高中数学2-2第一章导数及其应用导学案

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念1.了解导数概念的实际背景．2.会求函数从x1到x2的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．2．瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝leq\o(lim,\s\do5(Δx→0))__eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．导数的概念定义式eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)记法f′(x0)或y′|x=xeq\s\do1(0)实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率eq\f(Δy,Δx)为0.()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢的物理量．()(4)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.3．已知f(x)＝－2x＋1，则f′(0.5)＝________．答案：－24．函数y＝f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1处的瞬时变化率为________．答案：－1求函数的平均变化率已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率eq\f(Δy,Δx)；(2)求(1)中的平均变化率的几何意义．【解】因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（5）－f（4）,5－4)，它表示抛物线上点A(4，39)与点B(5，60)连线的斜率．eq\a\vs4\al()求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).1.(2017·宁波高二检测)已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：选C.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f([（1＋Δx）2＋1]－2,Δx)＝2＋Δx.2．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.实际问题中的瞬时速度一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－3（1＋Δt）2－8＋3×12,Δt)＝(－6－3Δt)(m/s)．(2)由(1)知eq\f(Δs,Δt)＝－6－3Δt.当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6m/s.eq\a\vs4\al()求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．1.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq\o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：12．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(2)求t＝0到t＝2时的平均速度．解：(1)取一时间段[2，2＋Δt]，Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－Δt－（Δt）2,Δt)＝－1－Δt，eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(－1－Δt)＝－1，所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(2)因为当t∈[0，2]时，Δt＝2－0＝2.Δs＝s(2)－s(0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2.eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2,2)＝1.所以在0到2之间，物体的平均速度为1.用定义求函数的导数根据导数的定义，求下列函数的导数：(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；(2)求函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的导数．【解】(1)Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋（Δx）2,Δx)＝2＋Δx.所以y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2＋Δx)＝2.(2)因为Δy＝eq\f(4,（Δx＋2）2)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,（Δx＋2）2)－1＝－eq\f(（Δx）2＋4Δx,（Δx＋2）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2).所以eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2)＝－1.eq\a\vs4\al()求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．1.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选C.因为f′(1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）＋3－（a＋3）,Δx)＝a.因为f′(1)＝3，所以a＝3.故选C.2．求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，所以f′(1)＝2，即函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.1．瞬时速度与平均速度的区别和联系区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度的极限值．2．函数f(x)在x0处的导数(1)当Δx≠0时，比值eq\f(Δy,Δx)的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若eq\f(Δy,Δx)的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．(2)在点x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)或f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→xeq\s\do4(0)))eq^\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：选A.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.2．已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4 B．2C．－2 D．±2解析：选D.f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝－eq\f(2,x2)，于是－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.3．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中，其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析：v0＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(v（t0＋Δt）－vt0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(v·Δt,Δt)＝v.答案：相等4．已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因为eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．[A基础达标]1.若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2，3)及其邻近点Q(2＋Δx，3＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4ΔxC．4＋Δx D．Δx解析：选C.因为Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋（Δx）2,Δx)＝4＋Δx.2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()A．eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)B．eq\x\to(v)＝eq\f(s（Δt）,Δt)C．eq\x\to(v)＝eq\f(s（t）,t)D．eq\x\to(v)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（Δt）,Δt)解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt).4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，则f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选B.因为f(x)图象过原点，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1.故选B.5．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.eq\f(123,16)米/秒 B.eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D.eq\f(67,4)米/秒解析：选B.因为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（4＋Δt）2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(（Δt）2＋8Δt＋\f(－3Δt,4（4＋Δt）),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).6．已知函数y＝eq\f(2,x)＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________．解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1.5)＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq\f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq\f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．答案：[x3，x4]8．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________m/s.