2025年中考数学复习提升训练：旋转综合压轴题

2025年中考数学复习提升训练：旋转综合压轴题

1.已知正方形ABCD边长为1,对角线AC,3。相交于点O,过点O作射线OE,OF,分

别交AD,于点E,F,且

Ml图2图3

(D如图1,当OELAD时，求证：四边形AEOF是正方形；

(2)如图2,将射线OE,绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段OE与OP的数量关系，并给出证明；

②四边形OE4P的面积为二

(3)如图3,在四边形尸QMN中，PQ=PN,ZQPN=NQMN=90。,连接PM.若PM=9,

请直接写出四边形PQMN的面积.

2.综合与实践

将正方形ABCD的边A8绕点A逆时针旋转至A9,记旋转角为a.连接班'，过点。作DE

垂直于直线班'，垂足为点E,连接CE,

RDS用圄

⑴如图1,当。=60。时，△DEB'的形状为_______,连接如，可求出k的值为______；

CE

⑵当0。</<360°且打中90°时.

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，

请说明理由；

②当以点E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，求黑的值，若AB=2君,请

直接写出此时点E到CD的距离.

3.（1）观察猜想：如图1,已知C3G三点在一条直线上（CD〉DG）,正方形ABCD和

正方形DE/G在线段CG同侧，"是CG中点，线段。”与AE的数量关系是，位置关

系是;

（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形。EfG绕点£（旋转。度（0。<“<360。），试

判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展延伸：如图3,矩形A3。和矩形DEFG中，2=兽例=3,将矩形DEFG绕

CDDCJ

-3

点。旋转任意角度，连接AE,CG,"是CG中点，若求点目运动的路径长.

4.“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,Rt^ABC中，ZABC=90°,BD为AC

边上的中线.将沿射线BC的方向平移，得到.EFG,其中点A,B,。的对应点分

别为E,F,G,如图2,当线段E尸经过点。时，连接DC,GC,请判断四边形DRTG的形

状，并说明理由.

图1图2图3

数学思考

(1)请回答老师提出的问题；

深入探究

(2)老师将图2中的EFG绕点厂按逆时针方向旋转得到△PF。，其中点E,G的对应点

分别为尸，。，线段房,。厂分别与边交于点N.如图3,当尸时，让同学们

提出新的问题.

①“勤学小组”提出问题：试猜想线段尸加和取的数量关系，并证明；

②“善思小组”提出问题：若VA5c中，AB=6,BC=S,请直接写出此时四边形DNVC的面

积.请解答上述两个小组提出的问题.

5.如图1,点。是正方形两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEPG,连接AG,DE.

图1图2

⑴求证：DE1AG；

（2汝口图2,正方形ABCZ）固定，将正方形OEFG绕点。逆时针旋转。角（0。<a<360。）,

得到正方形OEF'G'；

①在旋转过程中，当NQ4G'是直角时，求a的度数；

②若正方形的边长为2,在旋转过程中，W长的最大值为.

6.综合与实践

问题情境：

在“综合与实践”活动课上,老师给出了一张如图1所示的正方形纸片A5CD,点E在线段BC

2

上，点厂在线段C。上，且满足CE=CF=1A8,连接AC.

数学思考：

图】图2

（1）线段EF与AC的数量关系为，位置关系为

猜想证明：

⑵如图2,连接8。交AC于点。，将△CEF绕点C顺时针旋转,取线段跖的中点并记为G,

连接OG,Z)P,猜想线段OG与。尸之间的数量关系，并说明理由.

拓展探究：

⑶在(2)的基础上继续将△CEF绕点C顺时针旋转，若AB=6,当D,G,P三点共线时，直

接写出线段OG的长.

7.小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在Rt^ABC

中，AB=BC,ZABC=9Q°,点、D,£分别在边AB,AC上(不同时在点A),连接DE.

