2025年中考数学第一次模拟考试（辽宁卷）（全解全析）

2025年中考数学第一次模拟考试（辽宁卷）

全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.若零上10。＜2记作+1CFC,则零下5。（2可记作（）

A.5℃B.10℃C.-5℃D.-10℃

【答案】C

【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键.在一对具有相反意义的量

中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解：零上io℃记作+i（rc,

零下5。＜2可记作-5。（2.

故选C.

2.已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（）

【答案】B

【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图的概念即从正面看物体得到的图形求解可得.

【详解】解：该几何体的主视图是

故选：B.

3.中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表

“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意.

故选D.

4.根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示:2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元,

人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、

社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响.数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（）

A.268.6x109元B.2.686x10"元

C.0.2686X1O127CD.2.686x1010元

【答案】B

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中14忖<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了

多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：2686亿元=268600000000元=2.686x10"元，

故选：B.

5.若关于x的方程》2-x+机=0有实数根，则加的值可以是（）

A.0.25B.0.5C.1D.2

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握A>0,方程有两个不相等的实数根；A=0,方程有

两个相等的实数根；A<0,方程没有实数根是解题关键.根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可.

【详解】解：：关于x的方程/_x+机=0有实数根，

.­.A=（-1）2-4Z??>0,

解得：m<0.25,

故选：A.

6.解分式方程三+千=3时，去分母后变形正确的是（）

x-lX-1

A.2+（x+2）=3（x-1）B.2—x+2=3（x-1）

C.2-（x+2）=3D.2-（x+2）=3（x-1）

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键.

根据题意，等式两边同时乘以（X-1）去分母即可，注意不能漏乘项.

【详解】解：分式方程V+宁=3去分母后变形2+（x+2）=3（x-l）,

x—1x-1

故选：A.

7.已知一次函数>=京+6（后w0,k、b是常数）的自变量x与函数歹的几组对应值如表：

X-2-1012

y86420

则下列结论正确的是（）

A.y的值随x值的增大而增大B.图像不经过第一象限

C.当x<2时，><0D.不等式foc+6V0的解集是x»2

【答案】D

【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解

析式，再根据函数的图象与性质求解即可.

b=4

【详解】解：把（0,4）,（2,0）代入了=履+6得,

2k+b=。'

所以，一次函数解析式为y=-2x+4,

左二一2v0,

引的值随x值的增大而减小，故选项A不正确；

•.・左二一2v0,万=4>0,

・•・一次函数V=-2x+4的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确；

由表格中数据可知，当x<2时，>>0,故选项C不正确；

不等式履+640的解集是x22,故选项D正确，

故选：D.

8.有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，七人步.问人与车各几何？”意思是：有若干人

坐车，每车坐5人，则空1辆车；每车坐4人，则7人无车坐.问人数和车数各多少？设有x辆车，根据题

意，可列出方程（）

A.5x-l=4x+7B.5（x-l）=4（x+7）

C.5（x-l）=4x+7D.5x-l=4x-7

【答案】C

【分析】本题两种乘车方式中，车的数量与人的数量都是相等的，可以将车的数量设为x辆，根据人数相

等列出方程即可.

本题考查一元一次方程的应用，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出关系式是解题的关键.

【详解】解：设车有X辆，

若每车坐五人，则人数为5(x-l)人

若每车坐四人，则人数为(4x+7))人

故5(x-l)=4x+7

故选C.

9.如图，在ZUBC中，ZCAB=20°,乙伤C=30。，将绕点/按逆时针方向旋转50。得到

AAB'C.有以下结论：®BC=B'C■②AC〃CP'；③C'B'LBB'；④NABB'=NACC'.其中正确的有

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，掌握图形的旋转只改变

图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键.

根据旋转的性质可得：BC=B'C\ZC'AB'=NCAB=20°,ZAB'C'=NABC=30。，再根据旋转角的度数为

50°,然后通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可.

