八年级数学下册《分式与分式方程》专项练习

专题5.4分式与分式方程

1.（23-24八年级下.全国.课后作业）在①？b==ab，②？b=称bz③？b=詈be，④?b=b»（-l-吟mz）中,从左到右的变形

正确的是（）

A.①②B.②④C.③④D.①②③④

【思路点拨】

此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为。的整式，分式的值不变，熟

练掌握分式的基本性质是解题的关键.根据分式的基本性质依次判断即可.

【解题过程】

解:①当a70时，才有？=与，

bab

故该变形错误；

②•••分式初8力0,

b

.a_ab

•6=拓'

故该变形正确；

③当C不。时，才有1=

bbe

故该变形错误；

@V-1-m2<0,

•••—1—m20

,a_a（-l-m2）

9'b~b（-l-m2y

故该变形正确；

综上，正确的有②④.

故选:B

2.（23-24八年级下•河南鹤壁•期中）若乃y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A.—B.C.D.名

x-yxz（x-y）z2xz

【思路点拨】

本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可.

【解题过程】

解：A、言;。言，故A不符合题意；

B、篝=熊美，故B不符合题意；

c、言等=卷券=号,选项C符合题意；

＞翳=寿？=翳。翳故口不符合题意;

故选：C.

3.(23-24八年级下.山西临汾.期中)当竺=；时，代数式+)x(^2—声)的值为()

n3\mz-mnm^+mnj

A.-6B.6C.-12D.12

【思路点拨】

此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算,

整体代入即可得答案.

【解题过程】

解：(一一+J—)X(m2-n2)

\m£-mnm£+mn/

/21\

=-7---------H-----7---------x(m4-n)(m—ri)

\m(m—n)m(m+n)J

21

=------------rx(m+n)(m—n)4----；--------rx(m+n)(m—n)

m(m—n)m(m+n)

2m+2nm—n

=-------------1----------

mm

3m+n

m

3mn

=-----1—

mm

n

=3+—

m

..m_1

•—二，

n3

,n

>.—=3o

m

原式=3+3=6

故选：B

4-(2024•山东・一模)已知£+看=清黑，则4B的值分别为()

A.3,-15B.-15,3C.-3,15D.15,-3

【思路点拨】

本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，

得到关于B的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于4、B的方程组是解

题的关键.

【解题过程】

角刀・・4+3_-3)।3(%-2)_-3)+3(%-2)_(/+3)%-(34+6)

X—2X—3(X—2)(X—3)(X—2)(%—3)(X—2)(%—3)(%—2)(%—3)

丁一7・・436x+B

乂,----1-----------T---------77-------

X—2X—3(X—2)(%—3)

・04+3)%-(3幺+6)_6X+B

(X—2)(%—3)(X—2)(%—3)

.(4+3=6

•,(-(3Z+6)=8，

解得：KU5,

故选：A.

5.(23-24八年级下.山西晋城.阶段练习)已知关于x的分式方程2-｝的解为正数，贝心的取值范围

x-55-x

是()

A.k>—9B.kV—9

C.fc>一9且kW6D.fc>6且kW9

【思路点拨】

解分式方程==2-白，根据“解为正数”得到等>0,解不等式，求出k范围，令X-5H0,求出增根,

x-55-x3

进而求出对应的k的值，即可求解，

本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根.

【解题过程】

解：彳=2—六

x-55-x

去分母,得：k—1=2(x—5)+x,

解得：％二等，

•・•解为正数，

•••x>0,

解得：k>—9,

％—5W0,

・，・％W5,

3

1•k丰6,

・•.k的取值范围是k>一9且kW6,

故选：C.

6.(22-23八年级上•湖北武汉・期末)已知/一3%+1=0,则炉一5尤+尚的值为()

A.4B.5C.±4D.±5

【思路点拨】

将一一3%+1=0,进行变形得到：%2=3%—1,x2—3x=—1,%+工=3,利用整体思想，将炉—5汽+与

XX2

变形为：(x+》2-4,再代值计算即可.