B(D)C(E)

图1

(1)问题解决：如图1,当点DE分别与点8,C重合时，将线段OE绕点E顺时针旋转90。,

得到线段所，连接AF,AF与的位置关系是,数量关系是

(2)问题探究：如图2,当点。，E不与点B,C重合时，将线段ZJE绕点E顺时针旋转90。,

得到线段正，连接AF,A尸与BC的位置关系是怎样的？请说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,当点E不与点C重合，且。为的中点时，将线段绕点E顺时

针旋转90。，得到线段FE,点G是点C关于直线A3的对称点，若点G,D,尸在一条直线

上，求笠AF的值.

EC

8.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶

角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过查询资

料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”.如图①，在Rtz\AC3中，ZACB=90°,AC=CB,

点、D,E分别在ACBC边上，CD=CE,连接DE,AE,3D,M是AE的中点，连接CM.

图①图②备用图

⑴观察猜想

请直接写出CM与8。的数量关系和位置关系；

⑵类比探究

将图①中△DCE绕点C逆时针旋转到图②的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若

成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

⑶解决问题

若AC=4,CD=2,将图①中的ADCE绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出CM的最大

值与最小值.

9.在VA2C中，ABAC=90°,AB=AC=2逝,。为BC的中点，E,尸为别为线段A8,

A£)上任意一点，连接所，将线段所绕点E逆时针旋转90。得到线段EG,连接尸G,AG.

(D如图1,点E与点8重合，且G厂的延长线过点C,若点尸为PG的中点，连接尸。，求PO

的长；

(2)如图2,跖的延长线交AC于点点N在A8上，ZAGN=ZAEG且GN=MF,求证：

AM+AF=42AE;

⑶如图3,尸为线段AD上一动点，E为A8的中点，连接CE,H为直线BC上一动点，连

接,将4CEH沿EH翻折至ABC所在平面内，得到C'EH,连接CG,直接写出线段

CG长度的最小值.

10.如图1,VABC与△E3D均为等边三角形，将△EBD绕点B逆时针旋转，旋转角为a(其

中0。＜。＜180。)，连接AE,CD,M是AE的中点，BC=^BD.

⑴求证：AE=CD-,

（2）如图2,连接ZW,当瓦）的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理

由；

⑶如图3,连接CM,若BD=2,在绕点8旋转的过程中，求C加的最大值.

11.问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已

知正方形A3CD中，AB=2,点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE,将8E绕

点E顺时针旋转90°得到FE,连接DF.

特例分析：（1）如图1,当点E与点。重合时，则/AZ>

深入谈及：（2）当点E不与点。重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2

与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由;

12.从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习.

在中，ZACB=90°,AC=BC,将线段2C绕点C顺时针旋转a(0°<a<180°)

得到线段。C,取AD中点H,直线CH与直线3。交于点E,连接AE.

(1)【感知特殊】

如图1,当《=30。时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程;

(2)【探究一般】

①如图2,当0。<&<90。时，试探究线段E4,EC,£8之间的数量关系并证明；

②当90。<0<180。时，直接写出线段胡，EC,之间的数量关系.

(3)【应用迁移】

己知AC=«,在线段DC的旋转过程中，当AE=3时，求线段EC的长.

13.综合与实践

问题情境：如图1,正方形ABCD和正方形ABiGR有公共顶点A,AB=2亚+2,A耳=2,

现将正方形A4C2绕点A按顺时针方向旋转，旋转角为矶0°<0<360。)，连接。，，BBt.

⑴猜想证明：猜想图2中与B片的数量关系并证明；

(2)探究发现：如图3,当a=90。时，连接3£),延长交2月于点E,求证：垂直平

分叫；

(3)拓展延伸：在旋转过程中，当瓦。的面积最大时，直接写出此时旋转角a的度数和

△2瓦。的面积.

14.问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线

剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为VABC和DEF,其中

ZACB=ZDEF=90°,将VABC和所按图2所示方式摆放(点C,B,E三点共线)，其

中点8与点。重合(标记为点8).连接AF,取AF的中点过点尸作NF〃AC交CM的

延长线于点N.

（2）深入探究：杨老师将图2中的ABEF绕点8顺时针方向旋转，当点C,B,E三点不在一

条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题.

