2025年中考数学复习：反比例函数

反比例函数

1如图，点A在反比例函数y=((x)O)的图象上，AB，x轴于点B,C是0B的中点，连接AO,AC,若小A0

C的面积为4,则k=()

A.16B.12C.8D.4

2如图.在平面直角坐标系中,AAOB的面积为刍,BA垂直x轴于点A,0B与双曲线y=」相交于点C,且BC:

oX

OC=1：2.则k的值为()

3如图，矩形OABC的面积为36,它的对角线OB与双曲线y=§相交于点D,且0D：OB=2:3,则k的值为

4如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD〃OB,DBJ_x轴，对角线A

B,OD交于点M.已知AD:OB=2:3,AAMD的面积为4.若反比例函数y=司勺图象恰好经过点M,则k的值为(

5如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，力B||x轴，AO^AD,

AO=AD过点A作力E回CD,垂足为E,DE=4CE.反比例函数y=((盼0)的图象经过点E,与边AB交于点F,连接

OE,OF,EF.若S&EOF=蓑，则k的值为（）学习笔记:

C.7

6如图，在平面直角坐标系中，口OABC的顶点A,B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函

数y=：0>0）的图象交BC于点D.若CD=2BD,°OABC的面积为15,则k的值为.

7如图，△中，AO=AB,0B在x轴上C,D分别为AB,OB的中点，连接CD,E为CD上任意一点，连接

AE,0E,反比例函数y=£（x>0）的图象经过点A.若^AOE的面积为2,则k的值是.

区如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对

称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点B恰好落在y=^k^0,x<0）的双曲线上，点O、E的对应点

分别是点C、A.若点A为OE的中点，且SAAEF=1,则k的值为.

9如图，△4BC是等腰三角形，AB过原点O,底边BC||X轴，双曲线y=£过A,B两点，过点C作CD//y

轴交双曲线于点D,若S^BCD=8,则k的值是.

10如图，点A(-2,2)在反比例函数y=§的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且O

M=ON=5.点P(x,y)是线段MN上一动点过点A和P分别作x轴的垂线垂足为点D和E连接OA、OP.当SA0AD<

SAOPE时，x的取值范围是.

11如图，过反比例函数y=汕0,乂>0)图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作X轴的垂线，垂足分别为

4,再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，B4，2242/34的垂线，构造了四个相邻的矩形•若这四个矩形的面积

从左到右依次为Si，S2，S3，S4,04=44=44二44，则Si与S4的数量关系为.

12如图，直线y=|比与双曲线丫=三也手0)交于A,B两点，点A的坐标为(m,-3),点C是双曲线第一象

限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D,且BC=2CD.

(1)求k的值并直接写出点B的坐标；

(2)点G是y轴上的动点，连接GB,GC,求GB+GC的最小值：

(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P,Q,使得四边形ABPQ是矩形?若存在，请求出所有符

合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13已知反比例函数y=?的图象经过点A(2,3).

⑴求该反比例函数的表达式；

(2)如图，在反比例函数y=『的图象上点A的右侧取点C,过点C作x轴的垂线交x轴于点H,过点A作

y轴的垂线交直线CH于点D.

①过点A,点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B,求证：O,B,D三点共线；

②若AC=20A,求证：ZAOD=2ZDOH.

14如图所示，直线y=七尤+b与双曲线y=终交于A、B两点，已知点B的纵坐标为-3，直线AB与x轴交

于点c,与y轴交于点。(0,-2),0A=遍,tan乙40C=

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是4ODB的面积的2倍，求点P的坐标；

(3)直接写出不等式k1X+b<0的解集.

15如图，直线y=|x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B.直线1且与△AOB的外接圆。P相切,

与双曲线y=-三在第二象限内的图象交于C、D两点.

(1)求点A,B的坐标和。P的半径；

(2)求直线MN所对应的函数表达式；

(3)求△BCN的面积

16如图，一次函数y1=kx+b(k丰0)与反比例函数为=力0)的图象交于点A(1,2)和B(-2，a),与y

轴交于点M.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)在y轴上取一点N,当△4MN的面积为3时，求点N的坐标；

(3)将直线力向下平移2个单位后得到直线：为，当函数值外>先〉时，求x的取值范围.

