2025年中考数学冲刺复习：统计和概率问题（九大题型）解析版

抢分秘籍03统计和概率问题

禺型概览

目录

【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】全部调查与抽样调查【题型二】总体、个体、样本、样本容量

【题型三】平均数、中位数、众数【题型四】频数发布直方图

【题型五】几何面积求概率【题型六】画树状图或列表法求概率

【题型七】通过概率比较游戏是否公平【题型八】由频率估计概率

【题型九】统计与概率综合问题

解密中考

考情分析：统计和概率综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些

考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看：统计部分以数据特征（平均数、中位数、众数、方差）和统计图（条形图、扇形图、

折线图）为主，年均2-3题，占分8-12分；概率侧重简单事件计算（树状图/列表法）及用频率估计概率,

年均1题，占分3-4分。

2.从题型角度看：选择、填空多考基础概念（如统计量计算、概率值）；解答题常结合实际情境，如

分析统计图信息、设计抽样方案或计算概率（如两步试验概率）。

备考策略：1.基础强化：熟练掌握统计量公式（如方差）、统计图解读及概率计算步骤（如树状图

法）。

2.易错突破：注意统计图表的单位、数据范围，避免概率计算时遗漏结果。

3.实战训练：通过真题强化应用题（如用样本估计总体），掌握“先易后难”答题节奏。

4.技巧提升：解答题规范步骤（如概率题需列举所有可能结果），灵活运用“排除法”“代入法”解题。

6题型特训提分-----------------------------------------

【题型一】全部调查与抽样调查

【例1】（2025•河南焦作•一模）下列调查中，适合抽样调查的是（）

A.坐地铁时对乘客行李的安检

B.对班级内的卫生死角进行检查

C.开学前学校对各班级桌椅数量的调查

D.对全国初中生目前睡眠情况的调查

【答案】D

【知识点】判断全面调查与抽样调查

【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普

查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.逐

项判断即可.

【详解】解：/、坐地铁时对乘客行李的安检，必须保证安全，故必须普查；

8、此种情况数量不是很大，故必须普查；

C、此种情况数量需要准确，适合普查；

。、全国初中生的人数比较多，适合采取抽样调查.

故选：D.

本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义

或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.逐项判断即

可.

彳的5175625丽南牛顶山一二稹厂下初函番市「运直菜再至曲躺国力与函戛一厂5

A.了解河南省的空气质量情况B.了解黄河河南段的水污染情况

C.了解河南省中小学生身高情况D.了解本班同学的作业完成情况

【答案】D

【知识点】判断全面调查与抽样调查

【分析】本题主要考查了全面调查和抽样调查，

根据"精度要求高的调查和事关重大的调查"选用全面调查，根据“具有破坏性，全面调查意义或价值不大"应

选择抽样调查，解答即可.

【详解】解：因为了解河南省的空气质量，地域大，时间多，不能全面调查，所以N不符合题意；

因为了解黄河南段的水污染情况，工作任务量大，具有破坏性，不能全面调查，所以8不符合题意；

因为了解河南省中小学生身高情况，工作任务量大，不能全面调查，所以C不符合题意；

因为了解全班同学的作业完成情况，任务不大，能全面调查，所以。符合题意.

故选：D.

【变式1】（2025•广西南宁•一模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）

A.调查全市中学生每天体育锻炼时间

B.调查某款新能源汽车的抗撞击能力

C.调查神舟十九号飞船各零件是否合格

D.调查全市中学生视力情况

【答案】C

【知识点】判断全面调查与抽样调查

【分析】本题主要考查了普查和抽样调查.一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面

调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查,

全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多.据此选择即可.

【详解】解：4调查全市中学生每天体育锻炼时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；

8、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；

C、调查神舟十九号飞船各零件是否合格，最适合采用全面调查（普查），本选项符合题意；

。、调查全市中学生视力情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；

故选：C.

【变式2】（2025•河南濮阳•一模）下列调查活动适合采用全面调查的是（）

A.调查某班学生的身高B.调查某品牌手机电池的使用寿命

C.调查某市居民的环保意识D.调查全国中学生心理健康状况

【答案】A

【知识点】判断全面调查与抽样调查

【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征

灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查,

对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人

力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可.

