2025年中考数学二轮总复习：简单几何证明与计算

微专题38简单几何证明与计算

类型一与三角形有关的证明与计算

1.如图，已知△ABC是锐角三角形，过点A作ADL3C于点。，延长。4至点E,使DE=

BC,点R在边AC上，连接DEEF,使NCDR=NA4D,ED=AA求证：FE=AC.

第1题图

2.（2024浙江）如图，在△ABC中，AD±BC,AE是3C边上的中线，AB=10,AD=6,tan

ZACB=1.

(1)求3c的长；

(2)求sinND4E的值.

3.如图，ZkABC是等腰直角三角形，AB=AC,点D,E,R分别在A3,3CAC边上，DELDR

ZDEF=45°.

第3题图

(1)求证：XBDEsXCEF；

(2)若AD=1,AF=2,求EC的长.

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类型二与四边形有关的证明与计算(2021.23)

考向1与图形性质有关

1.如图，在正方形A3CD的外侧，以CD边为腰作等腰△CDE,使得DE=CD,连接AE.

(1)求证：NDAE=NDEA；

(2)若DE=4,ZCDE=3Q°,求ND4E的度数和△ADE的周长.

第1题图

2.(2024东莞一模)如图，在平行四边形A3CD中，E为DC边上一点，ZEAB=ZEBC.

(1)求证：AABEs^BEC；

(2)若A3=4,DE=3,求3E的长.

第2题图

3.如图，在△ABC中，。是A3上一点，DE垂直平分AC,交AC于点E,过点。作CR〃A3,

交DE的延长线于点E连接CD,AF,BE.

(1)求证：四边形AZXT是菱形；

(2)若NA3C=90°,BE=5,BC=6,求△3DC的面积.

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第3题图

考向2与图形变化有关(2021.23)

1.如图，将矩形A3CD沿对角线3。折叠，。为点C的对应点，C5与AD交于点E

(1)求证：BE=DE；

(2)若BE=2EC,求ND3C的度数.

第1题图

2.(2024梅州模拟)如图，在正方形A3CD内有一点P,且PA=3,PB=2,PC=1.将线段

3P绕点3逆时针旋转90°得到线段3P，，连接APIPP'；

(1)求证：△P3C2△PB4；

(2)求N3PC的度数.

3.在正方形ABCD中，3。为对角线，点E在3。上(不与点3,。重合)，作点E关于直

线A3的对称点R连接DR且G为。歹的中点，连接AG,EG.

(1)若DF平分/ADB,求证：EGLDF；

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(2)若DE=4,求线段AG的长.

第3题图

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类型一与三角形有关的证明与计算

1.证明："JADLBC,

：.ZABD+ZBAD=90°,ZADF+ZCDF=9Q°,

■:NCDF=/BAD,

：.ZABD=ZADF,

在△43。和4阳E中，

'AB=FD

•回ZBCFFDE,

、BC=DE

.*.△ABC^AFDE(SAS),

：.FE=AC.

2.解:(iy：AD±BC,28=10,AD=6,

由勾股定理，得BD=JAB2-AD2=8,

VtanZACB=l,

：.CD=AD=6,

.*.BC=BD+CD=8+6=14；

(2)：AE是3c边上的中线，

：.BE=CE=1,

：.DE=BD-BE=1,

在RtZkADE中，由勾股定理，得AE=AD2+DE2=V37,

3.(1)证明：'：AB=AC,ZA=90°,

：.ZB=ZACB=45°,

ZBDE+ZBED=180°-ZB=135°,

VZDEF=45°,

：./BED+/CEF=180°—/DEF=135°,

ZBDE=ZCEF,

：.ABDES"EF；

(2)解：如解图，过点E作EHLAB,垂足为点H,

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'：DE±DF,：.ZEDF=90°,

VZDEF=45°,：.DE=DF,

"：ZADF+ZEDB=9Q°,ZADF+ZAFD=90°,

ZAFD=ZEDB,

VZA=ZEHD=9Q°,

:.XADF空丛HED,

：.AD=EH=1,AF=DH=2,

VZBHE=9Q°,ZB=45°,

：.BH=HE=1,：.BE=42BH=V2,AB=AD+DH+HB=4,

VBC=V2AB=4V2,

：.EC=BC-BE=3y[2.