①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请

你写出新的结论，并证明；

②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4,把图2中的△3EF绕点8顺时针方向旋转

一周，当点C,B,尸三点共线时，请你直接写出—CEN的面积.

15.如图①，在等腰直角三角形A3C中，N54c=90。，D,E分别为A3,AC的中点，F为

线段DE上一动点（不与。，E重合），将线段AF绕点A按逆时针方向旋转90。得到AG,

连接BRCG.

⑴求证：△ABF^Z\ACG.

(2)如图②，连接EG,FG,FG交AC于点H.

①证明：在点尸的运动过程中，总有NFEG=90。；

②若A8=AC=20，直接写出当。尸的长度是多少时，为.AG"为等腰三角形?

16.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例,

请补充完整.原题：如图1,点E、歹分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,

连接防，试猜想跖、BE、。产之间的数量关系

(1)思路梳理：把一ABE绕点A逆时针旋转90。至△APG,可使48与AD重合，由

ZADG=ZB=90°,得，/FDG=180。，即点RD、G共线，易证△AFG丝,故

EF、BE、O尸之间的数量关系为.

⑵类比引申：如图2,点E、尸分别在正方形A2CD的边CB、DC的延长线上，ZE4F=45。.连

接跖，试猜想EF、BE、O尸之间的数量关系为,并给出证明.

(3)联想拓展：如图3,在VABC中，已知4BAC=45。,垂足于点。，且

BD=6,CD=4.求的长.

17.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例,

请补充完整.原题：如图1,点E、歹分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,

连接E尸，试猜想£F、BE、。产之间的数量关系.

⑴把一ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使AB与重合，由ZADG==90°,

得，ZFZ)G=180°,即点RD、G共线，易证..AFG也,故EP、BE、DF之

间的数量关系为.

⑵如图2,点E、尸分别在正方形A3CD的边CB、C。的延长线上，ZE4F=45°.连接EF,

试猜想E尸、BE、D尸之间的数量关系为,并给出证明.

(3)如图3,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、E均在边BC上，且

ZBAD+ZEAC^45°.若BD=2,EC=2框,直接写出AD?的值和AE的长.

18.如图1,正方形和正方形题七，A,E,8三点共线，AB=8,AE=46，将正

方形AEFG绕点A逆时针旋转研0。4。445。)，连接BE,DG.

图1图2图3

(1)如图2,求证:BE=DG；

(2)如图3,在旋转的过程中，当反瓦G三点共线时，试求8E的长;

(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得NB£A=120。，若存在，请直接写出BE的长;

若不存在，请说明理由.

19.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形A2CD的对角线的交点。旋转(图①=图②，

AD=8,AB=6,图中的“、N分别为直角三角形的直角边与矩形A3。的边CD、3C的交

⑴如图①，当三角板一直角边与OD重合时，求证：CD-+CN2=BN2.

⑵如图②中3N=5、求的值.

(3汝口图②，连接"N,直接写出"N的最小值为.

20.【探究与证明】

【问题情境】如图1,点E为正方形A5c。内一点，AE=2,BE=4,ZAEB=90°,将直

角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转a度（0V/V180。）点8、E的对应点分别为点

【问题解决】

⑴如图2,在旋转的过程中，点9落在了AC上，求此时C£的长；

⑵若。=90。，如图3,得到八位比‘（此时8'与。重合），延长BE交。E于点R

①试判断四边形但E'的形状，并说明理由；

②连接CE,求CE的长.

21.在AASC中，AC=AB,/◎£=120。，点。是边A3上的一动点.尸是边C。上的动

点.连接AF并延长至点E,交2C于G,连接BE.S.ZE+ZBDF=180°,NAFC=60。.

图1

(1汝口图1,若BC=66,BE=4,求CD的长.

(2)如图2,若点。是AB的中点，求证：AE=DF+也BF.

(3)如图3,在(2)的条件下，将ABDE绕点8顺时针旋转，旋转中的三角形记作△28月,

2

取2g的中点为连接CM.当CM最大时，直接写出A需]\4的值.