【详解】解：/、调查某班学生的身高适合全面调查；符合题意；

8、调查某品牌手机电池的使用寿命适合抽样调查；不符合题意；

。、调查某市居民的环保意识适合抽样调查；不符合题意；

调查全国中学生心理健康状况适合抽样调查；不符合题意；

故选

【变式3】（2025•湖北孝感•一模）下列说法正确的是（）

"某同学投篮球，投中"是随机事件

B.天气预报"明天降水概率50%”,是指明天有12小时会下雨

C.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是醋=0.32,

暖=0.41,则乙的成绩更稳定

D.了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查

【答案】A

【知识点】根据方差判断稳定性、事件的分类、判断全面调查与抽样调查、概率的意义理解

【分析】本题主要考查随机事件、概率、方差及统计与调查，熟练掌握各个概念是解题的关键.

根据随机事件、概率、方差及统计与调查可进行求解.

【详解】解：/、"某同学投篮球，投中”是随机事件，说法正确，符合题意；

B、天气预报"明天降水概率50%,是指明天有可能会降雨〃，原说法错误，故不符合题意；

C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是用=0.32,^=0.41,

所以魇＜s],则甲的成绩更稳定；原说法错误，不符合题意；

了解某市九年级学生的视力情况，应采用抽样调查，原说法错误，故不符合题意；

故选

【题型二】总体、个体、样本、样本容量

【例1】（2025,湖北孝感•二模）为了了解某市参加中考的45000名学生的身高情况，抽查了其中2000名学

生的身高进行统计分析.下列叙述错误的是（）

A.2000名学生的身高情况是总体的一个样本

B.45000名学生的身高情况是总体

C.每名学生是总体的一个个体

D.样本容量是2000

【答案】C

【知识点】总体、个体、样本、样本容量

【分析】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本,

明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包

含的个体的数目，不能带单位.

根据总体、个体、样本、样本容量的有关概念逐一排除即可.

【详解】解：A、2000名学生的身高情况是总体的一个样本，原选项叙述正确，不符合题意；

B、45000名学生的身高情况是总体，原选项叙述正确，不符合题意；

C、每名学生的身高是总体的一个个体，原选项叙述错误，符合题意；

D、样本容量是2000,原选项叙述正确，不符合题意；

故选：C.

此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考

查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个

体的数目，不能带单位.

彳就-2K262二河正丽吾稹拟额湎T窠移为了麓初三孚里每篇妻写虚玻芬英的灰薮售猊「信号环保熹以「施

机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表：

垃圾分类次数（次）123456

人数（人）4481086

那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（）

A.平均数是3.5次B.中位数是4次

C.众数是4次D.样本容量是40

【答案】A

【知识点】求一组数据的平均数、总体、个体、样本、样本容量、求众数、求中位数

【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量.解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方

法、众数和样本容量的定义.

根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断N、5,根据众数和样本容量的定义判断

C、。即可.

【详解】解：/、平均数为1X4+2X4+3X8；：X10+5X8+6X6=3.8,原说法错误，故此选项符合题意；

40

2、中位数是第20个和第21个数据点的平均值，均落在4次的范围内，因此中位数是4,正确，故此选项

不符合题意；

C、出现次数最多的数据是4次（10人），因此众数是4,正确，故此选项不符合题意；

D、样本容量为4+4+8+10+8+6=40,正确，故此选项不符合题意.

故选：A.

【变式1】（2024•广东中山•三模）为了了解某市九年级学生的肺活量，从中抽样调查了600名学生的肺活量,

这项调查中的样本是（）

A.某市九年级学生的肺活量B.从中抽取的600名学生的肺活量

C.从中抽取的600名学生D.600

【答案】B

【知识点】总体、个体、样本、样本容量

【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，根据样本是总体中所抽取的一部分个体解答即可

得答案.熟练掌握概念是解题关键.

【详解】解：•••了解某市九年级学生的肺活量，从中抽样调查了600名学生的肺活量，

二样本是从中抽样调查的600名学生的肺活量，

故选：B.

【变式2】（2024•广西南宁•模拟预测）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基

础.为了解某校1000名九年级学生的睡眠时间，从15个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法

中正确的是（）

4.1000名学生是总体反15个班级是抽取的一个样本

C100是样本容量D.每个学生是个体

【答案】c

【知识点】总体、个体、样本、样本容量

【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是

明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包

含的个体的数目，不能带单位.总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是

总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可.

【详解】解：A.1000名学生的睡眠时间是总体，原说法错误，不符合题意；

8、100名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，原说法错误，不符合题意；

。、100是样本容量，原说法正确，符合题意；

。、每个学生的睡眠时间是个体，原说法错误，不符合题意.