【详解】解:①••・将△48C绕点N按逆时针方向旋转50。得到△/5'C',

：.BC=B'C,故①正确；

②・.•将△4BC绕点A按逆时针方向旋转50。得到△48'C',

NBAB'=50°.

ZCAB=20°,

NB'AC=ZBAB'-ZCAB=30°,

•­•ZAB'C=ZABC=30°,

NAB'C'=NB'AC=30。.

.-.AC//C'B',故②正确；

③在A84B'中，AB=AB',ZBAB'=50°,

NABB'=ZAB'B=1(180°-50°)=65°.

/./BB'C'=AAB'B+AAB'C=65°+30°=95°.

.•.C3U88'不成立，故③不正确；

④在A4CC'中，AC=AC,NW=50。，

4呢，=3（180。-50。）=65。

ZABB'=ZACC,故④正确.

・•・①②④这三个结论正确.

故选B.

10.如图，P为。。外一点，过点尸分别作。。的割线PN8和切线PC（割线P4B和切线PC不重合），C为

A.ZPBC=ZPCA

B.当弦N8最长时，NPCB-NPBC=90。

C.NPCB-NOBC=9。。

D.白—0\f,—

BC2AB3

【答案】D

【分析】结合图形，对四个选项的说法依次进行判断即可.

【详解】解：A.为O。的切线，是。。的割线,

•.ZPCA+ZACO=ZPCO=90°,

・・・ZAOC和ZABC所对的弧是AC，

；.NAOC=2/ABC,

-OA=OC,

/CMC=N。。=:(180。一4OC)=；(180。—2/ZBC)=90。一/ZBC,

ZPC4+90°-Z^5C=90°,

/ABC=/PCA,

即N尸5C=N尸C4,原说法正确，故此选项不符合题意;

B.当弦45最长时，即为。。的直径，如图,

ZACB=90°,

/.ZPCB-ZPCA=90°

由A知：APBC=APCA,

・・・/PCB-NPBC=90。,原说法正确，故此选项不符合题意；

C.丁尸。为。。的切线，P45是OO的割线，

・・・/尸。。=90。，

:"PCB-AOCB=ZPCO=90°,

•；OB=OC,

・•.ZOBC=ZOCB,

/.ZPCB-ZOBC=ZPCB-ZOCB=90°,原说法正确，故此选项不符合题意;

D.延长4。交。。于点。，连接8,如图，

•・•4D是。。的直径,

.•・/4CQ=90。，

/.ZOAC+ZODC=90°f

•••尸。是。。的切线,

・•・/尸。。=90。，

：.ZPCA+ZACO=90°,

-OA=OC,

・•.AOAC=AOCA,

："PCA=/ODC,

又,:就二就，

・•・/ABC=/ADC,

；"PCA=/PBC,

又•・♦ZP=ZP,

.・.APACSQCB,

PAPCAC

'~PC~~PB~~CB"

又*」

BC2'

：.PA=-PC,PC=-PB,

22

PApA17

•••胃:二YX原说法错误，故此选项符合题意•

ABPB-PA33

故选：D.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，相似三角形的判定

与性质等知识点.能根据选项中的描述，画出相应的图形是解题的关键.

第n卷

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11.当天=石-1时，代数式/+2x+2020的值是.

【答案】2024

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题

的关键.本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便.

先将X2+2X+2020变形为(x+l『+2019,然后将x=V^-l代入求值即可.

【详解】解：当了=囱-1时，

x2+2x+2020=x2+2x+l+2019=(x+1)2+2019=(V5-1+1)2+2019=(V5)2+2019=5+2019=2024,

故答案为：2024.

12.如图，点A,5的坐标分别为（2,0）,（0,1）,若将线段48平移至4片的位置，贝h+Z）的值是.

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一平移，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下

减，左减右加”的平移规律求解即可.