EM

22.如图1,在边长为4的正方形ABCD中，连接AC,点E在BC上，且BE=EC,将点C

绕点B逆时针旋转至P点，旋转角的度数为a,连接防，与AC相交于点G,连接所，交

AC于点当点C旋转到与点A重合时旋转停止.

(1)如图2,当a=60。时,

①求证：EF1BC-,

②点〃在线段AC的什么位置？请说明理由;

(2)在旋转的过程中，是否存在△«如为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出所的长;

如果不存在，请说明理由.

《2025年中考数学复习提升训练：旋转综合压轴题》参考答案

1.

【分析】(1)根据正方形的性质证明四边形AEO歹是矩形，再得=即可解决问题；

(2)①证明AEOWBFO(ASA),可得。E=O/即可；

②先根据正方形的性质得。4=O3=OC,ZAOB=ZBOC=90°,则/。防=NQ4E=45。，

NOCF=NOBF=45°,所以NO3E=NOCF,由OE_LOF1得NEOF=90。，则

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,即可证明△3OE丝△(%©,于是得BE=CF,根据四边形

OEAF的面积=ZIAOB的面积=:正方形ABCD的面积，即可解决问题；

4

(3)延长M2至点G,使G。=MN,连接PG,证明-PGQ、PMN(SAS)，可得PG=RW,

ZGPQ=ZMPN,所以△PGM为等腰直角三角形，所以四边形尸QMN的面积=等腰直角三

角形尸GM的面积，进而可以解决问题.

【详解】(1)证明：二•四边形ABCD是正方形，

AZZMB=90°,ZZMC=45°,

VOE1OF,OE1AD,

：.Z.DAB=ZOEA=/EOF=90°,

四边形AEO尸是矩形，

,?ZZMC=45°,

OE=AE,

四边形AEOB是正方形；

(2)解：@OE=OF,

证明：•••四边形ABC。是正方形，

OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°,

•/NEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOB,

：.ASA),

OE=OF-

②：四边形ABC。是正方形，

/.AC=BD,AC±BD,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,

：.OA=OB=OC,ZAOB=Z.BOC=90°,

・•・/OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

・•・ZOBE=ZOCF9

•；OE1OF,

：.ZEOF=90。,

・•・ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,

・・・BOE^COF(ASA),

ABOE的面积iCOb的面积，

・・・四边形QE4F的面积MAOB的面积=J正方形ABC。的面积=qx1=1；

444

(3)解：如图，延长M2至点G,使GQ=M7V,连接尸G,

・.・/QPN=/QMN=9伊,

：.ZPQM+ZN=180°,

・.・ZPQM+ZPQG=180°,

.・・ZPQG=ZN,

・.・PQ=PN,

:.PGQ”PMNQSAS),

：.PG=PM,ZGPQ=ZMPNf

：.ZGPM=NGPQ+ZQPM=/MPN+ZQPM=90°,

・・・△PGM为等腰直角三角形，

・.•PM=9,

1QI

...四边形尸。跖V的面积=等腰直角三角形尸GM的面积：X92=2.

22

【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性

质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键.

2.(1)等腰直角三角形；五

BF

⑵①(1)中的两个结论仍然成立，证明见解析；②—的值为1或3,此时点E到CO的距

DE

离为2坞或

【分析】(1)由正方形的性质得/或心=45。，—=—,ZBAD=90°,AB=AD,由旋转

BD2

的性质得AB=AB',/BAB'=60。，推出一A5B'为等边三角形，/3ND=30。，ZAB'B=60°,

ZAB'D=75°,ZDB'E=45。，证明ADEB'为等腰直角三角形，得出NBDC=ZB'DE=45°,

—,证明即可得解；

DB'2

ry(y

(2)①由旋转的性质得=AB"=得到乙483=90。一一，ZAB'D=135°,

22

/EFZ>=45。，证明△由'是等腰直角三角形，得出塔=0,由正方形的性质得当=后,

NBDC=45°,证明即可得出结论；

②若以点？，E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以C。

为边时，则CD〃3'E,此时点8'在线段54的延长线上，此时点E与点A重合，

BE=CD=B'E,即可得解；第二种以CD为对角线时，由平行四边形的性质得

B，F=EF=LB，E,点F为CD中点、,证明△BCFs^CBTs△9C,得出

2

nnf

——=—；—=,=2,则BB'=4B'F>BE=6B'F,BE=2B'F)即可得解.