故选：C.

【变式3】（2024•云南楚雄•模拟预测）【教育热点一一双减】在推进国家"双减"政策落实中，某校不断增强教

育服务能力，把"减负"与"提质"有机结合起来，全力打造特色课程，确保课后服务多元化.为了解全校3000

名学生参加课后服务的情况，李老师随机抽取了50名学生对其参加课后服务的情况进行调查，下列叙述正

确的是（）

A.3000名学生是总体B.每名学生是个体

C.50名学生是所抽取的一个样本D.样本容量是50

【答案】D

【知识点】总体、个体、样本、样本容量

【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念；根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体

中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目逐项分

析即可求解.

【详解】解：/、总体是3000名学生参加课后服务的情况，/选项不符合题意；

夙所抽取的每名学生参加课后服务的情况是个体，2选项不符合题意；

C、所抽取的50名学生参加课后服务的情况是抽取的样本，C选项不符合题意；

D、样本容量是50,。选项符合题意；

故选：D.

【题型三】平均数、中位数'众数

【例1】（2025•湖南岳阳•模拟预测）"五铢钱〃（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏

了7枚“五铢钱"，测得它们的质量（单位：g）分别为3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5.这组数据的中位数和众数

分别为（）

A.3.3,3.5B.3.4,3.5C.3.4,3.4D.3.5,3.4

【答案】B

【知识点】求中位数、求众数

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排

列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，

则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.众数：在一组数据中出现次数最多的数.本题考查了求

众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键.

【详解】解：将3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5从小到大排列为:3.3,3.3,3.4,3.4,3.5,3.5,3.5

其中3.5出现的次数最多，则众数为3.5,

中位数为：3.4.

故选B.

本题考查了众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，

如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中

间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.众数：在一组数据中出现次数最多的数.本题考查了求众数

和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键.

一【河石瓦5：浙江嘉荚二稹厂二函薮搪从不到天印列为二二-「套国薮据的申在薮为二;

则X的值为（）

A.4B.5C.5.5D.6

【答案】D

【知识点】利用中位数求未知数据的值

【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照

从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

【详解】解：由中位数的概念可得，—=5,

2

解得：x=6,

故选：D.

【变式1】（2025,四川宜宾・一模）在"十•一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81,86,85,

82,84,85,85,分析这组数据，下列说法错误的是()

A.中位数是85B.众数是85C.平均数是84D.方差是3

【答案】D

【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、求中位数

【分析】本题考查了方差、众数、平均数、中位数，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义.根据平均

数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断.

【详解】解：把这组数据从小到大排列为81,82,84,85,85,85,86,故中位数是85,故选项N不符合

题意；

众数是85,故选项8不符合题意；

平均数为:'(81+82+84+85x3+86)=84,故选项C不符合题意；

120

22

方差为,X⑻-84)2+(82_84)2+(84_84y+3X(85-84)+(86-84)]=y,故选项D符合题意；

【答案】D

【知识点】求中位数、求众数、折线统计图、求一组数据的平均数

【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数和众数，由折线统计图可知，3月1日至5日每天的用水

量分别为4,6,10,2,8,再根据平均数、中位数和众数的定义逐项判断即可求解，掌握平均数、中位数和众数

的定义是解题的关键.

【详解】解：由折线统计图可知，3月1日至5日每天的用水量分别为4,6,10,2,8,

4+6+10+2+8

・•・平均数为=6吨，故选项A错误;

5

数据按由小到大的顺序排列为2,4,6,8,10,

中位数为卓=7吨，故选项B错误;

,•,每个数都出现了1次,

数据的每个数都是众数，故选项c错误；

故选：D.

【变式3】（2025•安徽•一模）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是/校篮球队员的身高:

身高（cm）176178180181182185

人数123211

下列说法正确的是（）

A.篮球队员身高的众数是185cmB.篮球队员的平均身高是180.1cm

C.篮球队员身高的中位数是180.5cmD.篮球队员身高的方差是3.2CH?

【答案】B

【知识点】求加权平均数、求方差、求中位数

【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法

逐项分析即可.

【详解】480cm出现的次数最多，

二众数是180cm,故不正确；

B.平均数=x=Lx（176+178x2+180x3+181x2+182+185）=180.1cm,正确；

C.•••从小到大排列后排在第5和第6位的是180cm,

・••中位数是180cm,故不正确；

D.