RECG

第3题解图

类型二与四边形有关的证明与计算

考向1与图形性质有关

1.(1)证明：四边形A3CD是正方形，

：.AD=CD,

,:DE=CD,

：.AD=DE,

：.NDAE=/DEA；

(2)解：如解图，过点。作D7UAE于点R

,••四边形ABCD是正方形，

AZADC=90°,

ZADE=ZADC+ZCDE=120°,

由(1)知，ZDAE=ZDEA,AD=DE=4,

：.ZDAE=ZDEA=30°,

AF=yAD=2V3,AF=EF,

：.AE=2AF=443,

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△ADE的周长=AD+DE+AE=8+4g.

第1题解图

2.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形,

：.AB//CD,：.ZABE=ZBEC,

又〈/EAB=/EBC,

:.AABEsABEC；

(2)解：•.•四边形A3CD是平行四边形，

：.DC=AB=4,

'：DE=3,

：.CE=1,

由(1)知△ABEs△BEC,

•・•-AB---B-E,

BEEC

：.BE2=ABCE=4X1=4,

，3£=2(负值已舍去).

3.(1)证明：•.•£>£垂直平分AC,

：.AE=CE,ZAED=ZCEF=9Q°,

'JCF//AB,

：.ZDAE=ZFCE,

在△人石力和^CEP中，

^DAE=0FCE

•AE=CE,

^AED=HCEF

.*.△AED^ACEF(ASA),

：.DE=FE,

・••四边形ADCF是平行四边形，

'JDELAC,

四边形AZXT是菱形；

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(2)解：VZABC=90°,E是AC的中点，

：.AE=CE=BE=5,：.AC=10,

在RtZkABC中，AB=JAC2-BC2=J102-62=8,

由(1)知，四边形ADCR是菱形，

：.AD=CD,

设则AD=CD=8—x,

在RtACDB中，CD1=BD1+CB1,

即(8一%)2=*2+62,

解得=即

X-4J4BD=-,

：

.S^BDC=-2BD-BC=2-X4-X6=—4.

考向2与图形变化有关

1.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZCBD=ZADB,

由折叠的性质得，ZCBD=ZC'BD,

：.ZDBE=ZADB,

:.BE=DE；

(2)解：,:BE=DE,BE=2EC,

：.DE=2EC.

・••四边形ABCD是矩形，

AZBCD=9Q°,

由折叠的性质得，ZDC'E=ZBCD=90°,

：在。中，

.RtADEsmZEDC'=—DE=-2,

AZEDC-30°,AZDEC-60°,/.ZBED=12Q°,

•：BE=DE,：.ZDBC=ZDBE=|(180°-ZBED)=30°.

2.(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，线段3尸绕点5逆时针旋转90°得到线段5P,

：.BA=BC,ZABC=9Q°,BP=BP',ZP'BP=9Q°,

/.ZP/BA+ZABP=ZABP+ZPBC,

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：.ZP'BA=ZPBC,

在^PBC^AP'BA中，

(BP=BP'

l^PBC=^P'BA,

(BC=BA

PBC乡△PB4(SAS)；

(2)解：由(1)知，△PBC^AP'BA,

'：PA=3,PB=2,PC=1,

：.P'A=PC=1,PP,=V2PB=2V2,

：.P'A2+P'P2=l-\-S=32=PA2,

：.ZAP'P=9Q°,

,:BP=BP',"BP=90°,

AZBP'P=45°,

：.ZBPC=ZAP'B=ZAP'P+ZBP'P=900+45°=135°.

3.(1)证明：如解图，连接ER交AB于点H,由对称的性质，得EF