2025年中考数学模拟卷4（浙江专用）解析版

备战2025年中考数学模拟卷（浙江专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请

将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的,

选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）

1.如果a与-2024互为相反数，那么a的值是（)

1

D.2024

2024

【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案.

【解答】解：••力与-2024互为相反数，

：.a+（-2024）=0,

Aa=2024.

故选：D.

【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.我国神舟十九号载人飞船身高58.4米，捆绑了四个2.25米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约

480000千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功.其

中480000用科学记数法表示为（）

A.48X104B.4.8X104C.4.8X105D.0.48X106

【分析】把一个大于10的数记成aX10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的数，w是正整数，这种

记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案.

【解答】解：480000=4.8X105,

故选：C.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大()

转盘甲转盘乙

A.转盘甲B.转盘乙C.无法确定D.一样大

【分析】让阴影部分的面积除以总面积得到相应的概率，比较即可.

【解答】解：虽然两圆面积不同，但是阴影部分均占去

故指针指向黑色部分的概率相同.

故选：D.

【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

4.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹

果，则有一个小朋友所分苹果不到8个.若小朋友的人数为x,则下列正确的是()

A.0W5x+12-8(x-1)<8B.0<5.r+12-8(x-1)W8

C.lW5x+12-8(x-1)<8D.l<5x+12-8(x-1)W8

【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x”,可得出这箱苹果共(5尤+12)

个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于x的一元一

次不等式组，此题得解.

【解答】解：•••每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x,

，这箱苹果共(5x+12)个.

•••每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，

；.0W5x+12-8(x-1)<8.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式组是解题的关键.

5.如图，在正方形ABCD的外侧作等边连接AE、AC,则/CAE的大小为(

C.60°D.75°

【分析】由正方形的性质得出AD=OC,ZAZ）C=90°,ZBAC=ZDAC=45°,由等边三角形的性质

得出CO=OE=CE,ZCDE=60°,从而求出的度数，于是可求出NCAE的度数.

【解答】解：・・•四边形A8C。是正方形，

：.AD=DC,ZADC=90°,ZBAC=ZDAC=45°,

丛CDE是等边三角形，

:.CD=DE=CE,ZCDE=60°,

：.AD=DEf/ADE=900+60°=150°,

180°-150°.

ZDAE=ZDEA=一2一曰5

：.ZCAE=ZDAC-ZZ)AE=45°-15°=30°,

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握这两个图形的性质是解题的关键.

.返+1日

已知，元二次方程？-x+%=0的一个根，则方程的另外一根为（）

6.27H

V5-13-V51-V5V5-3

A.-------B.-------C.-------D.-------

2222

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可.

【解答】解：•••雪^是一元二次方程f-x+m=0的一个根，另一根设为a,

75+1

2

解得：0=1一等L即01-75

2

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系

是解本题的关键.

7.如图，在平行四边形A3。中，CD=2AD,M是4?的中点，连接QM,MC.下列结论：①DM_LCM；

②AD+BC=CD；③A/C平分/OC&④若。M=3,CM=4,则平行四边形ABC。的面积为24.其中正

确的个数为（）

D

C

AMB

A.1B.2C.3D.4

【分析】由平行四边形的性质可得AO=8C,AB=2AD=2BC,ZA+ZB=180°,贝l」AD+5C=C。，故

180。一乙4180°-zB

②正确，由等腰三角形的性质可得,ZBMC=ZBCM=，可得N

22

AMD-^ZBMC=90°,贝!jDM1CM,故①正确；由平行线的性质可得NZ)CM=N3MC=N5CM,则

MC平分NDC5,故③正确，由三角形的面积公式可求先ABCZ)=12,故④错误，即可求解.