CFBFCB

【详解】(1)解：如图，

•/四边形ABCD是正方形，

ZBDC=45°,ZBCD=ZBAD=90°,AB=AD,

：-------cosZBDC=COS45°=—,

BD2

：AB绕点A逆时针旋转至AQ,旋转角为a=60。，

/.AB=AB',ZBAB'^60°,

：.AB=AD=AB,为等边三角形，ZB'AD=ABAD-ZBAB'=90°-60°=30°,

ZAB'B=60°,ZAB'D=|x(180°-ZB'AD)=1x(180°-30°)=75°,

ZDB'E=180。—ZAB'B-ZAB'D=180°—60。-75。=45°,

,/DE工BB',

：.ZDEB'=90°,

：.ZB'DE=90°-ZDB'E=90°-45°=45°=NDB'E,

•.DE=B'E,

△DE?为等腰直角三角形,

NBDC=NB'DE=45°,-----=cosZB'DE=cos45°=—,

DB'2

NBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC,即ZBDB'=ZCDE,

..CDy/2_DE

,茄一万一访’

AB'DBS^EDC,

昵=咤，=正

：.CECDV2，

故答案为：等腰直角三角形；立;

（2）①两个结论仍然成立,

证明：如图，连接80,

•.•四边形ABC。是正方形,

ZBDC=45°,ZBCD=ZBAD=90°,AB=AD=BC=CD,

「力5

・•--------cosZBDC=cos45°=—,

BD2

吧」=叵

，CD叵,

^2

：AB绕点A逆时针旋转至4夕，旋转角为a,

AB=AB',NBAB'=a,

11zy

ZAB'B=-x(180°-NBAB)=-x(180°-a)=90°-—,AD=AB'.

AB'AD=ZBAB'-ABAD=a-90。，

11zy

ZAB'D=-x(180°-ZDAB')=-x(180°-a+90°)=135°--,

ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=135°-/一(90°一?j=45°,

,/DELBB',

：.NEDB=90°—ZEB'D=90。一45°=45°=ZEB'D,

.EB'=ED,

.是等腰直角三角形，

.ZBDC=ZB'DE=45°,—=cosZB'DE=cos45°=—,

DB'2

.DEV2,

V

.ZBDC+Z.EDC=ZB'DE+ZEDC,即ZB'DB=NEDC,

•巴s”

CDDE

・Z\B'DBS/\EDC,

.曳江亚,

CECD

.(1)中的两个结论不变，依然成立；

②若以点8',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论:

第一种：以CD为边时，则CD〃3'E,

此时点B'在线段54的延长线上，如图所示,

此时点E与点A重合,

ABE=CD=B'E,EDLCD,

,1•H=b

•/AB=2s/5,

，ED=AB=2加,

此时点E到CO的距离为2右;

第二种：当以C。为对角线时，如图所示，

•.•四边形CB'DE是平行四边形，

AB'F=EF=-B'E,OE=B'C,点产为CD中点，DE//B'C,

2

：.BC=CD=2CF,

•/DE^BB',

：.ZDEB'=90°,

：.NCB'E=NDEB'=90。,

：.NBB'C=180。—ZCB'E=90°,

,?NBC尸=90°,

NBCF=ZCB'F=ZBB'C,

,：ZCBF=ZB'BC,NBFC=ZCFB',

：.△BCFs^CB'FsABB'C,

,BC_CB'_BB'

"CF-CB7-'

BB'=2CB'=4B'F,

：.BE=BB'+B'E=4B'F+2B'F=6B'F,B'E=2B'F,

.BE6B'F.