17如图，已知边长为4的正方形ABCD中，团y轴，垂足为点E,AD团久轴，垂足为点F,点A在双曲线

y=:上，且A点的横坐标为1.

(1)请求出B,C两点的坐标；

⑵线段BF,CE交于点G,求出点G到x轴的距离；

(3)在双曲线上任取一点H,连接BH,FH,是否存在这样的点H,使△BFH的面积等于5,若存在，请直接写

出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由.

18如图，矩形OABC的顶点A,C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2,2必)，反比例函数y=：(x>0)的

图象与BC,AB分别交于D,E,BD=

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；

(3)点F在直线AC上，点G是平面内一点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反

比例函数图象上.

19如图，一次函数y=-%+1的图象与两坐标轴分别交于A,B两点，与反比例函数的图象交于点

⑴求反比例函数的解析式；

(2)若点P在y轴正半轴上，且与点B,C构成以BC为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.

20如图，正比例函数y=kx(k*0)的图象与反比例函数y=的图象交于点A(n,2)和点B.

(1)n=,k=；

(2)点C在y轴正半轴上..乙4cB=90。，，求点C的坐标；

⑶点P(m,0)在x轴上，乙4PB为锐角，直接写出m的取值范围.

21如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=式》0)的图象上，直线AB交y轴于点密习邕焦:C的纵坐

标为5,过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF,垂足分别为点E、F,且2E=1.

(1)若点E为线段OC的中点，求k的值；

(2)若△。/1B为等腰直角三角形，乙AOB=90°,,其面积小于3.

①求证：AOAEBOF;

②把%i-x2I+|%—%I称为！M⑶，%),政%2〃2))两点间的“ZZ距离”,记为d(M,N),求d(A,C)+d(A,

B)的值.

22如图，点B是反比例函数y=久久〉0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A,C.反比例函数

y=1(久)0)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O

关于点C对称，连接BF.BG.

⑴填空:k=;

(2)求4BDF的面积；

(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.

23如图在矩形OABC中，AB=2,BC=4,点D是边AB的中点，反比例函数学习笔记：71=|(%)0)

的图象经过点D,交BC边于点E,直线DE的解析式为y2^mx+n(m0).

⑴求反比例函数71=久力0)的解析式和直线DE的解析式；

⑵在y轴上找一点P,使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，APDE的周长最小值是.

24如图，在平面直角坐标系中，OM与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、

MC,已知。M半径为2,^AMC=60。,双曲线y=：(盼0)经过圆心M.

(1)求双曲线y=强勺解析式；

(2)求直线BC的解析式.

25如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交

于点P,P在反比例函数y=(的图象上.PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连接CD.

⑴求/P的度数及点P的坐标；

(2)求^OCD的面积；

(32AOB的面积是否存在最大值?若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由.

26已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=：⑴0)图象上的一个动点，连结AO,AO的延长

线交反比例函数y=§(fc)0,x<0)的图象于点B,过点A作AE_Ly轴于点E.

(1)如图1,过点B作BF，x轴,于点F,连接EF.

①若k=l,求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE,若k=4,求4BOE的面积.

(2)如图2,过点E作EP〃AB,交反比例函数y=1(fc)0,x<0)的图象于点P,连结OP.试探究：对于确定的

实数k,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化?请说明理由.

1解：：C是OB的中点△AOC的面积为414AOB的面积为8,设A(a,b)

*.*AB_Lx轴于点B,ab=16,

v点A在反比例函数y.(幻0)的图象上，

k=16.故选：A.

2解：过C作CD±x轴于.D,•；.=Q..=I，BA1x轴,.•.CD〃AB,・.ADOC-AAOB,瓷=(|)2=

4・・G_27

J，•^^AOB—

•••S^DOC=三SMOB=gX誉=|「••双曲线y=:在第二象限,k=一2X|=-3,故选:A.