22222

2_(176-180.1)+2(178-180.1)2+3(iso-18O.l)+2(181-180.1)+(182-180.1)+(185-180.1)_的

s——5.49，

10

不正确.

故选人

【题型四】频数发布直方图

【例1】（2025•湖南长沙•模拟预测）2025年1月23日，中共中央、国务院、中央军委给神舟十八号航天员

叶光富颁发"二级航天功勋奖章"，授予李聪、李广苏“英雄航天员"荣誉称号并颁发“三级航天功勋奖章神

舟十八号载人飞行任务的圆满成功，标志着中国航天事业在实现高水平科技自立自强的新征程中迈出关键

一步.此次任务不仅提升我国综合国力和中华民族凝聚力，更进一步增强了全体中华儿女的民族自信心和

自豪感，对激励全党全军全国各族人民团结奋进、砥砺前行具有重要意义.某校为了解本校学生对航天知

识的了解情况，对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，

整理并制作成了如下不完整的图表：

分数段频数频率

60<x<709a

70<x<80360.4

80<x<90270.3

90<x<100b0.2

频数

V60708090100分数/分

请根据上述统计图表，解答下列问题：

⑴表中"，b=；

⑵请补全频数分布直方图；

⑶根据以上数据，如果80分以上(含80分)为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学

校八年级学生成绩优秀的人数.

【答案】⑴0.1,18

⑵见解析

⑶估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为450人

【知识点】频数分布表、频数分布直方图、由样本所在的频率区间估计总体的数量

【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解

题的关键.

(1)用70Mx<80的频数除以其频率求出样本容量，进而求出0、6的值即可；

(2)根据(1)所求补全统计图即可；

(3)用900乘以样本中80分以上(含80分)的频率即可得到答案.

【详解】(1)解：•.•样本容量为36+0.4=90,

.•.”=9+90=0.1,6=90*0.2=18；

(2)解：补全频数分布直方图如图所示：

(3)解：900x(0.2+0.3)-450(人),

答：估计该学校八年级学生成绩优秀的人数为450人.

本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解题的关键.

【例2】（2025•河南郑州•二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举行了"中国近现代史"知识竞赛

（百分制），为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩（单位：分），并对数

据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息:

七年级学生竞赛成绩的频数分布表:

成绩频数频率

50<x<6020.05

60<x<704m

70<x<80100.25

80<x<90140.35

90〈尤<100100.25

合计401.00

b.八年级学生竞赛成绩的扇形统计图:

八年级学生竞赛成绩在80Mx<90这一组的数据是：80,80,82,83,83,

84,86,86,87,88,88,89,89,89.

d.七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：

FZ中位数।

।七年级O

八年级F

根据以上信息，回答下列问题：

⑴写出表中加，”的值，m=_,n=_.

⑵此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学

生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由.

【答案】⑴0.1,85

⑵他在七年级，理由见解析

【知识点】求中位数、求扇形统计图的某项数目、频数分布表

【分析】本题考查了统计图与数据的分析综合，涉及频数和频率，中位数等知识，从统计图表获取信息和

对中位数是解题关键.

（1）根据频率=频数+总数，得出加的值，再根据扇形统计图求出八年级学生在各个分数段的竞赛成绩人

数，最后根据中位数的概念可得〃的值；

（2）根据中位数的定义解答即可.

【详解】（1）解："2=4+40=0.1,

八年级学生竞赛成绩在60Mx<70的人数有40xl5%=6（人），在70Vx<80的人数有40x20%=8（人），在

80Mx<90的人数有40x35%=14（人），在90Vx<100的人数有40x30%=12（人），

又••・八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第20、21位数的平均数，而第20、21位数分

别是80Vx<90这一组数据中的84、86,

二八年级学生竞赛成绩的平均数为n=—^―=85,

故答案为：0.1,85；

（2）他是七年级的学生，理由如下：

•••七年级学生竞赛成绩的中位数为81,八年级学生竞赛成绩的中位数为85,

•••七年级有一半的学生成绩不高于81,八年级有一半的学生成绩不高于85,

•••七年级超过有一半的学生成绩低于83,而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于83,

,他在七年级.

【变式1］（2025•陕西西安•一模）2025年哈尔滨亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行，亚冬会是继

2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会.某校组织开展了冰雪知识竞赛，为了解本

次竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的竞赛成绩x（单位：分）进行统计，得到如下不完

整的统计图表.

