北京市西城区2024-2025学年高三年级下册4月统一测试数学试卷（解析版）

西城区高三统一测试试卷

数学

2025.4

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={#2<4,3=卜旭%>0},那么集合43=()

A.(-2,+co)B.(^0,-2)_(1,+oo)

C.(-<»,2)D.(1,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用并集的定义可求得集合AB.

【详解】因为A={X,<4}=(—2,2),3={x|lgx>0}=(l,+"),所以，AOB=(-2,4«).

故选：A.

2.下列函数中，图像关于y轴对称的是()

A.y=(x-1)-B.y=2A

C.y=x4+x2D.y=|lnx|

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.

【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为x=l,A选项错误；

B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；

C选项，因为(―％y+(—%)2=尤4+/，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，C选项正确；

D选项，函数定义域为(0,+"),不是偶函数，D选项错误.

故选：C.

3.在［x2+Z］的展开式中，产的系数等于()

A.6B.12

C.18D.24

【答案】D

【解析】

【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求/的系数.

2

【详解】由题设，二项式展开式通项为(+1=C；(X2)4T(—)r=2「C>8-3r,r=0,1,,4,

令8—3r=2nr=2,则7；=22(2*2=24/,即犬的系数等于24.

故选：D

2

4.在长方形ABCD中，E为的中点，cosZAEB=-,贝UcosNAED二()

3

【答案】B

【解析】

【分析】设NA£B=。，贝ijcos8=2,分析可知NAED=7i—28,利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可

3

求得cosZAED的值.

【详解】设NA£B=6,则COS£=2,如下图所示：

3

因为|AB|=|DC|,忸目=|CE|,ZABE=NDCE=90，所以，AABE%ADCE,

所以，ZDEC=ZAEB=9,故NAED=?i—28,

因此，cosZAED=cos（兀-2。）=-cos23=1—2cos?8=1—2x

故选：B.

5.在平面直角坐标系xOy中，若从点A（0/）发出的光线经过点8（1,0）,且被X轴反射后将圆

C:（x—4『+（y—3『=1平分，则实数/=（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】点A关于X轴的对称点为M（0,T）,分析可知，点、M、B、圆心。（4,3）三点共线，结合心M=kBC

可求得/的值.

点A关于X轴的对称点为M（0,-r）,

由对称性可知，点以、B、圆心。（4,3）三点共线，则程用=限，即将=言，解得f=L

故选：A.

6.设直线机U平面a,平面a1平面，=直线/,则是“机的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定、性质及充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】已知直线mu平面a,平面1、平面，=直线/,

若加上尸，由/u平面夕，则相，/;

若加，/,此时得不到根直线加可能与平面夕相交，如下图:

所以““2，/”是"m±I”的充分不必要条件.

故选：A.

7.已知函数/(x)=sinx+J§cosx.若/(%)=/(%2)，则()

A.\-x2=2kn{kGZ)B.再=2®或石+%2=2E+§•(女£Z)

C.x+x=E+'l■(keZ)

x2D.xl-x2=2E或％]+%2=kn+—^keZ)

【答案】B

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数7(%)的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解.

【详解】因为/(x)=sinx+Gcosx=2sin[x+m；则该函数的最小正周期为2兀,

由x+]=E+'|■(左eZ)可得x=E+《(keZ),

所以，函数〃尤)的对称轴方程为*=析+9(keZ),

6

兀)兀

[左兀+7J=Ikn+—^keZ),

故选：B.

8.已知双曲线三—.Ml的左、右焦点分别为片、F2,若双曲线上存在点尸，使得卢片|=3|「乙|,则

此双曲线的离心率的取值范围是

A.(1,3]B.[3,+s)C.(1,2]D.[2,+00)

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：|「£|=3|「乙|,|「印—|Pg|=2an|P《|=a"—anl<e<2

故选C.

考点：双曲线离心率

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不

等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用

椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

9.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六

边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A3为两个固定顶点，则

PAPB的最大值为()

B.48

C.72D.76

【答案】B

【解析】

【分析】利用坐标法可得PA，B=x2+y2—64,设点P(x,y)到原点的距离为d,则如.依的最大值

为1％-64,利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离

公式即可求解.

