2025年中考数学二轮总复习：与圆有关的位置关系

微专题29与圆有关的位置关系

考点精讲

构建知识体系

圆外1

圆上一■（点与圆的位置关系hd切线的性质与判定）

圆内」

-与圆有关的位置关系-

相离］

■｛直线与圆的位置关系］

相切-

相交-

考点梳理

1.点与圆的位置关系

点在圆外d=OA①_____r

点在圆上d=OB②r

\y\JA

点在圆内d=OC③r

2.直线与圆的位置关系（2024年首次涉及考查）

位置关系相离相切相交

d与厂的

d④________rd@rd®________r

关系

交点的

没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点

个数

出

示意图to

3.切线的性质与判定（6年6考）

⑴性质定理：圆的切线⑦于过切点的半径（或直径）

⑵性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切线垂直于过

切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点且垂直于切线的直线必过

圆心

⑶判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

（4）判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知：作垂直，

证半径

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4.切线长与切线长定理

图示

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧之间的线段的长度，叫做这

切线长

点到圆的切线长

从圆外一点可以引圆的⑨条切线，它们的切线长⑩—，这一点和圆心

切线长定理

的连线平分两条切线的夹角.（探索并证明切线长定理*选学）

5.三角形的内切圆

⑴定义：与三角形各边都相切的圆

（2）圆心。：内心（三角形的内切圆圆心或三角形三条⑪的交点）

（3）性质：三角形的内心到三角形⑫的距离相等

（4）角度关系：如图③，图④，ZBOC=90°+^ZBAC

【知识拓展】

任意三角形的内切圆直角三角形的内切圆

利用等面积法可得：r=丹三

利用等面积法可得：厂=冬詈

a十匕十c.

利用切线长定理可得：

练考点

1.已知。。的半径为3,尸为平面内一点，0P=4,则点P在。。.（填“内”'‘上"

或“外”）

2.已知圆的半径为3,圆心到某直线的距离为2,则此直线与圆的位置关系为.（填“相

交”“相切”或“相离”）

3.如图，AC是O。的直径.

⑴若3c是。。的切线，则NAC3=°；

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（2）若A3=5,BC=4,AC=3,则3c与。。.（填“相交”“相切”或“相离”）

第3题图

4.如图，PA,尸3是O。的切线，A,B为切点,连接A3,OA,OB,PO,P。交O。于点C,

交A3于点。，ZOAB=30°.

第4题图

⑴NAPB的度数为；

（2）若。4=4,则。P的长为.

5.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=.

第5题图

6.如图，△ABC的外接圆半径为5,其圆心。恰好在中线CD上，若A3=CD,则△ABC的

面积为.

4v

第6题图

高频考点

考点与切线有关的证明及计算（6年6考）

一、切线的判定（6年4考）

方法解读

1.利用平行证垂直：

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当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.

2.利用等角转换证垂直：

题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.

3.利用三角形全等证垂直：

常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂

直.

4.作垂直，证半径：

过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.

方法一连半径、证垂直

例1（利用平行证垂直）核心设问如图，在等腰AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交

3c于点E,过点E作EF±AB于点F.求证：EF是00的切线.[2019广东24（2）题考查]

例1题图

例2（利用等角转换证垂直）如图，A3是。。的直径，C是圆上一点，过点C的直线。交

R4延长线于点。，且NDC4=N3,求证：CD是。。的切线.

例2题图

例3（利用三角形全等证垂直）核心设问如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以为直径

作。。，交AB于点。，点E为AC上一点，连接DE.若DE=CE,求证:DE是。。的切线.[2020

广东22⑴题考查]

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A

例3题图

方法二作垂直、证半径

例4核心设问如图，在RSA3C中，ZACB=90°,以AC上一点。为圆心，0c长为半

径作O。，连接3。，若3。平分NA3C,求证：A3是。。的切线.[2024广东17（2）题考查]

二、切线性质的相关证明及计算（6年2考）

方法解读

1.证明角相等的方法：

⑴根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；

⑵根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；

⑶通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.