成绩%/分频数频率各组总分/分

60<x<70150.11000

70<x<80a0.22250

80<x<90600.45000

90（尤<10045b4200

请根据上述信息解答下列问题：

⑴补全频数分布直方图，表中6=,所抽取学生竞赛成绩的中位数落在组；

⑵请求出所抽取学生的平均竞赛成绩；

⑶学校将成绩为90100的学生评为"优秀"，若该学校共有800名学生参加此次竞赛，请你估计该校此次

竞赛被评为“优秀”的学生人数.

【答案】⑴见解析；0.3;80Vx<90

(2)83分

(3)240名

【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求一组数据的平均数、求中位数

【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，熟练掌握其定义是解题的关

键.

(1)根据频率之和计算出6的值，然后根据频数分布表中的数据计算出。的值，则可补全频数分布直方图；

再结合中位数的定义，可以直接写出所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在哪一段；

(2)根据平均数的计算方法进行计算即可；

(3)分析样本的优秀率，估计总体的情况即可.

【详解】(1)解：Z)=l-0.1-0.2-0.4=0.3,a=15+(MxO.2=3O,

补全频数分布直方图如下：

频数（学生人数）

共有150人，第75、76人的成绩落在80Vx<90内,

故答案为：0.3；80<x<90.

1

（2）解:-----------------------------------X(1000+2250+5000+4200)=83(分),

15+30+60+45

所抽取学生的平均竞赛成绩为83分.

(3)解：0.3x800=240(名),

二估计该校此次竞赛被评为"优秀"的学生人数为240名.

【变式2】（2025•安徽滁州,一模）某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动.对全校

七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统计分析

（满分为100分）.测试成绩为（x）,并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务:

信息1

七年级成绩：84,78,98,92,98,92,69,92,89,89,85,84,83,79,92,79,83,78,92,58.

信息2

八年级成绩在80Vx<90之间的数据为：89,88,85,81.

信息3

七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下:

七年级抽取同学的成绩频数分布直方图八年级抽取同学的成绩扇形统计图

人

80<x<90

⑴填空：«=,并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图;

⑵请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表：

平均众数中位数方差

数

七

年84.7①________84.567.21

级

八

年83.796②________183.68

级

⑶若该校七年级和八年级分别有学生680人，测试成绩90分以上(含90分)为优秀，则两个年级达到优

秀的人数一共大约有多少人？

【答案】(1)45,图见解析

(2)①92；②88.5

⑶544人

【知识点】频数分布直方图、求中位数、用样本的某种“率”估计总体相应的“率"、求众数

【分析】(1)先期初70Vx<80和80Mx<90的百分比，进而可求出〃的值；找出80Vx<90的人数即可补全频

数分布直方图；

(2)根据众数、中位数的定义求解即可；

(3)用680乘以成绩90分以上(含90分)所占的比例即可.

72°

【详解】(1)解：•.•薪=20%,

«%=1-10%-5%-20%-20%=45%,

•••〃=45.

七年级成绩在804％<90的有：84,89,89,85,84,83,83,共7人，

七年级抽取同学的成绩频数分布直方图

(2)解：:92出现了5次，出现的次数最多,

••・七年级的众数是92.

•,■20x45%=9,

••・八年级成绩的中位数在80Mx<90之间，

•••80Mx<90之间的数据从小到大排列为:81,85,88,89,

二八年级的中位数为（88+89）+2=88.5.

故答案为:92,88.5；

7

（3）解：680x—+680x45%=544（人），

20

答：两个年级达到优秀的人数一共大约544人

【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差等知识，熟练掌握各知识点

是解答本题的关键.

【变式3】（2025•陕西西安,模拟预测）社会生活中处处都有志愿者的身影，志愿者用热情周到的志愿服务为

人们带来温暖，用行动书写“奉献、友爱、互助、进步”的故事.某学校为了解九年级未入团学生参加校志愿

活动的情况，从九年级未入团学生中随机抽取20名学生，在校志愿者活动记录上查到了他们参加志愿活动

的时长.部分数据如下：

a.20名学生校志愿活动时长（小时）：17、39、39、2、35、46、7、17、18、48、28、26、48、

39、19、27、32、33、32、44.

b.校志愿活动时长频数分布直方图，如图：（数据分成5组：0<x<10,10<x<20,20Vx<30,

30Vx<40,40Vx<50)

校志愿活动时长频数分布直方图

志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下

平均众中位

数数数

29.55mn

根据以上信息，回答下列问题:

⑴填空：m=；"=；

⑵补全校志愿活动时长频数分布直方图；

⑶根据学校共青团团委要求，参加校级志愿活动时长不够20小时不能提出入团申请，若该校九年级未入团

学生有290人，从志愿活动时长的角度看，估计有资格提出入团申请的学生人数.