【详解】设点P(x,y),正六边形的边长为4,

所以4-8,0),5(8,0),

所以PA=(—8_x,_y),PB=(8—x,_y),

所以=—(8+x)(8—%)+/=/+/—64,

设点P(x,y)到原点的距离为d,则PA.P6的最大值为-64,

由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点,

如图，可取尸（8,4百）,

所以aX—64=|。「『一64=64+48—64=48,

即PAPB的最大值为48.

10.设等比数列｛《,｝的前〃项和为S",前〃项的乘积为7..若勾%<%%<0，则（）

A.S“无最小值，7；无最大值B.S）,有最小值，7；无最大值

c.S”无最小值，7；有最大值D.S“有最小值，7；有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本量法，可求出公比“满足-1<4<0,根据前〃项和与前〃项积的定义进行讨论计算，可

以得出S“有最小值，而7；有最大值.

【详解】由已知，｛4｝是等比数列,44<。2%<°，即。力可得-i<q<o,

若4〉0,则S]=q,可计算当〃23时，S〃_S2="3（l_q"-）=4.（l_q“一）,

1-q1-q

结合—IvqvO,可得--邑>0即S2为小的最小值,

同理，当q<0,。2=。山〉0,当“22,s“_S]=a.Q_q）〉0,可知S”的最小值为S1,

1-q

综上可得，S“有最小值.

由一l<q<0可得，|1<1a„\,

根据等比数列的性质，-l<q<0,必有N满足对于所有〃〉N,

因为7；一定是正负交替出现，可得T,一定存在最大值.

综上，对于满足已知条件的等比数列{q},满足S“有最小值，有最大值.

故选：D

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设i为虚数单位，则上!■=.

2-1

【答案】j3-j1i

【解析】

【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可.

1-i（l-i）（2+i）2+i-2i-i23-i31.

【详角星】----=--------=--------------=-----=------1

"用牛［2-i（2-i）（2+i）22-i2555，

_,31

故答案为：---i.

12.设抛物线。：必=2加的焦点为尸（0,1）,准线为/,则抛物线C上一点A&2）至U/的距离为

【答案】3

【解析】

【分析】先求出P=2,然后得出抛物线准线方程，即可得出答案.

【详解】由题可得5=1,所以。=2,

所以准线/：y=-1,所以C上一点2）到/的距离为2+1=3,

故答案为：3.

13.设平面向量a=（—1,1）,匕=（—2,1）,c=（x,y）,且『=5,则使得向量匕一。与。共线的一组值x=

,y=.

【答案】①.-4（答案不唯一，填3也对）②.3（答案不唯一，第一空填-4,则第二空填3,第

一空填3,则第二空填-4）

【解析】

【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求x,y的关系，由此可得结论.

【详解】因为，=5,o=(九,田，

所以西+丁=5,即f+y2=25,

因为〃=(一2,1),c=(x,j),所以b—c=(—2—尤,1-y),

又向量B—c与。共线，a=(-M)，

所以-2_x+l_y=0,

所以尤=_y_l,

所以（―y—l『+y2=25,

所以y=3或y=-4,

x=-4[x=3

所以O或J

[y=3[y=-4

故答案：T；3（答3；-4也对）

14.端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日.从形状来分，端午节吃的粽子有

三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体ABCD,如图所

示.设棱AO的长为6cm,其余的棱长均为2#cm,则该四角粽的表面积为cm2,内含食物

的体积为cn?.（粽叶的厚度忽略不计）

【答案】©.1273+6715②.676

【解析】

【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解.

AC2+C£)2—A£)21

【详解】cosZACD=

2ACxCD4

所以NACD为锐角，所以sinNACD=Jl—cos?NACD=巫

4

该四角粽的表面积

,△ABC+SABCD+^/\ABD+AACD=2x—x2^/6x2,\/6xsin60+2x—x2-J^>x2^/6x----=12,\/3+6A/15

r

取5c中点为0,连接QA,OD,

则OA=A/A82-OB2=3叵0D=^BD--OB2=3应，

所以。42+OD2=AD?即a)，必，

且OALBC,8。门。£>=。,8。,。。<=平面BCD,

所以。4J_平面BCD,

内含食物的体积为:义5移8><。4=；xgx2"x2痣sin60义3®=6屈.