【解题过程】

解：VX2-3%+1=0,

Ax2=3x—1,x2—3x=—1,

—Sx4—-=x(x^—5)H--

X2X2

1

=x(3x—1—5)d——

X乙

1

=3x27—6%+—=■

1

=2x72—6%+7%2+f

X乙

1

=2(x2—3%)+/+r

xz

1

=­2+x29+—

心

=u

=(尤+y_4；

*.*x2—3x+1=0,当％=0时，1H0,方程不成立，

0,

.••方程两边同除以x得：x-3+-=0,

X

・I1D

X

・•.(％+()—4=32—4=5,即：式3—5%+3=5；

故选B.

7.(23-24八年级下•四川宜宾•阶段练习)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为7n(zn>l)的正方形去掉

一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(6-1)的正方形，两块试

验田的小麦都收获了九kg.设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为Pkg/n?和Qkg/n?.则

下列说法正确的是()

A•尸》QB.P=QUP〈QD.P是Q的一倍

【思路点拨】

本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，

再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.先利用平均数的定义得到P=告，QP再计算P-Q

m2-l=T(m-iy

和，，从而可得到正确答案.

【解题过程】

解:根据题意得尸=+，<2=厂上，

m2-l(m-iy

p_0=」------J=啊二A也板=n-----二一

m2-l(?71-1)2(m+l)(?n-l)2(?n+l)(?n-l)2

m>1,

(m+l)(m—l)2>0,

P—QV0,

即P<Q,所以选项C正确；

,P_n.n_n(m-l)2_m-1

Qm2-l(m-1)2(m+l)(7n-l)nm+l，

.♦.P=FQ,所以选项D错误.

故选：C.

8.(22-23七年级下•浙江宁波・期中)已知实数a,b、c满足a+b=ab=c,有下列结论：①若cH0,则

：一：?+：：=--②若a=3,则力+c=6；③若cW0,则(1-a)(l-b)=-+^；④若c=4,则M+b2=

5a+7ab+5b12ab

8.其中正确个数有()个.

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】

根据所给条件，对各项进行变形，利用整体代入、解方程、通分、完全平方式进行计算即可验证.

【解题过程】

解：a+b=ab=c

2a—3ab+2匕2(a+b)-3ab—ccb

二①当c*0时,-2，故①结论正确;

5a+7ab+5b5(a+b)+7ab12ab

②当a=3时，

・•・3+b=3b=c

解得：力=|‘c=(

6+c=|+j=6,故②结论正确；

③,•，(1—。)(1—b)—1—(a+b)+ctb—1—ab+ab=1,

1.1a+b.

a+b=^=1

・•.(1—a)(l—b)=(+],故③结论正确；

④当c=4,

则a+b=ab=4

/+/=g+炉—2ab=42—2x4=8,故④结论正确；

综上所述，正确的结论有4个；

故选：D.

9.(23-24八年级上•江苏南通•阶段练习)若a=3b且a、b为正整数，当分式方程七-七|=1的解为整数

2x+3X-5

时，所有符合条件的b的值和为()

A.277B.240C.272D.256

【思路点拨】

此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键.把a=3b代入方程，再解方程可得

%=若亲=18-含;，且支力-3,XK5；b彳一10,再分类讨论即可得到答案.

匕+10b+102

【解题过程】

解：：三一2=1，a=36,

ZX-r3X~5

.3bb-xd

••=1J

2x+3x~5

两边都乘以(2%+3)(%-5),得

3b(x—5)—(2%+3)(fa-x)=(2%+3)(%—5),

ATIZ|=J18匕-15Yc195r-r3LYc

角牛付%=----=18，且％W—，%W5；bT丰-10,

匕+10匕+102

・18/7-15,3018匕-15_

..-----H——且------H5,

匕+102匕+10

解得：b中弟"5,

•；正整数b使关于％的分式方程七-二=1的解为整数,

2x+3X-5

：.b+10>10,

：.b+10=13或15或39或65或195,

即b=3或5或29或55或185,

其中6=5不符合题意，

.♦.3+29+55+185=272,

故选C.