【解答】解：・・•四边形A5CO是平行四边形，CD=2AD9

：.AD=BC,AB=2AD=2BC,ZA+ZB=180°,

•・・M是A5的中点,

：.AM=BM,

：.AD^AM^BM=BC,

180。一乙4180°-zB

・・・ZADM=ZAMD=,ZBMC=ZBCM=，AD+BC=CD故②正确,

22f

AZAMD+ZBMC=90°,

：.DM±CMf故①正确;

'JAB//CD,

：.NDCM=/BMC,

・・・NDCM=NBCM,

・・・MC平分NOC3,故③正确,

U：DM=3,CM=4,DM工CM,

••SADMC=6,

S^\ABCD=12,故④错误,

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，灵活运用这些性质解决

问题是解题的关键.

8.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=Rx(Z1W0)的图象与反比例函数y==。)的图象有交

点，则下列结论一定正确的是（）

A.kik2<0B.kik2>0C.ki+k2<0D.ki+k2>0

【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可.

【解答】解：•・•正比例函数y=h尤的图象与反比例函数的图象有公共点，

防、上同号，

/.klk2>0.

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的

关系是解答此题的关键.

9.已知一组数据xi,Xi,X3,x4,X5的平均数是2,方差是3,那么另一组数据3xi-2,3x2-2,3x3-2,

3X4-2,3尤5-2的平均数和方差分别是（）

A.2,3B.2,9C.4,18D.4,27

【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解.

【解答】解：•..数据XI,XI,X3,X4,X5的平均数是2,方差是3,

.•.数据3回-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为：3X2-2=4,方差为：32X3=27.

故选：D.

【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握若数据尤1,尤2,……，物的平均数是礼

方差为小，则新数据ori+b,axi+b,........,的平均数为。元+b,方差为a2s2.

10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aWc）,且a-b+c=0,a>0.下列四个结论，正确的有

（）个.

①抛物线与x轴一定有两个交点；

②当尤>-1时，y随x的增大而增大；

③若a+6=0,则不等式a?+fe+c<0的解集是-l<x<2；

④一元二次方程a（x-2）2+6x=2x-c有一■个根x=l.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断①；根据二次函数的增减性判断②；根据抛物线y=

在x轴下方的部分对应的尤的取值范围判断③；若④成立，则a+b+c=2,判断现有条件能否

得出这一结论即可.

【解答】解：：a-6+c=0,

••bQ+C,

令y=0,得力+女+―。，

/.△=序-4ac=(。+。)2-4ac=(a-c)2,

•“Wc,

A=(a-c)2>0,

...a，+bx+c=o有两个不相等的实数根，

，抛物线y=ar+bx+c与x轴一定有两个交点，

故①正确；

a-b+c=Q,

，抛物线丁=〃/+人工+。与％轴交于(-1,0)点，

V«x2+Z?x+c=0两根之积为一，

a

：.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(-泉0),

V«>0,

，抛物线开口向上，

...若—1>—2则当x>-l时，y随x的增大而增大，

•••不能比较-1与/的大小，

，不能得出结论②，

故②错误；

Va-^-b=0,

・・〃=-bi

抛物线的对称轴为直线X=---黑另，

Zu-ZDZ

V2x1-(-1)=2,

...抛物线与x轴的另一个交点为(2,0),

，抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分对应的x的取值范围为-l<x<2,

，不等式以2+8+。<0的解集是-l<x<2,

故③正确；

若一元二次方程a(x-2)2+6x=2x-c有一个根x=l,

贝I]a(1-2)2+6=2-c,即a+b+c=2,

现有条件不得能出a+b+c=2,

故④错误；

综上可知，正确的有①③，共2个，

故选：B.

【点评】本题考查二次函数与不等式（组），抛物线与尤轴的交点，解题的关键是熟练应用数形结合思

想.

二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）

11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是无29.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：,.”-920,

；.x29.

故答案为：x29.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

12.分解因式：/+2x+l=（x+1）2.

【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的

积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解.

【解答】解：f+2x+l=（x+l）2.

故答案为：（x+1）2.

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键.

（1）三项式；

（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；

（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）.

13.如图，点C、。分别在的半径。4、OB的延长线上，且。4=6,AC=4,CD平行于AB,并与A8

1

相交于两点.若则的长为逐

MNtan/Cz=,CN—4+—4.