2.求线段长的方法：

⑴若题干中含有30°,45°,60°等特殊角度或出现三角函数sin、cos、tan时，考虑利用三

角函数求线段长；

⑵若题干无特殊角或三角函数，观察图形发现已知边与所求边分别所在的三角形存在相似关

系，考虑作辅助线将所求线段转化到直角三角形中，利用相似三角形求线段长.

3.证明线段平行的方法：

⑴通过角之间的等量代换，利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明两直线

平行.

⑵设法将两条线段放在同一个三角形中，利用中位线（或等分点）的性质证明两直线平行.

例5如图①，在AABC中，ZA=90°,E是3C上一点，以3E为直径的。。与AC相切

于点。，连接3D,DE.

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A

D

oJEC

例5题图①

⑴求证：NABD=/CDE；

(2)求证：BD平分/ABC；

(3)若NA3D=30°,AD=V3,求。C的长;

(4)如图②，若R为CD的中点，连接EEZC=30°,求证：EF//AB.

例5题图②

真题及变式

命题点切线的判定及性质(6年6考)

1.(2020广东22题8分)如图①，在四边形ABCD中，AD//BC,ZDAB=90°,A3是。。的

直径，CO平分/BCD.

⑴求证：直线CD与。。相切;

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(2)如图②，记(1)中的切点为E,尸为优弧端上一点，AD=1,BC=2.求tanNAPE的值.

第1题图

2.(2019广东24题9分•北师九下习题改编)如图①，在AABC中，AB=AC,。。是△ABC的

外接圆，过点C作NBCD=NAC3交O。于点。，连接AD交3c于点E,延长DC至点E

CF=AC,连接AE

⑴求证：ED=EC；

(2)求证：AR是O。的切线；

(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BCBE=25,求3G的长.

第2题图

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新考法

3.［真实问题情境］陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为备受世

界喜爱的一项运动.玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要.某数学兴趣小

组画出如图②所示的示意图，陀螺的截面图记作。。，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为AC,

点C为接头，绳杆为PC,发动陀螺时需将手放在优弧&处固定陀螺，连接AB,AP,AP交

于点。，连接3。且NABC=NADB

(1)求证：PC与。。相切；

⑵实践中发现，当AC与。。相切于点A,且ACLPC时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径r

=4cm,NA4P=30°,求绳杆CP的长度.

第3题图

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考点精讲

①〉②=③<@>⑤:@<⑦垂直⑧切点

⑨两⑩相等斜平分线亚条边

练考点

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高频考点

例1证明：如解图，连接OE,

'：OC=OE,

：.ZOEC=ZC.

"：AB=AC,

：./B=/C,

：.ZOEC=ZB,

：.OE//AB.

'：EFLAB,

：.EFLOE,

,.•OE是O。的半径，

.•.ER是O。的切线.

例1题解图

例2证明：如解图，连接OC,

•.•A3是O。的直径,

/.ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=90°.

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又：。4=0C,

：.ZCAB=ZACO,

'：ZDCA=ZB,

：.ZDCO=ZACO+ZDCA=ZCAB+ZB=90°,

即C"OC.

是O。的半径，

...CD是O。的切线.

例2题解图

例3证明：如解图，连接。。，0E,

在^ODE与AOCE中，

r0D=0C

,OE=0E,

、DE=CE

...△ODE法△OCE(SSS),

：.Z0DE=Z0CE=9Q°,

即

是。。的半径，

.♦.DE是O。的切线.

A

例3题解图

例4证明：如解图，过点。作ODLAB于点。，

：.ZODB=ZOCB=90°,

：.OC±BC,

,.•5。平分NABC,

：.OD=OC,

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:。。是O。的半径,

•••。。是0。的半径,

.,.AB是O0的切线.

