辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是并请说明理由？三、综合训练1、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：四边形CFDE是正方形2．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．3.如图，正方形ABCD中，对角线交于O，E是OB上一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.①求证：OE=OF.②当E为OB延长线上一点时，画出对应的图形，观察①中结论是否仍然成立，并给予证明.19.3梯形（一）【学习目标】：1、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．2、能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．【学习重点】：等腰梯形的性质及其应用．【学习难点】：解决梯形问题的基本方法【学习过程】：一、自主学习P106-107页梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做_____________；两腰______的梯形叫做等腰梯形．2、画一画在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，（1）怎样画才能得到一个梯形？（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？做—做探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．在一张方格纸上画一个等腰梯形，连接两条对角线．思考：这个图形是轴对称图形吗？对称轴在哪里？你能发现哪些相等的线段和相等的角？结论：等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，_________________就是它的对称轴．等腰梯形中___________的两个角相等，两腰______，两对角线______。二、合作解疑解决梯形问题常用的方法：（请记忆）（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1图2图3图4图5三、1、自学教材P107的例12如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求（1）AD=AB—DC．（2）CD的长3如图，已知等腰梯形ABCD中.AB=CD,∠B=60°,AD=15cm，BC=49cm,求它的腰长和面积。4、已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）小结与反思。课堂检测1、下列说法正确的是（）第7题图平行四边形是一种特殊的梯形B．等腰梯形的两底角相等C．等腰梯形不可能是直角梯形D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形2、在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底角相等．其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．43、等腰梯形的上底、下底、高之比为1∶3∶1，则下底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4、等腰梯形ABCD中，，AC与BD交于O点，图中全等三角形有（）A．两对B．四对C一对D．三对5、在周长为30cm的梯形ABCD中，上底，，交AB于E，则△ADE的周长为________cm；6、直角梯形的一腰与底边夹角为60°，此腰与上底的长都是8cm，则梯形的周长是________．7、如右上图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=AB，BD=BC，求∠A的度数.课题19.3梯形（二）【学习目标】：1.探索等腰梯形的判别方法，并学会简单应用.2.经历验证等腰梯形判定方法的过程，发展多策略解决问题的能力.3.体验类比、转化思想在研究等腰梯形问题中的运用.【学习重点】：探索等腰梯形的判断方法及其应用.【学习难点】：验证等腰梯形的判断方法.【学习过程】．一、温故知新1、___________的梯形是等腰梯形2、如图，你能通过添加辅助线，把梯形转化为其他的图形吗？3、如图，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD.求证：BE=BC.二、新课探究1.如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，DE∥AB且交BC于E点.（1）图中还有哪些相等的角？图中还有哪些相等的线段？（2）由此你是否可得出梯形ABCD是等腰梯形？试用自己的语言完整地表述.（3）你是否发现了等腰梯形与等腰三角形的联系？（4）请你以下的方法证明：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.三、课堂练习1.下列命题中，真命题是（）A有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形.B有一组对角互补的梯形是等腰梯形.C有一组邻角相等的四边形是等腰梯形.D有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形.2.课本第108页练习第1，2题.3.课本第108页例2.4、求证：对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD.求证：四边形ABCD是等腰梯形.小结与反思：课堂检测：1、等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60°，则下底长是_____2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为()．(A)4 (B)6 (C) (D)3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝３，BC=7，AB=DC=4，求∠B的度数．4、在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则梯形ABCD的面积是多少？梯形的复习——相关的思想方法【学习目标】通过本节课的学习进一步掌握梯形的有关知识，会作梯形的辅助线。【学习过程】一：归类：1、作梯形的两条高,梯形转化成——长方形和直角三角形.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝5，BC＝11；求梯形ABCD的面积．2、平移一腰,梯形转化成——平行四边形和三角形、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=BC－AD，∠B=75°。求∠C的度数。3、延长两腰,将梯形转化成——三角形.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，求证:CD＝BC－AD.（提示：先证BC=CE、AD=DE）4、平移对角线,将梯形转化成——平行四边形、三角形.如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE的长．平移上底,梯形转化成——三角形.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF⊥AB于点F．求证：S梯形ABCD=AB×EF．二、总结梯形常用的辅助线作法有种，分别是、、、、。三、课堂练习1、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝３，BC=7，AB=DC=4，求∠B的度数．2、在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则梯形ABCD的面积是多少？3、变式练习：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点求证：课题平行四边形总复习【学习目标】掌握几种特殊四边形的定义、性质及判定方法；能够解决有关的问题【学习过程】一、几种特殊四边形的定义及关系课本118页二、几种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形对边且对角两条对角线互相矩形对边四个角都是两条对角线互相菱形对边，四条边都对角相等两条对角线互相，每条对角线一组对角正方形对边，四条边四个角都是两条对角线互相，每条对角线一组对角等腰梯形两底，两腰同一底上的两个角两条对角线三、巩固练习1.判断：平行四边形的对角线相等；（）矩形的四个角都相等；（）菱形的对角线互相垂直平分；（）正方形的对角线互分相等且互垂（）2.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（）(A)矩形。(B)正方形。(C)菱形。(D)平行四边形3.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）(A)对角相等。(B)邻角互补。(C)对角互补。(D)内角和是360°。4、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对角线互相平分。B对角线相等。C对角线平分一组对角。D对角线互相垂直。5．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A．大于2B．小于14C．大于2且小于14D．大于2或小于126.如图(1)，□ABCD中，∠1=∠B=50°,则∠2AEBDCF12O7.如图(2)，菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8AEBDCF12OABABCDO(2)ABCD12(1)(1)8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．四、特殊四边形的常用判定方法平行四边形1、有两组的四边形是平行四边形。（定义）边2、两组的四边形是平行四边形。边3、一组的四边形是平行四边形。4、的四边形是平行四边形对角线5、的四边形是平行四边形角矩形1、有一个角是+=矩形（定义）2、有三个角是的四边形=矩形3、对角线的平行四边形=矩形菱形1、+=菱形（定义）2、边都相等的四边形是菱形。3、对角线的平行四边形是菱形。正方形1、有一个角是且有一组的平行四边形是正方（定义）2、一组邻边相等+=正方形3、一角为90°+=正方形等腰梯形1、两相等的梯形（定义）2、在同一底上的两个角的梯形3、两条的梯形。五、其他重要定理1．三角形中位线定理:三角形的中位线_______三角形的第三边，且等于第三边的_______。第2题ABCDE第1题如图1，三角形ABC中，AD=DB，AE=EC，则有第2题ABCDE第1题第3题第3题ABCDOABCDO如图2，在Rt△ABC中，D是AB的中点，则CD=；3．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的；如图3，在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=；六、巩固练习1．如图19-3,正方形ABCD的对线AC、BD相交于点O.那么图中共有个等腰直角三角形.2