【分析】过。作OFLCZ）于尸，交于E,连接OM,根据解直角三角形和勾股定理求出OE、AE,

根据相似得出比例式，求出CF、OF,根据勾股定理求出FM,即可求出答案.

【解答】解：过。作。口LC。于R交A3于连接0M,

'：AB//CD,

：.OE±ABfZOAB=ZC,

1

VtanZC=2，

1OF

tanAOAB=

设OE=x,AE=2x,

在Rtz\OEA中，由勾股定理得：62=/+(2x)2,

解得；x=誓，

HillCZ76底47712若

则0E=-g-,AE=—g—,

*：AB//CD,

:•△OAEs^OCF,

.AEOAOE

"CF~OC~OF'

12^56V5

._6_~

CF~6+4―OF'

ACF=4V5,OF=2^5

在RtZ\OM尸中，由勾股定理得：MF=Ie2-(2V5)2=4,

•：OFLCD,。尸过O,

:.NF=MF=4,

：.CN=CF+NF=4近+4,

故答案为：4V5+4.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，题目是一

道比较好的题目，但是有一定的难度.

113ab1

14.定义新运算：a㊉61若a㊉(-6)=3,则-----的值是—2.

ab2a-2b~2—

【分析】根据a㊉b=[+本a®(-6)=3,可以得到。6和b-。的关系，然后将所求式子变形，再

计算即可.

11

【解答】解：㊉b=(+小«©(-&)=3,

11

=3,

••a+工

b-a

=3,

ab

••34。=。

3ab

2a-2b

b-a

2(a—b)

故答案为：-子

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

15.如图，一段东西向的限速公路长500米，在此公路的南面有一监测点P,从监测点尸观察，限速

公路MN的端点M在监测点尸的北偏西60°方向，端点N在监测点尸的东北方向，那么监测点P到限

速公路MN的距离是（250B一250）米（结果保留根号）.

MN

PI

【分析】过点P作用，MN于点A,则N%M=NB4N=90°,设B4=x米，证△BIN是等腰直角三角

形，得乂4=出=苫米，再由锐角三角函数定义得MA=每：米，然后由求出x=250V3-250,

即可得出结论.

【解答】解：如图，过点P作B4LMN于点A,

则/唐M=/B4N=90°,

设PA=x米，

由题意可知，ZME4=60°,Z7VB4=45°,

...△B4N是等腰直角三角形,

'.NA—PA—x米，

,/tanZA7M==tan60°=V3

：.MA=^PA=（米），

'：MA+NA^MN^50Q,

/.V3x+x=500,

解得：尤=250^-250,

即监测点P到限速公路MN的距离是（250V3-250）米，

故答案为：（250V3-250）.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

16.已知二次函数>=苏+6尤+°（°<0）图象的对称轴为直线x=3该二次函数图象上存在两点A（尤1,yi）,

B（X2,券），若对于1<XI<2<X2<3,始终有yi<”，则，的取值范围是后2.5.

【分析】。<0,根据离对称轴越近的点的纵坐标越大，1<XI<2<X2<3,始终有yi<”，所以|3-t|W|f

-2|,解不等式，可求f的取值范围.

【解答】解：a<0,1<X1<2<X2<3,始终有yi<*,

.力-3|W|f-2|,

①当f23时，

t~3Wf-2,

...当f23时，|f-3|W|f-2|,始终有yi<”.

②当2Wf<3时，

3-tWf-2

.,心2.5,

...当2.5Wf<3时，|t-3|W|L2|,始终有

③当f<2时，

3-/W2-t,

；.3<2,

3|W|r-2|不成立.

所以a<0,1<XI<2<X2<3,始终有尹<”,则/22.5.

故答案为：r22.5.

【点评】本题考查了二次函数的增减性.关键是掌握a<0,图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大.

三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足%※丁=孙+1.

(1)求(-2)派4的值；

(2)求(1X4)※(-2)的值；

(3)探索〃※(b+c)+1与。※/?+〃※。的关系，并用等式把它们表达出来.