.・----=-------=3,

B'E2B'F

过点E作EGLCD于点G,

•/AB=245,

：.CF=-AB=-x2y/5=y/5,

22

BF=^BC2+CF2=J(2扃+02=5,

CF_A/5

=sinZCBB'=

BCBF-V

CB'=—BC=—x245=2,

55

：.DE=B'C=2,

•/DE//B'C,

：.NB'CF=NEDF,

•/Z.CBB'+ZBCB'=90°=ZB'CF+NBCB,

NCBB'=ZB'CF=NEDF,

/.—=sinZEDF=sinZCBB'=—,

DE5

.”小口口2百

・・EG=DE=---,

55

综上所述，黑的值为1或3,此时点E到C。的距离为2后或短.

BE5

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性

质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，平行四边形

的性质、分类讨论等知识，证明△gDBs△即c、进行分类讨论是解题的关键.

3.(1)DH=-AE,AEVDH-(2)成立，证明见解析；(3)9兀

2

【分析】(1)根据正方形ABCO和正方形。£FG,得到ZAT>C=90。继而得到AE_LDH；设

正方形ABCD的边长为历正方形。班6的边长为b,根据题意，得AE=AD-DE=a-b；

结合H是CG中点，得到。〃=生产=胃，继而得到

22

八八cc-a+ba-b1-

Dti-CD-CH=a--------=------=—AE.

222

(2)结论仍然成立.理由如下，延长CD到点尸，使得CD=DP,连

2

接GP,根据正方形的性质，证明ADE空、PDG,延长H2AE二线交于点。根据三角形

中位线定理，得到GP〃。。，得到NQDP=ZDPG=/DAQ,结合NQDP+NADQ=90。，

证明即可.

(3)延长。到点。，使得，连接GQ,根据三角形中位线定理，得到

DHGQ,O”=《GQ,根据矩形的性质，证明aADEsQ〃G,得黑=盥=照=痣，

22DUCr(JCrZUri

3

结合DE=3,£>"=5&£1得至(］。0=3。£1=9,取CO的中点。，连接OH,结合H是CG中

10

点，得到。〃==。6=：,根据圆的定义，判定点”在以点。为圆心，以0H为半径的圆上，

22

其周长为2万.0a=9万.

【详解】(1)AEYDH,S.DH=^AE.理由如下：

正方形ABCD和正方形DEFG,

ZADC=90°

AE±DH；

设正方形ABC。的边长为a,正方形DEfG的边长为6,

根据题意，得AE=AD—DE=a—b；

是CG中点，

.CD+DGct+b

・・CH=-y-丁

DH=CD-CH=a-^-=^—^-=-AE.

222

故答案为：DH=\AE,AELDH.

2

(2)结论。〃=,4£,4石，。〃仍然成立.理由如下，

2

延长C。到点P,使得CD=DP,连接GP,延长“2AE二线交于点。

是CG中点，

/.GPDH,DH=-GP,

2

/.ZQDP=ZDPG,

,/正方形ABC。和正方形DEFG,

:.ZADP=NEDG=90°,ZQDP+ZADQ=90°,AD=DC=PD,ED=GD,

：.ZADE=90°-ZEDP=ZPDG,

AD=PD

•.・]NADE=ZPDG

ED=GD

：.ADEgPDG（SAS）,

：.PG=AE,/DAE=ZDPG,

・・.DH=^AE,ZDAE+ZADQ=90°,

DH=-AEZAQD=90°,

29

故DH=LAE,AE上DH.

2

（3）如图，延长。到点Q,使得CZ）=。。，连接GQ,

根据三角形中位线定理，得到0HGQ,DH=gGQ,

・・・矩形A5CD和矩形DEFG,

：.ZADQ=ZEDG=90°,

：.ZADE=90°-ZEDQ=ZQDG,

..ADDE

•~CD~~DG"

.ADDE

^~DQ~~DG"

,AD_DQ

**DG?

:・ADEs.QDG,

•_A__D____D__E_____A_E_____A_E__

QD~DG~QG~2DH'

3

VDE=3,DH=—AE,

2

.DE121

••-------_人__«

DG233

:.DG=3DE=9,

取C。的中点o,

连接OH,

'/H是CG中点,

19

OH=-DG=~,

22

根据圆的定义，判定点"在以点。为圆心，以为半径的圆上,

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的

判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相

似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键.