4n

例4题解图

例5(1)证明：：台石为。。的直径,

AZBDE=90°,

/.ZADB+ZCDE=9Q°,

VZA=90°,

AZABD+ZADB=9Q°,

NABD=/CDE；

(2)证明：如解图①，连接OD,

•.'AC是O。切线，

：.ZODC=90°,

VZA=90°,

：.AB//OD,

：.ZABD=ZODB,

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZABD=ZOBD,

.•.3。平分NA3C；

例5题解图①

(3)解:如解图①，连接OD,

由(1)知ZABD=ZCDE,由(2)知ZABD=ZOBD,

VZA=90°,ZABD=30°,AD=43,

：.ZOBD=ZODB=ZCDE=30°,BD=2y/3,

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/.ZDOC=60°,

,.•AC与。。相切于点。，

：.ZODC=90°,

AZC=90°-60°=30°,

:./CDE=/C,

：.DE=CE,

VZBDE=9Q°,

1

：.BE=3V3=4,DE=-BE=2,

cos30°2

：.CE=DE=2,

：.OC=4；

(4)证明：如解图②，连接OD,

由⑵得NODC=90°,

VZC=30°,

AZDOC=60°,

'：OD=OE,

ODE为等边三角形，

：.ZODE=6Q°,

：.ZCDE=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.CE=DE=OE,

点E是。C的中点.

:点歹是CD的中点，

:.EF是XODC的中位线，

：.EF//OD,

由(2)知，OD//AB,

：.EF//AB.

例5题解图②

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真题及变式

1.(1)证明：如解图①，过点。作。ELCD于点E,

'JAD//BC,NDAB=90°,

：.ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZOEC,

平分/BCD,

：.Z1=Z2,

又.：CO=CO,

30C/△EOC(AAS),

：.OE=OB,

：为O。的半径，

.,.OE为O。的半径，

又CD,

・•.直线CD与。。相切；(3分)

(2)1?：如解图②，连接00,0E,

由⑴得。£=。3,

：.OE=OA,

'：ZOAD=ZOED=90°,0D=0D,

.*.RtAAOD^RtAEOD(HL),

：.DE=AD=1,Z3=Z4=-ZAOE,

2

1

/.ZAPE=-ZAOE=Z3,

2

由⑴得△B08AE0C,

：.CE=BC=2,

：.CD=DE+CE=3.(5分)

过点。作DfUBC,垂足为点R则四边形ABED为矩形,

/.CF=BC-BF=BC-AD=1,

在RtADRC中，DF=JcD12-CF2=2V2,

：.0A=^AB=^DF=42,

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）

AT-/亭（8分）

/.tanNAPE=tanZ3=—OA=

一题多解法

如解图③，连接BE,AE,并延长AE交BC的延长线于点F,

由题意得NAPE=ZABE,,：ZDAB=90°,A3为O。直径,

...AD与。。相切，：.DE=AD=1,同理可得CE=C3=2,

,JAD//BC,

即FE=2AE,（5分）

FECE2''

「AB是O。的直径，

：.BE±AF,

,：ZABE+ZBAE=9Q°,ZABE+ZFBE=90°,

ZBAE=ZFBE,

:.xABEs^BFE,

.AE_BE器,即3E2=2AE2,

''BEFE

•••煞=条负值已舍去），

tanZAPE=tanZABE.（8分）

BE2

第1题解图③

2.（1）证明：如解图①,

"：AB=AC,

/.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

/.Z2=Z3,

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VZ3=Z4,

.*.Z2=Z4,

:.ED=EC；(2分)

(2)证明：如解图②，连接。4,OB,0C,

"：OB=OC,AB=AC,

...A。是3c的垂直平分线，

：.AOLBC.

•.•由(1)得N2=N3,

：.AB//DF.

'：AB=AC=CF,

・•・四边形A3CT是平行四边形，

：.AF//BC,

：.AOLAF.

是O。的半径，

•,.AR是O。的切线；(5分)

E4

第3题解图②

(3)解：如解图③，连接AG,

VZ1=Z2,N2=N5,

/.Z1=Z5.

是△ADC的内心，

.\Z7=Z8,

NB4G