【详解】解：•点A,8的坐标分别为（2,0）,（0,1）,4（0,6）,用（a,2）

二将线段N8平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，

，。=0+1=1,6=0+1=1,

a+b=1+1=2,

故答案为：2.

13.一个不透明布箱子里只装有机个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球

3

的概率为丁，则机的值为

4

【答案】9

【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键.确定红

球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为3:，列式求解即可.

4

3

【详解】解：有加个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为

4

m_3

m+34

解得，m=9,

经检验，加=9是原方程的解，且原分式方程有意义，

••.m的值为9,

故答案为：9.

14.如图，点/（a,3）,8优,1）在反比例函数y=j的图像上，点C,。分别是x轴、y轴上的动点（C,。不同

时与原点重合)，则四边形/BCD的周长的最小值为.

【分析】首先求出/(L3),8(3,1),再作/点关于y轴的对称点P,8点关于x轴的对称点。，根据对称的性

质得到尸(-1,3),P。分别交x轴、夕轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形

的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得.

【详解】•••点/(。,3),8伍,1)在反比例函数y=:的图像上，

33、

：.a=—=1,b=—=3,

31

如图，作/点关于7轴的对称点尸，2点关于x轴的对称点。，

二尸(7,3),2(3,-1),

连接尸。分别交x轴、y轴于C点、。点，

四边形A8CD的周长=/8+/O+O)+8C=/8+PZ)+Z)C+C02/8+P。

・•・当点尸，D,C,。四点共线时，四边形428的周长最小，即/3+尸。的长度

AB+PQ=J(_Ip+(3+1>+7(1-3)2+(3-1)2=6后.

••・四边形/BCD的周长的最小值为60.

故答案为：6A/2.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用

两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键.

15.如图，在平行四边形48。中，£为N2延长线上一点，尸为/。上一点，NDEF=NC,若DE=4,

【答案】y

【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出

AD=BC,N4=NC,结合已知得出△。尸E〜,利用相似三角形的性质结合题意求出/O的长度即

可.

【详解】解：•••四边形N8CD是平行四边形，

/.AD=BC,=

vZDEF=ZC,

•••/DEF=N4,

•：ZEDF=ZADE,

・•・/\DFE~/\DEA,

DEAD

'~DF~~DE"

7

•；DE=4,AF=一，

3

7

：.DF=AD-AF=AD——,

3

4AD

AD--4,

3

.-.42=^AD-^-AD,

.•./。=个或/。=-3（舍去）,

。的长是不，

故答案为：§

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(10分)(1)计算：-l2004+(5-^)°-

（2）化简：,「一1三土卫

u+2。+1a+1

【答案】（1）-9（2）-

a

【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）原式分别进行乘方、零指数累和负整数指数幕运算，然后再进行加减运算即可得到答案;

（2）原式分子与分母先进行因式分解，再把除法转换为乘法，约分后即可得到结果.

2004-2

【详解】解：（1）_l+（5-/r）°-^

=—1+1—9

=-9；

/c、Q2—1Q2—Q

(2)--------+-----

Q+2q+16/+1

(tz+l)2Q+1

+6Z+1

(4+1)2

17.（8分）某教育科技公司销售43两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示:

AB

进价（万元/套）32.4

售价（万元/套）3.32.8

（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进45两种

多媒体各多少套？

（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体加套（10«加（20）,当把购进的

两种多媒体全部售出，求总利润W（元）与加之间的函数关系，并说明当购进A种多媒体多少套时，能获

得最大利润，最大利润是多少万元？

【答案】（1）购进A种多媒体20套，8种多媒体30套

（2）购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元

【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方

程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据题意可以写出利润与勿的函数关系式，然后根据加的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润

的最大值.