解析：运动方程为s＝eq\f(1,2)at2.因为Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2.所以eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，所以v＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.又因为a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以v＝at0＝8×102＝800(m/s)．答案：8009．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．解：因为函数y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx>0，所以Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．10．已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求eq\f(Δs,Δt)；(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．解：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝eq\f(2（t＋Δt）2＋3－（2t2＋3）,Δt)＝4t＋2Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)当t＝2，Δt＝0.001时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．[B能力提升]11．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()A．(1，10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1，10)解析：选B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）＋1－3xeq\o\al(2,0)－6x0－1,Δx)＝3Δx＋6x0＋6，所以f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，所以x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.所以P点坐标为(－1，－2)．12．(2017·泉州期中)设函数f(x)在x＝x0处可导，则eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)等于()A．f′(x0) B．f′(－x0)C．－f′(x0) D．－f(－x0)解析：选C.eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)＝－f′(x0)，故选C.13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))，x>0，,1＋x2，x≤0))求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－eq\f(1,\r(4＋Δx))＋eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\r(4＋Δx))＝eq\f(\r(4＋Δx)－2,2\r(4＋Δx))＝eq\f(Δx,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）)＝eq\f(1,2×\r(4)×（\r(4)＋2）)＝eq\f(1,16).所以f′(4)＝eq\f(1,16).当x＝－1时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－1＋Δx）－f（－1）,Δx)＝eq\f(1＋（－1＋Δx）2－1－（－1）2,Δx)＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx－2)＝－2，所以f′(4)·f′(－1)＝eq\f(1,16)×(－2)＝－eq\f(1,8).14．(选做题)若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(29＋3（t－3）2，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f（0＋Δt）－f（0）,Δt)＝eq\f(29＋3[（0＋Δt）－3]2－29－3（0－3）2,Δt)＝3Δt－18，所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f（1＋Δt）－f（1）,Δt)＝eq\f(29＋3[（1＋Δt）－3]2－29－3（1－3）2,Δt)＝3Δt－12，所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.1．1.3导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．()(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)函数f(x)＝0没有导数．()(5)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为()A．4 B．16C．8 D．2答案：C3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，选B.4．曲线y＝eq\f(1,x)在点P(1，1)处的切线的方程为________．答案：x＋y－2＝0曲线在某点处的切线方程求曲线y＝eq\f(1,x)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))处的切线方程．【解】因为y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,x2＋xΔx)＝eq\f(－1,x2)，所以曲线y＝eq\f(1,x)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))处的切线斜率为－eq\f(1,9)，所以曲线在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))处的切线方程为y－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,9)(x－3)，即x＋9y－6＝0.eq\a\vs4\al()(1)求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程的步骤①求出点P的坐标(x0，f(x0))．②求出函数在x0处的变化率f′(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．③利用点斜式写出切线方程．(2)求曲线过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上，即使点P在曲线上也不一定是切点．1.(2017·青岛高二检测)若函数f(x)＝x－eq\f(1,x)，则它与x轴交点处的切线的方程为________．解析：由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1，0)或(－1，0)．因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x（x＋Δx）)))＝1＋eq\f(1,x2)，所以切线的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2，所以切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.答案：2x－y－2＝0或2x－y＋2＝02．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝xeq\o\al(2,0).因y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝2x.所以k＝y′|x=xeq\s\do4(0)＝2x0.因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，将点(1，－3)代入，得－3－xeq\o\al(2,0)＝2x0－2xeq\o\al(2,0)，所以xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，所以x0＝－1或x0＝3.当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6.所以所求直线的斜率为－2或6.当x0＝－1时，y0＝1，切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0；当x0＝3时，y0＝9，切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.利用导数的几何意义求切点坐标[学生用书P5]已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标．【解】设切点P坐标为(x0，y0)．f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋6－（x2＋6）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.因为切线与直线4x－y－3＝0平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)＋6＝10，即切点为(2，10)．若本例中的“平行于直线4x－y－3＝0”变为“垂直于直线2x－y＋5＝0”，其他条件不变，求点P的坐标．解：由本例解析知，点P(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.因为切线与直线2x－y＋5＝0垂直，所以2x0×2＝－1，得x0＝－eq\f(1,4)，y0＝eq\f(97,16)，即切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(97,16))).eq\a\vs4\al()求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．1.已知曲线y＝eq\f(x2,4)的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的横坐标为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.因为y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2)，所以x＝1，所以切点的横坐标为1.2．已知曲线f(x)＝－eq\f(1,x2)在点P处的切线平行于直线2x＋y－1＝0，求切点P的坐标．解：设切点P为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－\f(1,（x0＋Δx）2)＋\f(1,xeq\o\al(2,0)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)（x0＋Δx）2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(2x0＋Δx,xeq\o\al(2,0)（x0＋Δx）2)＝eq\f(2,xeq\o\al(3,0)).因为切线平行于直线2x＋y－1＝0，所以切线斜率为－2.所以eq\f(2,xeq\o\al(3,0))＝－2.