故答案为：12G+6y[15;6A/6.

15.记国表示不超过实数x最大整数.设函数〃x)=x+|x],有以下四个结论：

①函数/(%)为单调函数；

②对于任意的x,/(%)+/(-%)=0或/(x)+/(—X)=-1；

③集合{x"(x)=a}(口为常数)中有且仅有一个元素；

④满足/(x)+<7的点(羽y)(x>0,y>0)构成的区域的面积为8.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

[分析】①利用定义法证明单调性；②分〃<x<〃+1和％=及两种情况讨论；③求出0Wx<l和1W%<2

时了(九)的值域，结合单调性可知，当。取值域未包含的值时，集合为空集；④令x=7篦+2,y=n+/3,

其中m.nGN*,a,/e[0,l),将问题转化为加+〃W3,找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积.

【详解】Vx!，x2eR,且玉<々，贝,石]4I%]，则

/(七)一/(工2)=%+同一七一[々]=(七一9)+([%]-[%2])<0，即/(%)</(9)，

则“X)在R上单调递增，故①正确；

当〃Wx<〃+1,ZZGZ时，/(%)=x+[x]=x+〃，

故当〃<x<〃+l时，一〃一1<一刀<一〃，有/(x)=x+|x]=x+〃，f(-x)=-x+[-x]=-x-n-l,

此时/(%)+/(—x)=—l,

当％时，/(X)=2〃，/(-%)=-2M,止匕时+

故②正确；

当OWx<l时，/(x)=xe[O,l),当1WX<2时，/(x)=x+le[2,3),结合〃工)在R上单调递增可

知，当ae[l,2)时，方程/(x)=a无解，故集合为空集，故③错误；

设％=根+a,y=n-\-/3,其中九N*,a,/3^[0,1),则/(x)+/(y)=2/〃+c+2〃+/7W7,因

Q<a+/3<2,则2〃z+2〃W7,

则772+/W3,

在每个单位正方形[〃帆+1)义[〃,〃+1)内，/(x)+/(y)的值从2机+2八到2根+2〃+2,但不包括

2m+2n+2,因此在m+n<3的区域内的每个单位正方形内，/(1)+/(丁)<7的点(x,y)构成的区域面

积为1,

由于根+〃43的区域内的单位正方形有1+2+3+4=10个(和+〃=0,1,2,3),因此满足

/(%)+/(丁)<7的点(光,日构成的区域面积为图中4043的面积8.

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在多面体A3CDPQ中，AB_L平面？AZ),平面P0C1平面己45=PQ,AB//CD,

(1)求证：CD//PQ-

(2)设AB=00=4Q4=4,CD=PQ=PO=2,求直线以与平面Q8C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

3

【解析】

【分析】(1)先利用线面平行的判定定理证〃平面A3QP,再利用线面平行的性质定理即可；

(2)以。为原点建系，计算平面Q8C的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求cosm,AP,最后利用线面

角与向量夹角之间的关系求即可.

【小问1详解】

如图，因为AB〃CD,平面ABQP,ABU平面ABQP,

所以〃平面ABQP,

又因为CDu平面CDPQ,平面CDPQ1平面ABQP=PQ,

所以CD〃PQ,

【小问2详解】

在平面ABCD内过点。作Oy//AB.

因为ABJ_平面PAD,所以。平面BLD,

因OPu平面PAO,ODu平面上40,所以。y，OP,Oy±OD,

因A3,平面BLD,ABu平面ABCD,则平面？AO，平面ABC。，

又因为尸。_LAZ）,平面R4Oc平面A3CD=A。，则POJ_平面ABCD,

所以8,Oy,OP两两互相垂直.