【详解】（1）设A种多媒体。套，3种多媒体6套，

a+b=50〃二20

由题意可得:3。+2.46=132’解得

6=30'

答：购进A种多媒体20套，8种多媒体30套；

（2）由题意可得：w=（3.3—3）机+（2.8—2.4）x（50—机）=—0.1加+20,

••.w随机的增大而减小，

•.-10<m<20,

.•.当加=10时，卬取得最大值，此时w=19,

答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元.

18.（8分）某校七年级计划组织一次一分钟跳绳比赛.为了解学生一分钟跳绳个数的情况，抽取部分学生

进行了一次一分钟跳绳测试，并将测试的成绩绘制成了如图所示的统计图表:

成绩X个/分频数

60<x<1006

1004％v140m

140Vx<18018

180Vx<2204

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)统计表中的根=,频数直方图中的组距是;

(2)补全频数直方图，并求出扇形统计图中180Wx<220部分对应的圆心角度数是°；

(3)若每分钟跳绳140个以上(包括140个)的为“优秀”，七年级共有1350名学生，请估计该年级有多少名

学生可以获得“优秀”.

【答案】(1)17,40

(2)32

(3)660名

【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键：

(1)用140Vx<180的人数除以所占的比例求出样本容量，用样本容量减去其他组的频数，求出加的值，

用一个范围的端点值之差求出组距即可；

(2)根据加的值，补全直方图即可，用360度乘以180Vx<220的人数所占的比例求出圆心角的度数即可;

(3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可.

【详解】(1)解：18—40%=45；

加=45-6-18-4=17；

组距为：100-60=40；

故答案为：17,40.

(2)补全直方图如图：

A频数

18

16

14

12

4

10360°x—=32°；

845

6

4

2

0

故答案为：32.

(3)1350x更生=660(名)；

45

答：估计该年级有660名学生可以获得“优秀”.

19.（8分）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自

主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40

元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元.该产品每月销量了（万件）与销

售单价x（元）之间的函数关系如图所示.

（1）求月销量V（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其他

费用），该公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？

【答案】（l）j^=-^x+8（40<x<60）,^=-^x+5（60<x<100）；

（2）40人

（3）该公司可在8个月后偿还无息贷款.

【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用;

（1）分两种情况：当40WxW60时，令y=kx+b,当60Wx时，设y=ax+〃，再利用待定系数法求解解析

式即可；

（2）设公司可安排员工。人，定价50元时，利用利润=销售额-生产成本-员工工资-其他费用再建立方

程求解即可；

（3）先求解当销售单价为x=70时，该公司有80名员工时每月的利润，再建立不等式求解即可.

【详解】（1）解：当40VXW60时，令＞=丘+6,

[60斤+6=2

则[40k+b=4,

\k=~—

解得，10,

b=8

y=-----x+8；

10

当60«x<100时,

^y=mx+nf

f60m+n=2

[80m+n=1

1

,m=---

解得：,20,

n=5

1「

y=-----x+5；

20

（2）解：设公司可安排员工a人，定价50元时，

由5=（-：x50+8]x（50一40）一15一0.25a,

解得：a=40（人）；

（3）解：当销售单价为x=70时，该公司有80名员工,

・・.此时利润为:

-^x70+51x(70-40)-15-80x0.25

=1.5x30-15-20

=10；

设该公司〃个月后还清贷款，贝心0〃280,

・••〃28,

该公司可在8个月后偿还无息贷款.

20.（8分）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈.初到纪念馆，数学兴

趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1）,想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地

面的距离），于是他们进行了测量.如图2,他们在地面上的点/处用测角仪测得塔顶。的仰角为30。，在

点2处测得塔顶。的仰角为60。.已知N2=112m,测角仪的高度是L6m（点4反。在同一条直线上）.根

据以上测量数据求胜利塔的高度.（结果保留整数，V3«1,732）

图1

【答案】99m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据题意可得AM=NB=CE=1.6m,AW=AB=112m,ZDEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,先利用三角

形的外角性质可得NO〃N=NMEW=30。，从而可得DN=〃N=112m,然后在中，利用锐角三

角函数的定义求出。E的长，然后再加上CE即可解答.