【答案】⑴39,32；

⑵图见详解；

⑶估计有资格提出入团申请的学生人数203人.

【知识点】求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求众数

【分析】本题考查求众数，中位数，画直方图及利用样本估算总体情况：

（1）根据出现最多的是众数，最中间两个数的平均数是中位数直接求解即可得到答案;

（2）用样本数减去已经画了的频数即可得到频数，再补充图形即可得到答案；

（3）利用总数乘以频率即可得到答案；

【详解】（1）解：由题意可得，

39出现3次最多，最中间两个数是32,

"7=39,〃=32,

故答案为：39,32；

（2）解：由直方图得，

30Vx<40的人数为：20-2-4-3-4=7（人），

直方图如图所示，

校志愿活动时长频数分布直方图

估计有资格提出入团申请的学生人数为：290x当==203（人）,

答：估计有资格提出入团申请的学生人数203人.

【题型五】几何面积求概率

【例1】（2025•山东济南•一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成.向游戏板随机投掷

一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是.

【答案】I4

【知识点】几何概率

【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键.

飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的4个小正方形格子构成，根据概率

公式计算即可得到答案.

【详解】解：.•・飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的4个小正方形格子

构成，

4

••・击中阴影区域的概率是5，

4

故答案为：—.

本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键.

彳瘠562M妾徽吾胞二稹）一而囱/茬二不正方形的网格壬宥履-方丁石；一万云不瓦一直熹连接其审

3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为.

IIIII

IIIII

----1------1--1--1------I---

--14芈4斗一

IIIII

____I___I______I_____

：E\\\D:

----r------1--1--1------1---

IIIII

IIIII

【答案】:7

【知识点】根据概率公式计算概率

【分析】此题考查的概率公式求概率.找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即

可.

【详解】解：从在格点上的点4民。,。£中任取三个点构成的三角形有ABCD、"DE、

4BE、△/（?£、ABCE、XBDE、KDE,共9个，根据网格的特点可得、△BCD、"DE、

△ABE、LACE、XBDE、AC£>£是直角三角形，“AD、ABCE不是直角三角形，即在构成的三角形中，是

直角三角形的个数是7个，

7

二在构成的三角形中，是直角三角形的概率为5，

-7

故答案为：—.

【变式1】（2025・四川广安•模拟预测）"赵爽弦图"是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种

验证勾股定理的图形.如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为

3:1.若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为.

【答案】|2

【知识点】用勾股定理解三角形、根据概率公式计算概率

【分析】本题考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比.

【详解】解：设两直角边分别是3x,x,则斜边即大正方形的边长为J（3x『+f=怖,小正方形的边长为

3x-x=2x,

二大正方形的面积为10元2,小正方形的面积为4f,

4/_2

针尖落在阴影区域的概率为

la?"5

2

故答案为：—•

【变式2］（2025•山东济南•一模）《易经》："易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦太极图是关

于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形.如

图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是.

【答案】y

【知识点】中心对称图形的识别、几何概率

【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键.

利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式

计算即可.

【详解】解：••・太极图是中心对称图形，

二黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半，

・•・在太极图中随机取一点，

此点取自黑色部分的概率是

故答案为：y

【变式3】（2025•安徽合肥•一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的.若向圆面投掷飞镖,

则飞镖落在阴影区域的概率为—.

【分析】本题考查了概率的计算，计算出阴影部分的面积占总面积的比例是解题的关键.

根据题意，运用割补法将不规则图形转换为规则图形，得到阴影部分的面积，再根据概率公式计算即可求

解.

类型1的有6块，类型2的有6块，

2121

其中类型1的阴影部分占类型1的;=彳，类型2的阴影部分占类型2的二=彳,

6363

・•・阴影部分的面积占整个圆的面积的747=：1,

123

飞镖落在阴影区域的概率为g，

故答案为：—.

