2025年中考数学考点专练：函数图象的理解（含答案）

函数图象的理解

专题讲练1图象的理解（一）——由动点确定函数图象

考点一由实物运动确定图象

【典例1]（2024.武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体,向水槽匀速注水.下列

图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）

变式.（2022・武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图

所示（图中为一折线）.这个容器的形状可能是（）

考点二由动点的运动确定图象

【典例2】如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A-D-B以Icm/s的速度匀速运动到点B,点P运动时,

APBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象是（）

变式1.（2024.江西）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用

变式2.如图，在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点O,M是BC的中点.P,Q两点沿着B-C-

AD

D方向分别从点B,点M同时出发，并都以Icm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两，颦呼戈弹在P,Q

两点运动的过程中,与公OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是（）3^^、

专题讲练2图象的理解（二）一数形结合〈中考热点1）

考点一正比例函数的理解，由图象确定交点个数

【典例1】（2023・江岸模拟）某函数的图象如图所示，当0<x<a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x】,y1）,

n

（x2,y2）”..,（xn,yn）,使得勺=§=…=却则的最大取值为（）

A.5B.6C.7D.8

y

Oax

变式.（2024.武汉模拟）如图是小勤同学利用计算机软件画出的函数y=1告+6（公0）的图象，发现该图象与x

4

轴交于点（1,0）,则k的值为（）3

2

X

A.lB.2D.4-u

234x

考点二用图象法由交点个数确定参数范围

【典例2】“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.若关于x的方程\x

I-2=与有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（)

A.0<k<lB.k>lC.-l<k<0D.k<-l

22

变式.已知关于x的一兀三次方程a久3+bx+ex-k=0的解为%!=-3,X2=1,x3=2,请运用函数的图象,

数形结合的思想方法，判断关于x的不等式a炉+bx2+次一1>0的解集为（）

A.-3<x<l或x>2B.-3Vx<0或l<x<2

C.x<-3或l<x<2D.x<-3或0<x<l或x>2

专题讲练3图象的理解（三）——分析图象求参数范围〈中考热点2>

考点一复合函数问题

【典例】函数%,y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=%+为

的大致图象是（）

考点二分析图象性质

变式1.在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数y=|%+l|[x-0的图象，请你结合

函数解析式的结构，分析他所得的函数图象是（）

ABCD

变式2如图,y=炉+7n/+n（m；n为常数）图象如图所示，则m,n的值满足（）

A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0

变式3.（2024・武汉改编）如图是利用计算机软件绘制函数y=-^-（k,a为常数）的图象，则k,b的值满足______

\x-a）L

变式4.函数y=5+*a,b为常数，且a>0,b<0）的大致图象是（）

ABCD

专题讲练4图象的理解（四）一图象与动点问题〈中考热点3〉

考点一最值问题与函数图象结合

【典例】（2023•遂宁）如图在△ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,点P为线段AB上的动点以每秒1个单位长度的速

度从点A向点B移动倒达点B时停止过点P作PMLAC于点M,作PNXBC于点N,连接MN,线段MN的长

度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）

A.（5,5）B.吟C仔高呜，5）

考点二比值问题与函数图象相结合

变式1.（2023•河南）如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点，再从该点

沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x（/=%图2是点P运动时y随x变化的函数图象，则等边三角形A

BC的边长为（）

A.6B.3C.4V3D.2V3

变式2.（2023•武威）如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB-BC匀速运

动，运动到点C时停止设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐

标为（）

A.(4<2V3)B.(4,4)C.(4,2V5)D.(4.5)

专题讲练5图象的理解（五）一由图象确定方程的解〈中考热点4>

考点一图象法解一元二次方程

【典例1］根据下面表格中的对应值：

X3.233.243.253.26

ax2+bx+

-0.06-0.020.030.09

c

判断方程ax2+bx+c0（a*O,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）

A.3.22<x<3.23B323Vx<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3,26

考点二利用图象法解绝对值方程

【典例2】某班数学兴趣小组对函数y=/一2|久|的图象和性质进行了探究，探究过程如下.