所以x0＝－1.所以f(x0)＝f(－1)＝－1.所以切点P的坐标为(－1，－1)．导数几何意义的综合应用[学生用书P6]设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行．求a的值．【解】因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，所以eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,3)))eq\s\up12(2)－9－eq\f(a2,3)≥－9－eq\f(a2,3).由题意知f′(x)的最小值是－12，所以－9－eq\f(a2,3)＝－12，即a2＝9，因为a＜0，所以a＝－3.eq\a\vs4\al()导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－9的距离最短，求点P的坐标．解：由点P到直线y＝4x－9的距离最短知过点P的切线与直线y＝4x－9平行．设P(x0，y0)，y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4（x＋Δx）2－4x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(8x＋4Δx)＝8x，所以点P处的切线斜率为8x0，8x0＝4，且y0＝4xeq\o\al(2,0)，得x0＝eq\f(1,2)，y0＝1，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).1．曲线上某点处的导数与切线的关系(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝eq\r(3,x)在x＝0处有切线，但不可导．2．“函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)”“导函数f′(x)”“导数”之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限值，它是一个常数，不是变数．(2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝y′|x＝x0.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一．3．(易误防范)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上，即使点P在曲线上也不一定是切点；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上．1．曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是()A．－4 B．0C．4 D．－2解析：选B.因为Δy＝－2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝－2Δx，eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(－2Δx)＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：选A.因为y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.3．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－3（x0＋Δx）－xeq\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)4．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．解：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又eq\f(（Δx＋1）2＋3－（12＋3）,Δx)＝Δx＋2.当Δx趋于0时Δx＋2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2.所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.,[A基础达标]1．(2017·信阳高级中学月考)已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点P(1，－eq\f(3,2))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．165°解析：选B.曲线y＝eq\f(1,2)x2－2在点P处的切线斜率为k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)（1＋Δx）2－2－（\f(1,2)×12－2）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(1＋eq\f(1,2)Δx)＝1，所以在点P处的切线的倾斜角为45°.故选B.2．(2017·太原高二检测)下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为eq\f(π,4)的是()A．(0，0) B．(2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：选D.设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝taneq\f(π,4)＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：选A.设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A.因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，所以b＝1.又y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋1－x2－ax－1,Δx)＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A.易得切点P(5，3)，所以f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.答案：37．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________．解析：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2＋b－a－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即eq\f(b,a)＝2.答案：28．已知曲线y＝f(x)＝eq\r(x)，y＝g(x)＝eq\f(1,x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以两曲线的交点坐标为(1，1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝09．求曲线y＝x2－2x上点P(a，0)处的切线方程．解：由P在曲线上可得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.由导数的定义得y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－2（x＋Δx）－（x2－2x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx·x＋（Δx）2－2Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx－2)＝2x－2.所以y′|x＝0＝2×0－2＝－2，y′|x＝2＝2×2－2＝2.故在点P1(0，0)处的切线方程为y－0＝－2(x－0)，即y＝－2x.在点P2(2，0)处的切线方程为y－0＝2(x－2)，即y＝2x－4.10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．解：因为y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－（x2＋x－2）,Δx)＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，xeq\o\al(2,0)＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(xeq\o\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－eq\f(2,3)，所以直线l2的方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).[B能力提升]11．曲线y＝x＋eq\f(1,x)上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：选C.y＝x＋eq\f(1,x)上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,xeq\o\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))<1.即k<1.12．设f(x)存在导函数，且满足eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：选B.eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－2Δx）－f（1）,－2Δx)＝f′(x)＝－1.13．已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－2（x＋Δx）2＋3－（x3－2x2＋3）,Δx)＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，所以切点的坐标为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))或(2，3)．当切点为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))时，有eq\f(49,27)＝4×(－eq\f(2,3))＋a，a＝eq\f(121,27).当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.所以当a＝eq\f(121,27)时，切点为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))；当a＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知函数f(x)＝x3.(1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程；(2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(eq\f(2,3)，0)作曲线C的切线，求切线的方程．解：(1)由导函数的概念，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x3＋3x·Δx（x＋Δx）＋（Δx）3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x·Δx（x＋Δx）＋（Δx）3,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x(x＋Δx)＋(Δx)2]＝3x2，f′(1)＝3，所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.