10.(23-24八年级上.山东泰安・期中)若关于的不等式组|工’意无解，且关于y的分式方程守-1=

%+->—2-y

I22

々有整数解，则满足条件的整数a的值为()

A.2或3B.2或7C.3或7D.2或3或7

【思路点拨】

本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而

解决此题.

【解题过程】

解：解不等式组工；星，得di

、T22

・•・不等式组无解，

「•a—1N1,

a>2,

分式方程式-1=上,

方程的两边同时乘(y-2),

得，ay—5—y+2=3,

整理得，(a—l)y=6,

6

v=—

ci-l

•・•方程有整数解,

a-1=±1或±2或±3或±6,

•••a=2或a=0或a=3或a=—1或a=4或a=—2或a=7或。=—5,

a>2,yW2,

••・aW4,

•••a=2或a=3或a=7,

故选：D.

11.(22-23八年级上•山东淄博・期末)若关于久的分式方程。+笑=三无解，则他的值为

x-2x2-4x+2——

【思路点拨】

分式方程无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解.

【解题过程】

解：(1)芯=一2为原方程的增根，

此时有2(x+2)+瓶尤=5(%-2),即2x(—2+2)-2爪=5x(-2-2),

解得m=10；

(2)x=2为原方程的增根，

此时有2(%+2)+mx=5(%-2),即2X(2+2)+2M=5X(2-2),

解得7H=-4.

(3)方程两边都乘(x+2)(x-2),

得2（x+2）+mx=5（x—2）,

化简得：（m—3）x=—14.

当m=3时，整式方程无解.

综上所述，当m=10或m=-4或m=3时,原方程无解.

故答案为：10或-4或3.

12.（23-24八年级下•江苏无锡•期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且

乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是.

【思路点拨】

本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程.由甲、乙

合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可.

【解题过程】

解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程.

由题意得，10（工+工）="+三，

\xy）xy

.73

・・———，

yx

.x_3

••一=1,

y7

.i.i_y_7

••一■—————，

xyx3

.♦.甲的工作效率与乙的工作效率的比是g

故答案是：I

13.（2023・湖北荆门•一模）已知a>0,Si=」S2=—Si-l,S3=!，S4=—S3-l,S5=!，....即当几为于1

CL02$4

的奇数时，Sn=六；当n为大于1的偶数时，Sn=-Sn^-1.计算S1+S2+S3+…+S2022的结果

^n-1

为.

【思路点拨】

先找到规律工的值每6个一循环,再求出Si+S2+S3+S4+S5+S6--1,由2022=337x6,可得S1+S2+

53+—I-S2022=一1X337=—337.

【解题过程】

解：S]=

a

52=-Si—1=工_1=_业

aa

1a

S3

a+1

S4=f—1=系一11

a+1

S5=1=-(a+1),

S&=-S5-1=(a+1)-1=a.

•••S"的值每6个一循环,

•「Si+S2+S3+S4+S5+$6

11+aa1,、

F-一中-fS+D+a

a

—CLa+1

-----------a+1+a

aa+1

=-1-1+1

72022=337x6,

二•Si+S2+S3+…+S2022=-1x337=-337,

故答案为：-337.

14.(23-24八年级下•江苏扬州•期中)计算：

2x.y.

(1)十；

2x-yy-2x

-m2n-6xy

(2)

3x5mn2，

a+3.a2+3a

(3)

1-aa2—2a+l'

(4)(含-1)-X2+2X+1'

【思路点拨】

本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘除法计算，分式的加法计算:

(1)根据同分母分式减法计算法则求解即可;

(2)根据分式乘法计算法则求解即可；

(3)把除法变成乘法后约分化简即可；

(4)先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可.

【解题过程】

(1)解:工+工

2x-yy-2x

2xy

2x—y2x—y

2x—y

2x-y

=1;

(2)解：W.壬

3x57rmz

2my

=------

5n'

(3)解：—f+3a

1—a2a+l

a+3a(a+3)

1—a(a—1)2

a+3(a—1)2

--------------

1—aa(a+3)

1-Q

=-----•

a'

⑷解：(音T)+缶

2x—x—1x(x—1)

%+1(%+I)2

x—1(x+I)2

%+1%(%—1)

_x+l

X.