【详解】解：由题意得：AM=NB=CE^l.6m,MN=AB=\\2m,ADEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,

•••NDNE是ADMN的外角，

ZMDN=ZDNE-ZDMN=30°,

ZDMN=ZMDN=30°,

：.DN=MN=\12m,

在RtACWE1中，DE=DN-sin60。=T12xJ=56也（m）,

2

.-.£>C=Z>£+C£=5673+1.6-56x1.732+1.6-99m.

答：胜利塔的高CD约为991n.

21.（8分）如图，48为。。的直径，。为圆心，“E切。。于点C,与48的延长线交于点MD1EO

交E。延长线于点。，ZDMA=ZAED.

(1)求证：及是。。的切线；

(2)若E4=6,M4=8,求O。的半径.

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

(1)由MALE。得到90。，再由已知角相等及对顶角相等，得到/。4£=/。=90。，利用切线的判

定方法判断即可得证；

(2)在RtAE/M■中，利用勾股定理求出EW的长，利用切线长定理得到EC=E4=6,由EM-EC即可求

出MC的长，在Rt^CMO中，设。C=r,则有MO=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求解即可.

【详解】(1)解：•・・〃£>_LEZ>,

.•./£>=90°,

•••ZDMA=ZDEA,ZMOD=ZEOA,

:"DMA+ZMOD=/DEA+ZEOA,

ZOAE=ND=90°,

为圆的半径，

.•・胡为圆。的切线；

(2)解：连接OC,

在RME4M中，EA=6,MA=8,

根据勾股定理得：ME=A/62+82=10,

•••EM与瓦4都为圆的切线，

EC=E4=6,

.■.MC=EM-EC=10-6=4.

•・•瓦4为圆。的切线，

ZOCM=90°,

在RtzXCMO中，设OC=r,则有MO=8-r,

根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

22.（12分）【概念感知】

在平面直角坐标系中，关于点P和函数图象给出如下定义：过点P作x轴的垂线交函数图象上于点

点尸与点。的纵坐标之差力-%称为点P到函数图象上的有向量.

【概念理解】

3

（1）如图1,点尸在直线y=-x+3上，函数图像上对应的解析式为了=-一.

①若点P的横坐标是2,则点P到函数图像A的有向量等于；

②若点尸到函数图像£的有向量等于1,求点尸的坐标；

【概念应用】

（2）如图2,函数图像4对应的解析式为了=/-3》+3；函数图像右对应的解析式为了=-》+3,点P的坐标

为（加,〃），其中。《优4。+2,若点尸到函数图像口的有向量与点尸到函数图像4有向量之和等于0,且〃的

最大值为9,求。的值.

图1图2

【答案】⑴①g②尸(-1,4)或P(3,0)

(2)Q=-2或〃=4

【分析】(1)①根据“有向量”的定义计算即可求解；

②设P&T+3),过点P作x轴的垂线交函数图像Z于点。，贝I］。，T)，然后根据“有向量”的定义计算即

可求解；

(2)由题意得：点P到函数图像4的有向量为加+3),点p到函数图像4的有向量为

〃-(-优+3),因为点尸到函数图像4的有向量与点尸到函数图像4有向量之和等于0,所以得到

H-(m2-3m+3)+H-(-/M+3)=0,化简得〃=；(加一2『+1,分两种情况讨论：①当a+2<2时，即"0时,

”随加的增大而减小；②当。22时，〃随加的增大而增大；即可解答.