3解：方法一、如图，连接CD,过点D作DEJ_C。于E,：矩形OABC的面积为36,.一岫。。=18,

0D-.0B=2:3,.­.S^CDO=gX2=12,

SADEO=fX2=8,；双曲线y=［图象过点D,

y=8,又二•双曲线y=胭象在第二象限，

.\k<0,/.k=-16,故选：D.

方法二、：矩形OABC的面积为36,SABCO=珥

.SADEO_（OD）2-4

"：DE//BC,

SAOBC°B9

.•■sADEO=18X[=8,：双曲线图象经过点D,

••.y=8,又•.•双曲线图象在第二象限，

；.k<0,/.k=-16,故选：D.

4解：过点M作MH_LOB于H.：AD〃OB,

.•・△的人。。”,，雾=嗡）2,

VSAADM=4,.\SABOM=9,VDB±OB,MH±OB,

OMOB3

DMAD2’

,，,OH--OB,S^MOH=gXS^OBM=g，

5解：延长EA交x轴于点G,过点F作FH±x轴于点H,如图，

♦AB〃x轴,AE±CD,AB〃CD,・・・AG_Lx轴.

VAOXAD,AZDAE+ZOAG=90°.

VAEXCD,.\ZDAE+ZD=90o..\ZD=ZOAG.

£.DEA=乙4G。

在^DAE和^AOG中，｛乙D=Z-OAG,

AD=OA

：.ADAEVAAOG(AAS).ADE=AG,AE=OG.

四边形ABCD是菱形，DE=4c瓦・•.AD=CD=-DE.®DE=4a,贝!!AD=OA=5a.

4

OG=AE=y/AD2-DE2=3a..♦.EG=AE+AG=7a.

/.E(3a,7a).

:反比例函数y=§(x>0)的图象经过点E,k=21a2.

VAGXGH,FH±GH,AFLAG,.•.四边形AGHF为矩形.；.HF=AG=4a.：点F在反比例函数y=/30)的

图象上,x—三-=o.•••Fa>4a).

21Q

・•.OH=—a,FH=4a.GH=OH-OG=-a.

44

S^OEF=S^OEG+S^OHF-S△。尸,

•--xOGxEG-^--(EG+FH)xGH--0HxHF=—

22v728

*，•-x21a2-|—x(7CL+4a)x-a—x21a2=—.

22'7428

解得：a2=fk=21a2=21x1=(.故选：A.

6解：过点D作DN，y轴于N,过点B作BM，y轴于M,设OC=a,CN=2b,MN=b,"OABC的面积为1

5,・•.BM=・•.ND=-BM=—

a3af

.，.A,D点坐标分别为.,38),(印a+2b).•・*3b='a+2b)".b=|a,

k=—•3b=—,3x-Q=18,故答案为：18.

aa5

7.解：如图：连接AD,AAOB中，AO=AB,OB在x轴上，C、D分别为AB,OB的中点，「.ADLOB,AO\\CD

>^^AOE=^LAOD=2,*'•k=4.故苔案为：4.

8解：如图.MN交x轴于点G,连接OB,由于RtADOE与RtABCA关于MN成轴对称.且OA=AE,

由对称性可知,AG=GE,OA=AE=EC,；.AG=沁，

SAAEF=1>S—FG=5sA4EF=p

：MN〃BC〃OD,.•.△AFGS/SABC,

$：：：；=(就尸=''tSAABC=5x16=8,又OA=-AC,■■SA0AB=-SAABC=4,

••.SAOBC=8+4=12,•.•点B在反比例函数的图象上，

ASAOBc=12=1|k|,Vk<0,；.k=-24,

故答案为：-24.

9解：过点A作AE〃y轴，交BC与点E,设点A(a,k2)则B(-a,-k/a),；.BE=2a,

「△ABC是等腰三角形，底边BC〃x轴.CD〃y轴”

；.BC=4a,...点D的横坐标为3a,...点D的纵

—,：.CD=-+-=—,VSAflCD=-XBCXCD=卜=2_

3a3aa3a2［丫=3'坐标为0,

；x4ax=8,k=3,故答案为3.