15.(23-24八年级下•河南周口•阶段练习)解下列分式方程:

(1)1=上.

x+2X2-4,

(2)-+—+—+—=—

3x15x35%63%x+l

【思路点拨】

此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键:

(1)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1并检验即可求得方程的解.

(2)首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可.解本题的关键在于

充分利用运算规律计算.

【解题过程】

解：(1)去分母，得(x-2)2-(%2-4)=16,

去括号，得/-4%+4-%2+4=16,

移项，得—4x=16—4—4,

合并同类项，得-4%=8,

系数化为1,得丫=-2

检验：当x=—2时，(久+2)(x—2)=0,

二分式方程无解.

(2)-+-^+—+—

3x15x35%63xx+1

11

X,©+2+5+专)X+1

9岛+袅+++专)=/

1(]1111T1

2x\3十35十57十79.X+1

/(1一以=士

181

—•一=-----

2x9x+1

4_1

9xx+11

9%=4%+4,

5x=4,

4

x=?

检验：X=:是原分式方程的解，

原方程的解为x=:

16.(23-24八年级上.重庆九龙坡・期末)先化简，再求值：(2+a-3)+平龙-2，其中。为不等式

\a+3Ja+3a+1

(CL—14—2

组？va1的整数解.

[~2~2~4

【思路点拨】

先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解

一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定a值，最后代入求解即可.

【解题过程】

解：（急+。-3）.a2+2a+la

a+3a+1

8+(a-3)(a+3)(a+l)2a

a+3a+3a+1

—_(_a_+__l_)_(_a__—__1_)____a__+__3__—___a__

a+3(a+1)2a+1

ci—1ci

a+1a+1

=-----1---

a+l'

p-1<-2

I24

解a—1<—2,得，a<—If

解一2<------，得，ct之一3.5,

24

**.-3.5<a<-1,

・••整式解为-3,-2,-1,

•.•。+3工0,a+lHO,

••ciH—3,ciW—1,

/.a=—2,

当@=-2时，原式=—（；=L

17.（23-24八年级下•江苏扬州•阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件.若每天比原计划多

生产50个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.

（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；

（2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线

共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总

数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.

【思路点拨】

（1）设原计划每天生产零件x个,根据相等关系"原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）

个零件所用的时间"可列方程^240001-°,解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入把”即可求

XX

得规定天数;

(2)设原计划安排的工人人数为y人，根据“(5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产

的零件个数)x(规定天数-2)=零件总数24000个阿列方程[5x20x(1+20%)x詈+4000]x(10-

2)=24000,解得y的值即为原计划安排的工人人数.

【解题过程】

(1)解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，

24000_24000+300

xx+50'

解得x=4000,

经检验，％=4000是原方程的根，且符合题意.

规定的天数为24000+4000=6(天).

答：原计划每天生产零件4000个，规定的天数是6天；

(2)设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，

[5X20X(1+20%)X罗+4000]X(6-2)=24000,

解得，y=240.

经检验，y=240是原方程的根，且符合题意.

答：原计划安排的工人人数为240人.

18.(23-24八年级下.福建泉州.期中)若4=痣.(1-含).

(1)化简A；

(2)若b=a+2,且622,求A的最小值；

(3)若a,b为正整数，且8=吧，当A,2均为正整数时，求a—6的值.

2a+3

【思路点拨】

(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；

(2)把匕=。+2代入A,得到4=1--，再根据b22得到a+323,然后即可求解；

a+3

(3)由题思可得/-B<3,根据A,3均为正整数，可得〃，。的值，再根据A,3均为正整数即可求解.