【详解】(1)解：①将点P的横坐标2代入>=-无+3,得力=1,

将点尸的横坐标2代入y=——,得V°=—；，

.••点尸到函数图像£的有向量等于丹-%=1-1-T=j

故答案为：—；

②,••点尸在直线y=-x+3上，

可设P&T+3),过点尸作x轴的垂线交函数图像Z于点。，则

・••点尸到函数图象Z的有向量等于1,

解得£=-1或％=3，

.•.P（-1,4）或尸（3,0）；

⑵解：由题意得：点?到函数图像右的有向量为"（/-3加+3）,点尸到函数图像4的有向量为

«—(-m+3),

・・•点尸到函数图像4的有向量与点尸到函数图像4有向量之和等于0,

n—(m1—3m+3)+〃一(一加+3)=0,

2n={m1-3加+3)+(一加+3)=m2-4m+6,

+1，

当。+2<2时，即。<0时，〃随机的增大而减小,

.•.当机=4时，"的最大值等于9,

19

.-.-(a-2)+1=9,

解得Q=6或。=一2,

・.・。=6〉0（舍去）,

当a22时，〃随加的增大而增大，

.,•当加=〃+2时，〃的最大值等于9,

1?

/.-(^+2-2)+1=9,

解得a=4或a=-4,

-4<2(舍去)，

「.4=4,

综上所述a=-2或。=4.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方

程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键.

23.(13分)【背景提出】

(1)如图1,等腰RtZUBC中，N4cB=90°,CB=CA,直线即经过点C,过点A作40，ED于点。,

过点8作于点E,求证：ABEC/ACDA.

【迁移应用】

(2)如图2,已知直线4：y=gx+5与x轴交于点A,与V轴交于点8,将直线4绕点A逆时针旋转45。至

直线4,求直线4的函数表达式.

(3)如图3,将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与。重合，边ED放到x轴上，若03=2,

0c=1,过线段N8的中点。，作直线0〃垂直线段BC交x轴于点//,直线。尸垂直线段NC交无轴于点

F,求线段H尸的长.

(4)如图4,平面直角坐标系内有一点8(3,-4),过点8作胡，x轴于点A,3cLy轴于点C,点尸是线

段NB上的动点，点。是直线>=-2x+l上的动点且在第四象限内.若△CPZ)是等腰直角三角形.请直接写

出点。的坐标.

图1图2图3图4

【答案】（1）见解析；（2）y=-4x-12；（3）万月=，；（4）点。的坐标为或（4,-7）或

【分析】（1）根据同角的余角相等可证/8CE=N0AD,从而利用AAS可证ABEC用AC"；

（2）过点8作交。于尸，过尸作尸轴于"，则A伤尸是等腰直角三角形，由（1）同理可得

NOAB=\HBF,则网-3,5）,利用待定系数法即可求得函数解析式；

（3）由（1）得ABOC咨ACDA,得43,1）,再根据中点坐标公式求出。[永|],待定系数法求出直线5c

的解析式为>=-2x+2,直线/C的解析式为y=根据直线平移，求出直线”的解析式为

了=*:，直线的解析式为y=-2x+g,得出”（-训，瑞，0）最后求出结果即可；

（4）分点尸为直角顶点或点C为直角顶点时或点。为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型

全等可得点。的坐标，即可解决问题.

【详解】证明：-DLED,BELED,

/BEC=/ADC=90。,

ZACD+ZDAC=90°f

-ZACB=90°f

:.ZBCE+ZACD=90°,

z./BCE=/CAD,

在△BEC和△CD4中，

"/BEC=ZADC

</BCE=ADAC,

BC=AC

.•.△S£C^AC^（AAS）；

（2）过点8作交4于F,过尸作切，y轴于〃，如图所示:

则AFBA=90°,

根据旋转可知：NE4B=45。,

.•.△48尸是等腰直角三角形，

AB=BF,

由(1)同理可证附AHBF(AAS),

OA=BH,OB=FH,

把x=0代入y=gx+5得：y=5,才巴夕=0代入歹=gx+5得：0=|x+5,

解得：x=-3f

・••力(-3,0),5(0,5),

OA=3,OB—5,

:.OH=8,FH=5,

”(-5,8),

设4的函数