(2)设切点为Q(x0，xeq\o\al(3,0))，则由第一问得切线的斜率为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)，切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).因为切线过点P(eq\f(2,3)，0)，所以2xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，从而切线方程为y＝0或y＝3x－2.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函数的导数公式函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝axf′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3).()(2)因为(lnx)′＝eq\f(1,x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝lnx．()(3)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()答案：(1)×(2)×(3)×2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1 B．2C．3 D．4答案：C3．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．不确定答案：B4．已知f(x)＝cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________．答案：－eq\f(\r(3),2)运用导数公式求导数[学生用书P7]求下列函数的导数．(1)y＝2017；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝3x；(4)y＝log3x.【解】(1)因为y＝2017，所以y′＝(2017)′＝0.(2)因为y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝xeq\s\up12(－\f(2,3))，所以y′＝－eq\f(2,3)xeq\s\up12(－\f(2,3))－1＝－eq\f(2,3)xeq\s\up12(－\f(5,3)).(3)因为y＝3x，所以y′＝3xln3.(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).eq\a\vs4\al()用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y＝eq\f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq\r(5,x3)可以写成y＝xeq\s\up6(\f(3,5))等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1.已知函数f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(－3)＝()A．81 B．243C．－243 D．－eq\f(1,27)解析：选D.因为f(x)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4＝－eq\f(3,x4)，所以f′(－3)＝－eq\f(3,（－3）4)＝－eq\f(1,27).2．已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，则x0＝________．解析：因为f(x)＝lnx(x>0)，所以f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，所以x0＝1.答案：13．求下列函数的导数．(1)y＝eq\f(1,x\s\up6(\f(1,2)))；(2)y＝2017x；(3)y＝ln3；(4)y＝xeq\r(x3).解：由求导公式得(1)y′＝(xeq\s\up5(－\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(1,2))－1＝－eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\s\up6(\f(3,2))).(2)y′＝2017xln2017.(3)y′＝(ln3)′＝0.(4)因为y＝xeq\r(x3)，所以y＝xeq\s\up6(\f(5,2))，所以y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(5,2))))′＝eq\f(5,2)xeq\s\up6(\f(5,2))－1＝eq\f(5,2)xeq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(5x\r(x),2).利用导数公式求曲线的切线方程(1)求过曲线y＝sinx上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．【解】(1)因为y＝sinx，所以y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.(2)因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又因为直线PQ的斜率为k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切线平行于直线PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).所以所求的切线方程为y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.在本例(2)中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．解：假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，设切点为(x′0，y′0)，则y′|x＝x′0＝2x′0，令2x′0＝－1，则x′0＝－eq\f(1,2)，y′0＝eq\f(1,4)，切线方程为y－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0.eq\a\vs4\al()(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤1.(2017·辽宁抚顺高二质检)曲线y＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,9) B．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,9)C.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,6) D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,6)解析：选C.因为y′＝－sinx，切点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))，所以切线的斜率k＝y′|x＝eq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，令x＝0，得y＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,6)，故选C.2．已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．解：设切点为(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x).因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.关于几个基本初等函数导数公式的特点(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．[注意]遇到含有根式的函数求导数一般先化为幂函数的形式再求导．1．下列函数中，导函数是奇函数的是()A．y＝sinx B．y＝exC．y＝lnx D．y＝cosx－eq\f(1,2)解析：选D.y＝cosx－eq\f(1,2)，y′＝－sinx为奇函数，故选D.2．曲线y＝eq\f(1,2)x2在点(1，eq\f(1,2))处的切线的倾斜角为()A．－eq\f(π,4) B．1C.eq\f(π,4) D．eq\f(3,4)π解析：选C.y′＝x，所以切线的斜率k＝tanα＝1，所以α＝eq\f(π,4).3．已知f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝mx，且g′(2)＝eq\f(1,f′（2）)，则m＝________．解析：f′(x)＝－eq\f(1,x2)，g′(x)＝m.因为g′(2)＝eq\f(1,f′（2）)，所以m＝－4.答案：－44．在曲线y＝eq\f(1,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.解：设P点坐标为(x0，y0)，因为y′＝－2x－3，所以y′|x＝x0＝－2xeq\o\al(－3,0)＝tan135°＝－1，即2xeq\o\al(－3,0)＝1，所以x0＝eq\r(3,2).将x0＝eq\r(3,2)代入曲线方程得y0＝eq\f(\r(3,2),2)，所以所求P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)，\f(\r(3,2),2))).[A基础达标]1．已知函数f(x)＝x3，若f′(x0)＝6，则x0＝()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D．±1解析：选C.因为f′(x)＝3x2，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(2).2．下列结论中不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，则y′＝eq\f(1,2)xeq\s\up6(\f(1,2))解析：选D.当y＝xeq\s\up6(\f(1,2))时，y′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(1,2)).3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：选D.因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为eq\f(e2,2).4．过曲线y＝eq\f(1,x)上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：选B.因为y′＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝－4，得x＝±eq\f(1,2)，P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，故选B.5．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.eq\f(1,n) B．eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1解析：选B.由题意得xn＝eq\f(n,n＋1)，则x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故选B.6．质点的运动方程是s＝eq\f(1,t4)(其中s的单位是m，t的单位是s)．则质点在t＝3s时的