【解题过程】

(1)解：原式=(a+】)(aT)1

b+1a+l

a—1

b+1

⑵解：由⑴得：a=E

.a-1a+3-4

把b=a+2代入得:A=—=1一・

a+3a+3

•:b>2

a>0

:・a+323

・4,4

••—s-

a+33

・14、q41

••1---------NJ.-------

a+333

**«A的最小值为—1；

（3）VA,2均为正整数

..门a-16b+4a-16匕+6a-16(匕+1)_3

..A'B=------<-------

Z7+l2a+3Z?+l2a—2Z)+l2(a-l)一

当=1时,

/a-1t11

----=1a=一

器J解得:4

-----=1

、2a+3

当儿8=2时

a-1'a—1日

1--二

b+12,a=8

2或墨=1，解得：｛:或

6b+4b=5b=-

2a+3、2a+3

经检验，是原方程的解

•：a,6为正整数,

.(a=7

F=5

a—6=7—5=2

19.（23-24八年级上.山东烟台•期中）用数学的眼光观察:

21

同学们，在学习中，你会发现'+»与%-%有着紧密的联系，请你认真观察等式：（x+-2

=X+2+—2,

XXX.x

21

x-=x2—2+—.

9xz

用数学的思维思考并解决如下问题:

(a+»(a-J

（1）填空:

（2）计算:

2

①若(a+，)=20,求a—1的值；

②若M+a—1=0,求aH—的值；

a

③已知用一a=1,求用+a的值.

【思路点拨】

本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式

(a±b)2=a2±2ab+b2.

(1)根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；

(2)①先利用完全平方公式变形求出(a—=16,然后求出a—(的值即可；

②先将a?+1=0两边都除以a,得。一工=一1,然后求出缶+工丫=5,再求出结果即可；

a\aJ

③分两种情况：当工>0时，当工<0时，求出结果即可.

aa

【解题过程】

(1)解：(a+£f_(a_£)2

=af+2-(。2-2+3

11

=4+2---a2+2H--

az

=4；

故答案为：4.

(2)解：@V(a-i)2=(a+^)2-4=20-4=16,

•**CL—=±4.

a-

②将a?+a-l=0两边都除以a,得a-工=-1.

a

，(a+£)2=("£)2+4=(T)2+4=5，

a+-=+V5»

a-

③当—>0时，此时a>0,贝||一|一CL——a=l,得a———1,

alaiaa

(a+，)=(。-5)+4=(—l)2+4=5,

a+-=+V5.

a-

*.*a>0,

CLd—=V5;

a

••—+a=—\~CL=

lala

当工VO时，此时Q<0,则目一a二—工一Q=l,得a+^=—1,

alalaa

*.*（a—5）=（"+，）—4=（-l）2—4=—3<0,故舍去，

综上，9+a的值为

20.（23-24八年级下.江苏盐城・期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”.人们常

用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.

（1）若〃克糖水中含b克糖（a>b>O）,则该糖水的甜度为乂若再加入加克（机>0）糖，此时糖水的

a

甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.

由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含。、6、机的式子表示）

请用分式的相关知识验证所得不等式；

【数学思考】（2）若6>a>0,m>0,（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子.

【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为次、v2,水

流速度为％（%〉畛>q）>0），两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为h、t2,

请利用（1）（2）中探究的结论，比较匕、t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由.

【思路点拨】

（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较也与2的大小即可；

a+ma

（2）利用作差法比较也与2的大小即可；

a+ma

（3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可.

【解题过程】

解:（1）:。克糖水中含。克糖（a>b>0）,则该糖水的甜度为匕

a

...再加入，"克（小>0）糖，此时糖水的甜度为竺”，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.

a+m

..b+mb

*a+ma

ab+amab+bm

a(a+m)a(a+m)

m(a-b')

——~7，

a(a+m)

*.*a>Z)>0,m>0,

a—Z)>0,m(a—h)>0,a(a+m)>0,

a(a+m)

・b+7nb

••------>)

a+ma

••・由此我们可以得到一个不等式寒w

b+mb

故答案为：T---->—

a+ma

(2)(1)中的不等式不成立，正确式子为：—理由如下:

a+ma

・,b+mb

*a+ma

ab+amab+bm

a(a+m)a(a+m)

m(a-b')