【分析】(1)将％=2、y=4代入x*y=盯+1计算即可；

(2)将x=14、y=-2代入%*y=孙+1计算即可；

(3)先计算出。*(A+c)=ab+ac+l,〃*/?+〃*c=〃Z?+〃c+2,继而得出答案.

【解答】解：(1)(-2)※4=(-2)义4+1=-8+1=-7；

(2)(1X4)※(-2)

=(1X4+1)※(-2)

=5派(-2)

=5X(-2)+1

=-10+1

=-9；

(3)(b+c)+l=〃*0+a*c,

Va*(Z?+c)

=a(b+c)+1

—ab+〃c+1,

a^b+a^c

=ab+1+ac+1

—a0+〃c+2,

「•a*(/?+c)+l=a*A+a*c.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则.

18.某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并

将得分情况绘制成如下统计图(如图，部分信息未给出).

所抽取学生“1000米跑步”

测磁绩的频数分布直方图

6分7分8分9分10分成绩（分）

由图中给出的信息解答下列问题:

（1）抽取学生的总人数为50A,并补全频数分布直方图;

（2）如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上

的人数;

（3）根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建

议.

【分析】（1）用8分的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出7分的人数，补全条形图即可;

（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；

（3）根据统计图，提出建议即可.

【解答】解：（1）抽取学生的总人数为20・40%=50（人）；

，7分的人数为：50-4-20-12-6=8,补全条形图如图：

所抽取学生“1000米跑步”

测磁绩的频数分布直方图

(2)1200=432(人)；

.•.根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数为432人；

(3)由统计图可知，8分段的人数最多，建议学校加强初一学生“1000米跑步”的练习，提升学生的

成绩(合理即可).

【点评】本题考查条形图与扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键.

19.如图1,广场上有一盏高为9机的路灯AO,把灯。看作一个点光源，身高1.5机的女孩站在离路灯5机

的点8处.图2为示意图，其中AOL4O于点A,CB_LA。于点8,点。，C,。在一条直线上，已知

OA=9m,AB=5m,CB=1.5m,

(1)求女孩的影子2。的长.

(2)若女孩以5根为半径绕着路灯顺时针走一圈(回到起点)，求人影扫过的图形的面积.(豆取3.14)

【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案.

(2)根据圆的面积公式即可得到结论.

【解答】解：(1)'：BC±AD,AO±AD,

J.BC//AO,

.BCBD

••~,

AOAD

.1.5BD

•.=_9

9BD+5

：.BD=\,

答:女孩的影子BD的长为1米；

(2),・,女孩以5根为半径绕着路灯顺时针走一圈(回到起点)，

・••人影扫过的图形的面积62TI-52TI=11TI.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键.

一”

20.如图，反比例函数y=彳。＜0)与一次函数y=-2x+m的图象交于点A(-1,4),轴于点

分别交反比例函数与一次函数的图象于点3,C.

(1)求左与机的值.

(2)当OD=1时，

①求线段BC的长；

②点尸为反比例函数y=5。V0)图象上一动点，若△P2C面积为，，直接写出尸点坐标：_(—8,》更

【分析】(1)将A(-1,4),分别代入y=py=-2x+m,计算求解可得k,m,进而可得函数表达式;

(2)①由题意知，B,。的纵坐标为1.将y=l代入y=-*y=-21+2,求5,。的横坐标，然后求

A1949

线段长度即可；②设P(a,-勺，则:；x：；x|---1|=、，计算求解，然后作答即可.

a22a8

【解答】解：(1)将A(-1,4)代入y=(得，4=等，

解得，k=-4,

将A(-1,4)代入y=-2x+m得,4=-2X(-1)+m,

解得，m=2,

，反比例函数为y=-p一次函数为y=-2x+2；

(2)①・・・5C，y于点，

・・・8C〃x轴.

9

：OD=lf

：.B,C的纵坐标为1.