23a

10.解：过点B作BFLON于F,连接OB,过点C作CGLOM于点G,连接OC,如图,

EGM

D°

:,点A(-2,2)在反比例函数y=§的图象上，:k=-4.y=y.

从图中可以看出当点P在线段BC上时，SAOPE>SAOBF,即当点P在线段BC上时，满足SAOAD<SAOP

VOM=ON=5,ANCO,-5),M(5,0).

设直线MN的解析式为y=mx+n,则:广二.・•直线MN的解析式

n=-5

为y=x-5.

y=x—5.x=1x=4

一■v=-4，解得：-y=-4/ty=-1

・・・B(1,-4),C(4,-1).

...X的取值范围为l<x<4.

11解：；过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，(。&=AtA2=A2A3=A3A4,

1',S1=k,S=-k,S=-fc,=-/c,

2Z334

Si=4s4.故答案为：Si=4s4.

12解：⑴将点A的坐标为(m,-3)代入直线y=|久中，得-3=|m,解得：m=-2,

；.A(-2,-3),.\k=-2x(-3)=6,

y=-XY――?

..•反比例函数解析式为y=5，由{?6，解得{:二或；•点B的坐标为(2,3);

*v=-y~°

(2)如图1,作BE_Lx轴于点E,CF_Lx轴于点F,.*.BE^CF,AADCF^ADBE,ADCDB^FE,-：BC=2CD,

_2.CD_1,CF_1

~J).,,——.,,——

DB333

；.CF=1,；.C(6,1)，作点B关于y轴的对称点B，,连接B'C交y轴于点G,则B'C即为BG+GC的最小值,：

B'(-2,3),C(6,1),

B'C=V(-2-6)2+(3-l)2=2V17,

•••BG+GC=B'C=2V17;

⑶存在.理由如下：

①当点P在x轴上时，如图2,设点Pi的坐标为(a,0),过点B作BELx轴于点E,

•••乙OEB=NOBP]=90°,^BOE="OB,

.,.△OBE^AOPiB,AOBB^OE,

VB(2,3)BOE中.勾股定理得：。8=原，:#=言,"=畀・.点”的坐标为(y<0);

②当点P在y轴上时，过点B作BNLy轴于点N,如图2,设点P2的坐标为(0,b),

•••乙乙。

ONB=PzBO=90/BON=/LP2OB;

氏

•••△BONAP2OB,.-.=黑，即半=盍,b=•.点P2的坐标为(0-y);

综上所述，点P的坐标为(T，o)或

14⑴解:.••反比例函数y=:的图象经过点A(2,3),.-.3=m2,：.m=6,

；・反比例函数的解析式为y=§

⑵证明：①过点A作AMLx轴于M,过点C作CNJ_y轴于N,AM交CN于点B,连接OB.

VA(2,3),点C在y=:的图象上，

..•可以设(C(t,：),贝UB(2,1),D(t,3),

6

」BM734AC-DH3

•••tanZ-BOM=OM—=2—=t-,t3LnZ-D0H=OH—=t-

.*.tanZBOM=tanZDOH,AZBOM=ZDOH,

••.O,B,D共线.

②设AC交BD于G：AD，y轴，CB_Ly轴,

；.AD〃CB,；AM_Lx轴，DHJ_x轴，，AB〃DC,

・・・四边形ABCD是平行四边形，・・・NADC=90。，

・•・四边形ABCD是矩形，・,.AG=GC=GD=GB,

VAC=2OA,AAO=AG,AZAOG=ZAGO,

VZAGO=ZGAD+ZGDA,VAD//OH,

AZDOH=ZADG,VGA=GD,AZGAD=ZADG,

ZAOD=2ZADG=2ZDOH.