【题型六】画树状图或列表法求概率

【例1】（2025•江西新余•一模）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独

特、价格实惠而闻名.张帆在广州旅游期间，决定在"A.虾饺，B.干蒸烧卖，C.艇仔粥，D.蜜汁叉

烧包，，四种茶点中选择喜欢的进行品尝.（选到每种茶点的可能性相同）

⑴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到"蜜汁叉烧包"的概率是.

⑵如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到"虾饺"和"艇仔粥”的概率.

【答案】⑴:

⑵：

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键.

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到"虾饺"和"艇仔粥”的结果数，最后根据概

率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：••・一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同，

••・只选其中一种茶点品尝，张帆选到"蜜汁叉烧包”的概率是:;

(2)解：画树状图如图所示:

开始

ABCD

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到"虾饺"和"艇仔粥"的结

果有2种，

21

.■.P(张帆选到"虾饺"和"艇仔粥")

本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键.

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到''虾饺"和''艇仔粥"的结果数，最后根据概

率计算公式求解即可.

彳的5175625：甘肃平凉二穰)一音萧奢位于用国西北部「施施黄河工擀「见西施痔，一弓侵运直「奉音亍丰富

的物产和独特的地方文化.某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A.庄浪苹果，8.平凉山药，C.华亭

核桃，。.静宁烧鸡这四种特产的四张卡片(除特产不同外其余完全相同)背面朝上放在桌子上，让每位学

生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍.

B.C.D.

⑴该班的张萌同学抽取的卡片上是A.庄浪苹果的概率是；

⑵用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率.

【答案】⑴；

（2）1

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用

概率公式可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得，该班的张萌同学抽取的卡片上是A.庄浪苹果的概率是:.

故答案为：；;

（2）解：画树状图如下：

开始

杨光ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中张丽和杨光同学介绍的特产不同的结果有12种,

张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率为-12=43，

164

【变式1】（2025•陕西西安•一模）随着电影《哪吒2》火爆上映后，"哪吒"这一经典文化炉便在消费市场上

掀起了一股热潮.如图，小文收集了/、2、C、E五个钥匙扣，其中/为哪吒造型，她想让好友云云和

珍珍分别选一件作为礼物.每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阉的方式来确定礼物的归

属，将分别写有4、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样

的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团

中随机抽取一个.

A.B.C.D.E.

⑴云云抽到哪吒造型（A）的概率是；

⑵利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型G4）的概率.

【答案】⑴"

（2）1

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键.

（1）根据概率公式计算即可；

（2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（/）的概率.

【详解】（1）解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（/）的概率即为g；

（2）根据题意列表如下：

云

ABcDE

云珍珍

A（反/）(5)(")（E,4）

B(AB)S)(D,B)（E,B）

C（4C）(瓦c)(“)(1)

D(40（B,D）CM

E(4町(c闾(D,E)

由表可得，一共有20种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到N的有8种结果，

Q2

,云云和珍珍有一人抽到/的概率=而=丁

【变式2】（2025•陕西西安•一模）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代

最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同

学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母月、B、C、。表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、

龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李

洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张.

A.牛B.鸡C.猴D.龙

⑴李洋抽取的卡片正面文字是"龙"的概率为；

⑵请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是"牛”的概率.

【答案】⑴:

⑵2

16

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题主要考查列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是关键.

（1）共有4种结果，抽至『‘龙"的有一种，根据概率公式计算即可；

（2）列表法或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可.

【详解】（1）解：共有4张卡片，抽到"龙"的有一种结果，

二正面文字是"龙"的概率为9，

故答案为：；;

（2）解：根据题意画树状图如下：

开始

李洋：ABCD

孙怡：ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是"牛"的结果有9种,

9

：.P（李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是"牛"）=—,

16

【变式3】（2025•陕西西安•三模）投壶源于射礼，是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.张羽和

赵峰受投壶游戏的启发，制作了如图所示的签和签筒来玩，五支签上分别写有唱歌、跳舞、倒立、相声、

魔术（依次用A、8、C、。、£表示）这五个节目名称，五支签除了所写的节目名称不同外其余完全相

同，且当签放在签简里时看不见所写的节目名称.张羽把五支签放在签筒里，摇匀并从中随机抽取一支，

记录签上的节目名称，不放回，然后赵峰再从签筒里随机抽取一支，记录签上的节目名称，他们各自要完

成自己所抽取的签上的节目.

工

1

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.

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概率.