1QO

4.（1）矩形，见解析；（2）①PM=FM.见解析；②w

【分析】（1）四边形DFCG是矩形，由平移的性质得到=从而

得到/EFC=/ASC=90。，根据8。为AC边上的中线，推出BD=CD=,进而

2

证明△BCD是等腰三角形，推出3/=仃，CF=DG,证明四边形CG是平行四边形，

再根据4/C=90。，即可证明四边形NCG是矩形；

⑵①由平移的性质得到NE=4AD=EG,BD=FG,BD\FG,从而得到NEFG=NBDF,

由（1）可得80=4）,进而得到/E=/EFG=/A=/3DF,在图3中，由旋转的性质得

到ZP=NE,£F=尸尸，根据平行线的性质推出=易证FM=FD,再根据四边

形。9CG是矩形，推出尸。=!尸尸=9,即可证明=②过点/作用LBD,垂

足为H,过点N作垂足为K,利用勾股定理求出AC=10,由①可求

DF=DE=^EF=^AB=3,BF=FC=^BC=4,由平移和旋转的性质得到

CD=FG=BD=FQ=^AC=5,根据PQ〃8O,易证VWWNsVEPQ,得至i]

MNFMFNIs

==由①知PM=EM,从而得到硒=7/。=7,利用三角形面积公式

PQFPFQ22

1119/--------------------------------Q

SBFD=-BFDF=-BDFH,求出m=<,利用勾股定理求出。"=JDF2-"=w'

._____________I11

NH=y/FN2-FH2=—,从而得到DN=D8-M/=而，再根据推出

BFNK4

/FBD=/KND,利用余弦的定义得到cosNEBO=——=cosZKND=——=—,求出

BDDN5

4?2

NK=-DN=-f最后根据四边形DNFC的面积等于SCDF+SFDN求解即可.

【详解】（1）四边形。门CG是矩形，

理由如下：平移得到&EFG,

DG=BF.DG//BF,EF//AB,

.\ZEFC=ZABC=90%

BD为AC边上的中线，

:.BD=CD=AD=-AC

29

.•.△BCD是等腰三角形，

/EFC=ZABC=90。,

:.EFVBC,

:.BF=CF,

:.CF=DG,

CF//DG,

二•四边形。尸CG是平行四边形，

/DFC=90。,

二•四边形。尸CG是矩形；

（2）①PM=FM,

证明：在图2中，,ABD平移得到-EFG,

/.ZE=ZA,AD=EG,BD=FG,BDFG,

:"EFG=/BDF

由（1）可得，BD=AD,

...EG=FG,

:.ZE=ZEFG=ZA=ZBDF,

在图3中，一EFG旋转得到APFQ,

,\ZP=ZE,EF=PFf

PQ//BD,

:.ZP=ZDMF,

:.ZBDF=ZDMF,

:.FM=FD,

由图2可知，四边形。尸CG是矩形,

:./FDG=900,

ED=FD=-EF,

2

:.FD=-PF=FM,

2

•••PM=FM；

②过点尸作垂足为H,过点N作NKLO尸，垂足为K,

•*-AC7AB'Be?=10,

DF=DE=-EF=-AB=3,BF=FC=-BC=4,

222

由平移和旋转的性质得到CD=FG=BD=FQ=^AC=5,

PQ//BD,

NFMNKFPQ,

.MN_FM_FN

'~PQ~~FP~~FQ"

由①知PM=R0,

:.FN=：FQ=3,

SBFD=；BFDF=gBDFH,

..rri—,

DH=^!DF2-FH2=-,NH=YIFN2-FH2,

510

DN=DH-NH=—,

10

NK//BF,

・•.ZFBD=ZKNDf

BFNK4

cosZFBD=——=cosZKND=——=—,

BDDN5

472

NK=-DN=—,

525

四边形DN尸。的面积等于SCDF+sFDN

iiii971R3

s+S=-DFCF+-DFNK=-x3x4+-x3x—=—.