将y=l代入y=一］得,1=一*

解得，x=-4,

：.B(-4,1)；

将y=1代入y=-2x+2得，1=-2x+2,

解得，％=

1

・,.出，i),

19

:・BC=2—(-4)=2；

②解：设P(a,—》，

9

-

8

o

解得，a=-S或a=-于

1QQ

•'•P点坐标为(—8,2)或(一可，2)・

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综

合.熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键.

21.如图，四边形ABCQ中，AB//CD,尸为AB上一点，。尸与AC交于点E,DE=FE.

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若CD=2同,BC=6CE=12,BCLAC,求BE的长.

【分析】(1)由AB〃C£>,得NEDC=NEFA,ZECD=ZEAF,[fffDE=FE,可根据“44S”证明△£(7£)

^△£AF,得CD=AF,即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ART。是

平行四边形；

(2)由BC=6CE=12,得CE=2,由平行四边形的性质得AE=C£=2,AF=CD=2y/10,所以AC=4,

由勾股定理求得AB=y/AC2+BC2=4同，则BF=AB-AF=2V10.

【解答】(1)证明：：人夕〃。，

：.ZEDC=ZEFA,ZECD=ZEAF,

在△£(?£)和△EAF中，

Z.EDC=/.EFA

乙ECD=LEAF,

DE=FE

:.AECDmAEAF(A45),

：.CD^AF,

•：CD//AF,CD=AF,

四边形AFCD是平行四边形.

(2)解：'：BC=6CE=12,

：.CE=2,

•：四边形AFC。是平行四边形，

:.AE=CE=2,AP=C£)=2"U,

：.AC=2AE=4,

\'BC±AC,

：.ZACB=90°,

：.AB=>JAC2+BC2=V42+122=4V10,

：.BF=AB-AF=4V10-2V10=2V10,

.♦.BE的长是2aU.

【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理

等知识，证明△ECD四△耳!/是解题的关键.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/-

(1)求抛物线的顶点坐标(用含f的代数式表示)；

(2)点尸(xi,ji),Q(尤2,”)在抛物线上，其中L2<肛<注1,X2=l-t.

①若yi的最小值是-2,求”的值；

②若对于xi,xi,都有yi<y2,求f的取值范围.

【分析】(1)将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；

(2)①先确定出当x=f时，yi的最小值为f,进而求出f,再判断出当x=f+2时，yi取最大值，即可求

出答案；

②先由yi<y2得出(%2-xi)(x2+xi-2?)>0,最后分两种情况，利用r-2WxiWf+l,X2=l-t,即可

求出答案.

【解答】解：(1)''y=J?-2tx+P-t=(x-t)2-t,

抛物线的顶点坐标为(f,-r)；

(2)①•.,y=_r2-2tr+P-t=(x-Z)2-t,

...抛物线的对称轴为犬=/,

Vl>0,

抛物线开口向上，

■:t-2WxiWf+l,

当x=f时，yi的最小值为-3

Vji的最小值是-2,

••/=2,

\-t=-1,抛物线表达式为y=W-4x+2,

.'.y2=l2-4X(-1)+2=7；

②•点尸(xi,yi),Q(工2,y2)在抛物线>=(x-z)2-r_b,

22

.•・yi=(xi-r)-tfy2=(x2-t)-t,

・・•对于xi,xi,都有yi〈y2,

.,.^2-yi—(X2-r)2-t-(XI-z)2+t=(X2-t)2-(XI-z)2=(X2-XI)(X2+X1-2t)>0,

.卜2-久1>0或竹-乂1<0

l%2+%i—2t>0l%2+%i-<0

I、当『一%>°时，

1%2+%i-2t>0

Vx2-XI>0,

.*.X2>X1,

Vr-2<xi<r+l,x2=l-1,

Al-

・・・后0,

*.*x2+xi—2f>0,

.*.x2+xi>2r,

Vz-2<xi<r+l,x2=l-1,

-1<X2+X1<2,

：.2W-1,

・••仁一审

i

即t<-2；

II、当事一久】<0时，

1%2+%i-2t<0

由X2-XIV0得：X2<X1,

Vr-2<xi<r+l,x2=l-1,

1-tWt-2,

I,

由x2+xi-2r<0知，x2+xi<2r,

Vr-2<xi<r+L&=1一

-1<X2+X1<2,

・・・2/22,

即t>

即满足条件的t的取值范围为t<-4或t>f.