以。为原点，OD,Oy,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-盯z,则

0(0,0,0),4(—1,0,0),r>(4,0,0),C(4,2,0),

8(-1,4,0),P(0,0,2),BC=(5,-2,0),AP=(l,0,2),

由题意，得CQ=DP=（T,0,2）,

设平面QBC的法向量为比=（羽y,z）,

m-CQ=0-4x+2z=0

则即《

m・BC=05x—2y=0

令％=2,则y=5,2=4,于是冽=(2,5,4),

m-AP2+8_2

所以COSM,AP=

|m||AP|745x75~3

故直线PA与平面QBC所成角的正弦值为

3

17.在VABC中，acosB+灰2sA=4ccosA.

(1)求cosA的值;

（2）若a=2函，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA3C存在,

求5c边上的高.

3兀

条件①：B=—；

4

条件②：Z?=6；

条件③：cosC=建。.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】（1）cosA=-

4

（2）条件选择见解析，答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cosA的值；

（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角A的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可

值条件①，不符合要求；

选择条件②，求出sinA的值，利用余弦定理可求出C的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可

求出边上的高；

选择条件③；求出sinA、cosC的值，利用两角和的正弦公式可求出sin8的值，利用正弦定理求出b的

值，进而可得出边3C上的高为加inC,求解即可；

【小问1详解】

abc

由正弦定理----=-----=-----,且6ZCOSB+Z?COSA=4ccosA，

sinAsinBsinC

得sinAcosB+sirtBcosA=4sinCcosA,即sin（A+5）=4sinCcosA.

由A+B+C=7C,得sin（A+5）=sinC.所以sinC=4sinCbosA.

由OVCVTT,得sinCwO,所以cosA='.

4

【小问2详解】

选择条件①：因为0<COSA=:<¥=COS：,且余弦函数y=cosx在（0,兀）上单调递减，

ITJT371

故一<A<一,又因为8=—,从而可得A+3>兀，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.

424

选择条件②：由Ae（Oi）,且COSA=L,得sinA=Jl—COS2A=^.

由余弦定理/=匕2+02—2ACOSA，得（2VId『=62+c2_2><6xc><：,

解得c=4或c=-l（舍）.

设边3C上高为3则三角形面积S=LbcsinA=La/z,

22

眄

所以bcsinAXX43店.

a2M2

选择条件③：由人€（0,兀），且cosA=（,得sinA=JI=嬴%=乎.

由Ce（0,兀），且cosC=，得sinC=Jl-cos?C=近^.

44

所以si*in(A+C户哈卓+%手=?

由正弦定理，得人=竺些=6,所以边8。上的高/7=加m。=6义通=亚

sinA42

18.发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研

究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图

(单位:百辆)：

百辆，

600

500

400

300

200

100

0

•・•••新能源一•一纯电动

在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为。.

(1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年。值超过50%的概率；

(2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的。值超过5。％,则停

止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到。值超过50%的年份.记抽取的次数为X,求X的分

布列和数学期望；

(3)记2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为s；,且这5年纯电动汽车销量数据的方差

为s；,写出s；与s；的大小关系.(结论不要求证明)

【答案】(1)y

7

(2)分布列见解析，y

(3)s；〉s；

【解析】

【分析】(1)求出各年的。值，利用古典概型概率公式求结论；

(2)确定随机变量X的可能取值，再求X取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；

(3)先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小

即可.

【小问1详解】

设从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，且该年的。值超过50%为事件A,

由图表知，

3555

2017年的。值为3x100%<50%,2018年的。值为二二xl00%<50%,

80121

2019年的。值为名x100%<50%,

2020年的。值为—X100%<50%,

163182

2021年的。值为qx100%>50%,绥x100%>50%,

2022年的。值为

221398

312

2023年的。值为Jx100%>50%,2024年的。值为—X100%>50%,

412528

所以在2017年至2024年这8年中，有且仅有2021年至2024年这4年的。值超过50%,

41

所以尸(A)=W=5・

oZ

【小问2详解】

由图表知，在2019年至2024年这6年中,。值超过50%的有4年,

所以随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

422x42x1x41

则p(x=l)=—=—,P(X=2)=—,P(X=3)=

636x515'76x5x415

所以X的分布列为：

X123

241

P

1515

2417

故X的数学期望石(X)=lx§+2义区+3义话=：

【小问3详解】

从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的平均数为

|(182+221+398+412+528)=詈1=348.2,

所以从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差

=-[(182-348.2『+(221-348.2)2+(398-348.2)2+(412-348.2)2+(528-348.2)2

5-

所以s；=16536.16

从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的平均数为

111QQ

-(85+121+298+312+366)=^-=236.4,

从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的方差

s；=g[(85—236.4)2+(121—236.47+(298—236.4)2+(312-236.47+(366-236.4)2,

所以s；=12509.04,

所以s；>s；.