——~7，

a(a+m)

*.*Z)>a>0,m>0,

a—Z)<0,m(a—h)<0,a(a+m)>0,

a(a+m)

.b+mb

••右

(3)当甲、乙两船返航时为逆流航行时,

•.飞(%>v2>v0>0),

/.V-L—v0>0,v2—v0>0,

由(2)得…<也，S>a

v

V2+VQV2b2fo2

・%+%<%

，

**V2+VOv2-v0

.%+%v丹+笠0

•・内一%V2-VQ

..._%+%._V+V

•tl—，t?一20,

Vi-v0v2-v0

ti<t2>甲船先返回A港,

当甲、乙两船返航时为顺流航行时,

vVoCVi>v2>v0>0),

/.-v0>0,v2—VQ>0,

由（1）得"〉生，3<丝,

V1+VO%V1-VOVi

・艺+%>〃2fo

,,也+为V1-VQ

・0>为一孙

‘%1+1;0V2+V0

…_V1-VO十_一%

•Li——,一

%+%v2+v0

ti>t2,乙船先返回A港,

综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，h<t2,甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时,

ti>t2,乙船先返回A港.

21.（23-24八年级上.湖南长沙•阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即4-则

称分式B是分式A的“可存异分式，，如左与因为a一__1—1__11—1•所以全

x+2.__(%+1)(%+2)'x+1__x+2__(%+1)(%+2)

是W的“可存异分式”•

(1)填空：分式圭-.分式土的，，可存异分式，，（填，，是，，或，，不是，;）

(2)分式士的，，可存异分式，，是

已知分式筌|是分式A的“可存异分式”.

①求分式A的表达式;

②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值;

（4）若关于x的分式嬴事是关于x的分式品的“可存异分式”,求6n2+I9n+534的值.

【思路点拨】

（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可;

⑵设士的“可存异分式”为N，根据定义得出=利用分式混合运算法则求出N即可;

（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可;

②根据整除的定义进行求解即可;

（4）设关于x的分式品的“可存异分式，，为M求出M=m-1,根据关于》的分式看已是关于“的

m-1+mx+n2

11

m1n+2m=

分式号的“可存异分式”，得出］,-=2求出，67,代入求值即可.

—1+mx+九"=mx+m”+nn=

6

【解题过程】

⑴解：•••二——

x+3x+2(x+2)(x+3)

工X」=--,

x+3x+2(x+2)(x+3)

・1111

••------------Hz-----X-----,

x+2x+3x+2x+3

.•.分式名不是分式名的“可存异分式”;

x+2x+3

故答案为：不是.

(2)解：设三的“可存异分式”为N,则三—NnaxN,

x-4x-4x-4

・・・U+1)N=三，

\x-4)x-4

：.N=—^(—+1)

x-4\x-4/

x2%—4

x—4x—4

xx—4

x—42x—4

__X

-2x-4,

故答案为：T~—-

（3）①・・,分式片是分式A的“可存异分式”,

3%4-3

-2-x-+--3=A.x2%+3,

3x+3--------------3x+3

2X+3

・x(i-答I3x+3

2x4-3

3%+3

2%+33%+3—2.x—3

3%+33%+3

2%+33x+3

3%+3x

2X+3

x

②・••整数X使得分式A的值是正整数，4=等=2+%

Ax=1时,A=5,

x=3时，A=3,

x=-3时，A=1,

・•・分式A的值是1,3,5；

(4)解：设关于久的分式品的“可存异分式”为M，则:

m-1..m-1

xM,

・・.M=1)

mx+n^\mx+n^/

m—1mx+n2

=------------------------------------

mx4-n2m—1+mx+n2

m-1

m-l+mx+n2

m-1

二,关于工的分式是关于的分式的“可存异分式”,

Xmx+n2

.(m—1=n+2

**Im—1+mx+n2=mx+m2+n

m—n=3

整理得:

U+n)(m—n)+n—m+l=O

li