15.解：⑴如图1,过点A作AE±x轴于E,.,・NAEO90。,在RtAAOE中，=奈=/设AE=m,则OE

=2m,根据勾股定理得,.AE2+OE2=OA2,m2+(2m)2=(V5)，:.m=或m=-l(舍),L；.OE=2,AE=1,.\A(-2,1)

:点A在双曲线y=.上，=-2xl=-2,

；・双曲线的解析式为y=-亍..点B在双曲线上，且纵坐标为-3,-3=-|,；.x=|,；.B(|，-3)将点A(-2,

7—2k]+b=1K__2

1),B(-3)代入直线y=kix+b中得，｛2>上%(2,

3-k1+b^-3b=-2

；•直线AB的解析式为y=-|x-2;

(2)如图2,连接OB,PO,PC;：D(0,-2),

/-0D=2,由⑴知,B(|，—3),

S^ODB=2。。,XB=

,/AOCP的面积是^ODB的面积的2倍，

•••S〉OCP=2sAODB=2xI=接由⑴知，直线AB的解析式为y=-|x-2,令y=0,则一|%-2=0,

・♦.x=-if。。=i设点P的纵坐标为n,

1144

•••S40cp=-0C-yP=-x,-n=n=2,

由(1)知，双曲线的解析式为y=-|,

,/点P在双曲线上,2=—：,.••久=-1,P(—1，2)

(4)由⑴知，A(-2,1),B(I，-3)油图象知，不等式自％+6W0的解集为：-2Wx<0或%>|.

16.解：(1)对于y=+6,令y=[x+6=0,解得x=-8,令x=0,则y=6,故点A、B的坐标分别为(一8,0)、

44

(0,6),VZAOB为直角，则AB是圆P的直径，由点A、B的坐标得：AB=V62+82=10,故圆的半径=\AB

=5;

(2)过点N作HNLAB于点H,设直线MN与圆P切于点G,连接PG,贝UHN=PG=5,则sin/JVB"=sin乙48。

5

-

A084-r+nurnMH-4=今即直线向上平移个单位得到故的表达式为

——=—=一，在RtANHB中，NB=-------AB254MN,MN

AB105smZ.NBH5

(3)由直线MN的表达式知，点1N(O,F)，联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3/+49%+120

=0,解得：*=一3或-当

故点C的坐标为(-3,10),由点C、N的坐标，坐标公式得：CN=抑必BCN的面积=|c/V-/VH=|x5

x—=1X2^=,

48VS

17解：⑴•••先=:过点A(1,2)=2,即反比例函数：%=:，当x=-2时，a=-l,即B(-2,-1),

Vyt=kx+b过A(1,2)和B(-2,-1)，则｛、+b=2-2k+b=一1,解得:(k=lb=1,.,・%=%+1;

(2)当x=0时，代入y=x+l中得，y=l,即M(0,1S^N=川村以|=3且xA=l,MN=6,N(0,7)或(0,

⑶如图，设丫2与丫3的图象交于C,D两点,..yi向下平移两个单位得丫3,且%=x+l,

.刁3=X-1,联立得：｛2,解得：1二一;或。二:

y--y—Ly—L

・・・C(-1,-2),D(2,1),

Vyi>y2>V3,-2<x<-l或l<x<2.