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是

解本题的关键.

23.在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究.

【特例分析】

(1)如图1,等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB,将MB绕点M逆时针旋转,

AM

旋转角为等边三角形顶角NA4C的度数，得到线段MN,连接3N,CN,则嬴的值为1,ZMCN

的度数为60°

【变形探究】

(2)如图2,等腰直角三角形ABC中，AB=AC,点M为射线CA上一个动点，连接MB,将MB绕点

M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角N54C的度数，得到线段MN,连接8N,CN,则翳的值与

NMCN的度数是否变化？请说明理由;

【拓展延伸】

(3)如图3,等腰三角形ABC中，ZBAC=120°,A8=AC,点M为射线CA上一个动点，连接MB,

将"8绕点/逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角的度数，得到线段MN,连接BN,CN.若

AB=8,BM=1,请直接写出点N到AC的距离.

图1图3

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC,/A8C=NBAC=NACB=60°,求得/BAM=120°,

根据旋转的性质得到NBMN=NBAC=60°,推出是等边三角形，得到3河=8M

NMBN=60°,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论;

(2)根据等腰直角三角形的性质得到NABC=NACB=45°,求得/8AM=90°,根据旋转的性质得

到BM=MN,NBMN=90°,求得NMBN=NMNB=45°,根据全等三角形的性质得到NMAB=/BCN,

AMABV2

求得/MCN=45°；

CNBC

(3)过A作A8_LBC于H,根据等边三角形的性质得到/ABC=/AC3=30°,ZBAM=60°,BH=^-AB

=4百，求得8。=8旧，根据旋转的性质得到/BMN=12。°，求得/MBN=/MNB=30°,

AMABV3

根据相似三角形的性质得到一=一=一，NBAM=/BCN=60：过M作过N作NE_L

CNBC3

AC于设AM=V5X,CN=3X,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)・・・△ABC是等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

：.ZBAM=120°,

・・,将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角ZBAC的度数，

；.MB=MN,ZBMN=ZBAC=60°,

・•・△5MN是等边三角形，

:.BM=BN,ZMBN=60°,

・•・/ABM=NCBN,

:•△ABM沿MBN(SAS),

:・AM=CN,ZBAM=ZBCN=18Q°-ZBAC=1SQ°-60°=120°,

AZMCN=120°-ZABC=120°-60°=60°；

AM

---=],

CN

故答案为：1,60。；

一、AMV2

(2)变化，一二一，/MCN=A5°；

CN2

理由：*：AB=AC,NA4c=90°,

AZABC=ZACB=45°,

：.ZBAM=90°,

・・,将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角ZBAC的度数,

：.BM=MN,ZBMN=90°,

：・NMBN=NMNB=45°,

NABM=NCBN,

BM_AB_四

BN-BC-2'

AABMs^CBN,

AMABV2

ZMAB=ZBCN,

CN-BC-2

ZMCN=45°；

(3)过A作A〃_L5C于H,

VZBAC=120°,AB=AC=8f

：.ZABC=ZACB=30°,ZBAM=60°,BH=*B=4®

ABC=8V3,

•・,将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角N3AC的度数,

：・BM=MN,ZBMN=120°,

ZMBN=ZMNB=30°,

,:BM=1,

同理得3N=7百，

/MBN=/ABC/BMN=NBAC,

：.NMBA=NCBN,

，八MBNSAABC,

eBMABV3

••BN-BC一3'

・•・△ABMsMBN,

AMABV3

----=—=—,NBAM=/BCN=60°,

CNBC3

过M作过N作NE_LAC于E,

设CN=3X,

'：ZMAB=60°,

AF=AM=堂x,FM=^-AM=卓Xy/3x=

乙