CrnDFFDN22222525

【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形

判定与性质，解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平

移与旋转的性质是解题的关键.

5.(1)见解析

⑵①当NQ4G=90°时，以=30°或150°；②4+0

【分析】(1)延长ED交AG于H,根据四边形ABCD是正方形，可推出一AOG^_DOE(SAS),

得到NAGO=NOEO,再由NAGO+NG4O=90。，得到NG4O+"EO=90。，推出

ZAHE=90°,得证；

(2)①在旋转过程中，/Q4G'是直角时有两种情况，当a由0。增大到90。过程中，由

0A1

ZOAG'=90°,—；=-，得到ZAGG'O=30。，再由0。//AG',推出NDOG'=ZAG'O=30°,

OG2

即可；当。由90。增大到180。过程中，NQ4G=90。，同理可求N50G=30。，即可求得答

案；②在图1连接OF,根据正方形性质求出和。/，由题意可知当a=315。，A、。、

尸'在一条直线上，此时A9的长最大，由AO+OP即可得到答案.

：.OA=OD,OALOD,

四边形OEfG是正方形

:.OG=OE

在/AOG和片中,

OA=OD

<ZAOG=/DOE,

OG=OE

AOG空。OE(SAS),

:.ZAGO=/DEO,

ZAGO+ZG4(9=90°,

:.ZGAO+ZDEO=90°f

/.ZAHE=180°-(ZGAO+Z£)EO)=180°-90°=90°,

即O£_LAG；

(2)①在旋转过程中，NQ4G成为直角有两种情况：

如图2,。由0。增大到90。过程中，

当NQ4G=90。时，

OA=OD=-OG=-OGr,

22

nAi

在RtAiOAG，中，----——

OG'2

:.ZAG'O=30°,

OA1OD,OA1AG',

OD//AG',

:.NDOG'=ZAGO=30。,即a=30°；

a由90。增大到180。过程中，当Na4G'=90。时，如图

G'——

同理可求N8OG'=30。，

:.a=NDOG'=1800-ZBOG'=180°-30°=150°,

综上所述，当NQ4G'=90。时，</=30。或150。；

②如图，连接。尸，

G

四边形OEFG是正方形,

:.ZFOE=45°,OG=GF,ZOGF=90°

,•正方形ASCD的边长为2,

:.OA=-AC^->JAB2+BC2--V22+22=0,

222

OG=2OD=2OA=2x0=2&，

贝IOF=JOG'+G12=1(2后+(20)2=4,

当。=360°-ZFOE=360°—45°=315°时，

A、0、9在一条直线上，此时AF的长最大，

最大值为AO+OF=4+&,

故答案为：4+V2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内

角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

6.(1)EF=|AC；EF1AC

(2)(?G=—DF,理由见解析

2

(3)714+2^777-2

C'P'7

【分析】。）连接即，则A6=BC=CD,BDLAC,AC=BD，根据题意得m=呆=1,

CBCD3

ppo

判定ECFsBCD,有——=——=-,EF//BD,NCEF=NCBD,即可得到

BDBC3

EF=|AC;EF1AC；

(2)连接GC,由(1)知，△口》和△CB。都是等腰直角三角形.可证得△CGRs^cOD,

有—=—,进一"步证得△OCGs/VX7/7,得至！I—=—.在Rt^OCD中,

COCDDFCD

cosZOCD=即可；

2

⑶当点G在线段上时，由题意得CE=CF=4,得到£1尸石G=CG=PG.利用勾股定理

得。G,即可求得。方，利用（2）的结论即可求得OG；当点尸在线段DG上时，同上求得

DF,利用（2）的结论即可求得OG.

2

【详解】（1）解：EF=-AC;