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：

5

X-3-2-10122.53

2

35m-10-1053

y44

其中,m=:

⑵根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另

一部分；

⑶利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大；

⑷进一步探究函数图象.

①求方程/-2|久|=2的实数根的个数；

②关于x的方程/一2|%|=。有4个不等的实数根时，求a的取值范围.

变式.关于X的方程|/一4x|=a.

(1)有四个不等实根，求a的值；(2)仅有两个不等实根，求a的值.

考点三参变分离法，解决唯一公共点问题，画图是关键

【典例3]抛物线y-x2-3与直线y=2x-5m在-2gxW2只有一个公共点，求m的范围.

图象的理解

专题讲练1图象的理解(一)—由动点确定函数图象

【典例1】D变式.A【典例2】A变式1.C变式2.B专题讲练2图象的理解(二)一数形结合〈中考热点1〉

【典例1]A

解：设左="=...="=底卜中0),

XiX2xn

则在该函数图象上可找到n个不同的点(Xi,yi),(X2,y2),...(xn,yn),这n个不同的点也都在y=kx的图象上，

正比例函数y=kx(k邦)与该函数的图象如图所示，由图象可知，正比例函数y=kx的图象与该函数图象最多有5

个交点，则n的最大值为5.'

的冼A3A

故选:A.o|ax

变式.D

提示：由图象知a=3,b=-l,-.\*-11=0,解得k=4.

【典例2]A

解：由IxI-2=g导k=(|x|-2)x,

设f(x)=(因-2)x,则〃久)=｛，：二作出函数外)的图象如图：

由图象知若关于X的方程|"-2=g有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则0<k<l.

故k的取值范围是:0<k<l.故选:A.

变式.C

解：令y=ax3+bx2+ex—,关于x的一元三次方程ax3+bx2+ex—k2-。的解为=-3,%2=1

，△=2,y=ax3+b/+ex一左2的图象与x轴的交点为(-3,0),(1,0),(2,0),又1••y=ax3+b

/+ex-1的图象与x轴的交点不含(0,0),

当x=0时，y=-fc2<0,

作出函数图象如图：

当y>0时,(ax3+bx2+ex—k2>0,

此时x<-3或l<x<2.故选C.

专题讲练3图象的理解(三)

-分析图象求参数范围〈中考热点2>

【典例】B

解：71-aix2+瓦％+ci>

2

y2=a2x+b2x+c2,

瓦<0,b2<0,a1>0,a2>0,|q|<|c2I,

a=+a2>0,c=c1+c2<0,

b-i+匕2c

・•・X=B->0.

—2(a1+a2)

变式1.C

解:当x=0时，y=10+1|x(0-01

2

当y=0时，0=|x+1|xx-l.

贝！］x+l=0或x—1=0,

解得x=-l或%=，故选C.

变式2.C

解:当x=0,y=n,故n>0.

当x>0,y的值有正有负，也有0.故m<0.

变式3.k<0,a<0

解:当x>0时y<0,故k<0;

x-a邦，故xra,而a<0.

变式4.B

解：令：y=0,则+用=0.

%H0,・••ax3=-b,

x=-3fj>0,B,D符合；

当x<0,y<0,故只有B.

专题讲练4图象的理解（四）

----图象与动点问题〈中考热点3>

【典例】C

解：过点C作CD±AB于点D,连接CP,先利用勾股定理的逆定理证明小ABC是直角三角形，即ZC=90°,

进而利用等面积法求出=K则可利用勾股定理求出4。=号;再证明四边形CMPN是矩形彳导至（JMN=CP,故当

点P与点D重合时,CP最小，即MN最小，此时MN最小值为传，金.

变式1.A

解：令点P从顶点A出