18.解：(1)对于y=:①，当X=1时，y=1=2,故点A(1,2),即AE=1,AF=2,

贝UBE=AB-AE=4-1=3,FD=AD-AF=4-2=2,故点B的坐标为(-3,2),点C的坐标为(-3,-2);(2)由(1)知，点F(1,

0)，设直线BF的表达式为y=kx+b,则｛2；二解得：)=；故直线BF的表达式为y=-齐+去设直线

U—K~rDJj—_乙乙

-2

X-9-----

BF交y轴于点M,则点M(0,、同理可得直线CE的表达式为y=白+2,联立BF、CE的表达式并解得：｛

Z3V=——

711

故点G的纵坐标为当则点G到x轴的距离为弟

⑶存在，理由：由直线BF的表达式知，点M(0二),由点B的坐标知，tanzBME=*=2,则sin/BME等

2EM

点B、F的坐标知，BF=2V5,

①当点H在BF上方时(BF〃m),

如下图，过点H作直线m//BF交y轴于点N,过点M作MG±m于点G,

则小BFH的面积=|BFxMG=|x2V5xMG=5,解得MG=6，：m〃BF,则/MNG=NBME,

在RtAMGN中，sin乙MNG=sin4BME=需=焉=套解得MN=|,

x=3+VJ

]3-V5

贝ON=OM+MN=^+1=3,故点N(0,3),则直线m的表达式为y=-|x+3②，联立①②并解得："F

%=3-V5

9｛3+V5，

y=『

故点H的坐标为(3+V5＜书)或(3-后甘);②当点H在BF下方时(BF〃n),同理可得，点H的坐标为(-

2,-1).

综上所述，点H的坐标为(3+花，等)或(3-V5,萼)或(-2,-1).

19.解：⑴•••B(2,2遍)，则BC=2,而BD=|,,­,CD=2-|=|,故点D(|，2遮)，将点D的坐标代入反比例函数

表达式得：2V3=|■，解得k=3百，故反比例函数表达式为y=学，当x=2时，y=手，故点EQ崂；

2

(2)由(1)知,0(|,2百),点E0学)，点B(2,2何，则BD=1,BE=--,

173

故BD_2_1EB_V-l-BD.nF//Ar.

前一2一型而一派一4一前，一

⑶.①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，过点F作FH±y轴于点H,

,/四边形BCFG为菱形，贝［］BC=CF=FG=BG=2,在RtAOAC中，(。4=BC=2,0C=AB=2b,则

tan^OCA=鲁=靠=号故/。以=30。,贝！］FH=^FC=1,CH=CF-coszOCX=2Xy=百，故点F(l,遮)，

则点G(3,遮)，当x=3时，y=誓=依故点G在反比例函数图象上；

②当点F在点C的上方时，同理可得，点6(1，3仔),同理可得，点6在反比例函数图象上；

综上，点G的坐标为(3,V3)或(1,3圾者B在反比例函数图象上.

20.解：⑴：点C(-2,m)在一次函数y=-x+l的图象上，把C点坐标代入y=-x+l,得m=-(-2)+1=3,...点C的

坐标是(-2,3),

设反比例函数的解析式为y=三把点C的坐标(-2,3)代入y4得，3=与解得k=-6,

...反比例函数的解析式为y=4

X

⑵在直线y=-x+l中，令x=0,则y=l,...B(0,l),由⑴知,C(-2,3)..由点的距离公式得：

BC=2V2当BC=BP时,BP=2V2,.*.OP=2V2+1,•••P(0-2V2+1),

当BC=PC时，点C在BP的垂直平分线，"(0,5),即满足条件的点P的坐标为(0,5)或(0,2V2+1).

21.解：(1)把A(n,2)代入反比例函数V=-£中彳导n=-4,；.A(-4,2),把A(-4,2)代入正比例函数丫=kx(k#0)

中得fc=

故答案为：—4;—

(2)•••由(1)可知,A(-4,2),.♦.根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B(4,-2),由点的距离公式可得：AB

=4V5,>/ZACB=90°,OA=OB,OC=^AB=2低C(0,2⑥；

(3)如图，在x轴上原点的两旁取两点Pi，P2,使得OP】=OP?=0A=0B,

：.0P1=0P2=0A=2V5,

P1(-2V5-0),P2(2V5)0),

0P1=0P2=。2=OB,.•.四边形4P/P2为矩形,

AP±1PrB,AP21BP2,

,/点P(m,0)在x轴上，ZAPB为锐角.P点必在Pi的左边或的右边，m<-2遍或m>2V5.

解法二：在x轴上原点的两旁取两点Pi，P2使得乙4P/=乙4P2吕=90。,则OP1=OP2=\AB=2倔

P1(-2V5-0),P2(2V5)0),

;点P(m,0)在x轴上，ZAPB为锐角,；.P点必在Pi的左边或的右边,••.m<-2击或m>2V5

22.解：⑴•••点E为线段OC的中点OC=5,；.OE=|"=*即：E点坐标为(0,|),又「AELy轴,AE=1,

A(1,j),•••/c=1Xj=|

(2)①在△OAB为等腰直角三角形中，AO=OB,ZAOB=90°,/.ZAOE+ZFOB=90°,又：BF_Ly轴,/FBO

Z-AEO—Z-OFB

+ZFOB=90°,ZAOE=ZFBO,ISAOAE和仆BOF中，｛乙40E=Z.FBO：.AOAE^ABOF(AAS),

AO=BO

②解：设点A坐标为(1,m),VAOAE^ABOF,

.,.BF=OE=m,OF=AE=1,-1),

设直线AB解析式为：1AB:y=nx+5,将AB两点代入得：

则｛nm解得｛n=-3｛n=-2

nm+5=—1m=2m=3

当m=2时。E=2t0A=^fS^A0B=|<3,符合；AA(1,2),B(2,-1)

Ad(A,C)+d(A,B)=l+3+l+3=8,

当m=3时,(OE=3fOA=fS.oB=5>3不符舍去;综上所述:d(A,C)+d(A,B)=8.

23解：⑴设点B(s,t),st=8,则点M(?s,/),则k==^st=2,故答案为2；

(2)连接OD,则4BDF的面积=△OBD的面积=S^B0A-S^0AD=^x8—[x2=3;

⑶设点D(m,2/m)厕点B(4m,2/m),：点G与点O关于点C对称，故点G(8m,0),蛆I点E(4m,a),

2,

—=mp+n

设直线DE的表达式为:y=px+n,1将点D、E的坐标代入上式得：｛丁并解得：直线DE

p=------7-=4mp+n

2m22m'

9

5

n=----

2m

的表达式为：y=——三％+工令y=0,贝!]x=5m,故点F(5m,0)，故FG=8m-5m=3m,而BD=4m-m=3m=FG,

2mz2m

又­/FG//BD,故四边形BDFG为平行四边形.

24.解：(1),•点D是边AB的中点,AB=2,；.AD=1,：四边形OABC是矩形,BC=4,AD(1,4),

•反比例函数yi=2>0)的图象经过点D,.-.k=4,

•♦•反比例函数的解析式为乃=黄"0),

当x=2时，y=2,；.E(2,2)，把D(l,4)和E(2,

2)代入y2=mx+n(m邦)得，『血："一，,；・严一蓝,

直线DE的解析式为y2=-2x+6;

⑵作点D关于y轴的对称点D1,连接D'E交y轴于P,连接PD,此时.△PDE的周长最小，

・，点D的坐标为(1,4),.•.点D，的坐标为(-1,4),设直线DE的解析式为y=ax+b,d=+

z一乙a।D

a—2__

解得：｛—J3,.•.直线D，E的解析式为y=-|x+?令x=0得y=?.•.点P的坐标为(0,当；

5___OOJ\O/

(3)VD(1,4),E(2,2),.,.BE=2,BD=1,DE=7BD?+BE2=声,由(2)知,D的坐标为(-1,4),ABD'=3,

.D'E=V22+32=V13,/.APDE的周长最小值=DE+D/E=^5+VH,故答案为：V5+V13.

25.解：(1)如图，过点M作MN_Lx轴于N,；./MNO=90。，切y轴于C,ZOCM=90°,ZCON=90°

,.,.ZCON=ZOCM=ZONM=90°，，四边形OCMN是矩形，；.AM=CM=2,ZCMN=90°,VZAMC=60°,AZA

MN=30°,

在RtAANM中，MN=AM-cos^AMN=2Xy=V3,.\M(2,心)，,:双曲线y=三(久)0)经过圆心M,k

=2xV3=2V3,

..•双曲线的解析式为y=¥(»o);

⑵由⑴知，四边形OCMN是矩形，；.CM=ON=2,OC=MN=遮，；.C(0,百)，

在R