19.已知椭圆E：W+/=l(a〉6〉0)离心率为好，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦

点的距离之和等于2#.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若A关于原点。的对称点为8,过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C,轴

于点H,直线5c与x轴交于点用SBOM与SAAOH分别表示与八40”的面积，证明：

uqBOM一=乙"。,AOH•

22

【答案】(1)—+^=1

62

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据椭圆性质，已知离心率£=近、长轴2a=2几以及/=^+02,通过解方程组就能得

a3

出。、b的值，进而得到椭圆方程.

(2)先设点A、B、"坐标，再设直线3C方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到%、为表达式•因

为A3_ZAC,根据向量垂直性质得到04AC=0,解出先与乜的关系.排除直线5c过原点的情况后,

确定%=3日。时直线方程，求出点以坐标，最后根据三角形面积公式得出SBOM=2SAOH.

【小问1详解】

c_V6

厂亍

由题意，得<2a=2瓜解得a="，b=42>

a1=b-+c2,

22

所以椭圆E的方程为L+^=l.

62

【小问2详解】

由题意，设点人（局,为乂％0为，0）,则点H（xo,O）.

/、/、[y=Ax+Ax-y,

设直线3C的方程为丁+%=左（1+/），C（x,y）.由1_°n,°n得

ccx।Jy2—•O

2

（3左2+1）%2+6^（fcr0-y0）x+3（Ax0-y0）-6=0.

所以八＞0丫+丫_一6左（也-%）3®-%）?-6

所以△＞（）,f+3J,r/c=342+i'

2

故x「6%（线f）_-6k（kx0-y0）

x+x2fcx

自义c-3左2+]o'yc-fcxc+fcx0-y0------3k2+]----+0_%

又因为ABIAC,

所以O4AC=（x°,%）.「6空。丁。）[6；*o；%）+2K_2y0]=0,

去分母化简得到（%-依））（%—3ao）=0,所以％=飙或％=3kx0.

当先=为时，直线3C过原点，不符合题意.

当为=3日0时，直线3C的方程为y=履-2代），则点河坐标为（2%,0）,

xOHxx

所以SAOH=^\\\y0\=^0y^SBOM=^\OM\x\y0\=\x0y0\.

故SBOM=2sAOH.

20.已知函数/（x）=（x+a）e",其中aeR.

（1）若曲线y=/（x）在点（o,7（o））处的切线的斜率为2,求。的值；

（2）求函数/（%）的单调区间；

（3）设函数八%）在区间［—1,2］上的最大值和最小值分别为"（a）,N（a）,求使得不等式

M（a）-N（a）“2a—l）e°+e2成立的。的最小值.

【答案】（1）a=±\

（2）答案见解析（3）2

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）求导，分。=0和aw0两种情况讨论求解即可；

（3）结合⑵易得函数在[-1,2]上单调递增，再结合题设将问题转化为e2>0,令

g（tz）=（a2-«-l）ea-e2,利用导数分析其单调性，进而求解即可.

【小问1详解】

由/（x）=（x+a）e（K,则/'（尤）=（改+“2+l）ea,

贝|]/'（0）=。2+1=2,解得。=±1.

【小问2详解】

由/（X）=（x+a）e",则/'（%）=（以+/+l）e"“，

当a=0时，f（x）=x,函数/（尤）的单调递增区间为（口,”），无单调递减区间；

当awO时，令/'(x)=0,得％=—

a

,2।1(21\

若a>0,由/'(x)>0,得xe------,+oo；由/'(x)<0,得xe-oo,------

\aJI〃/

<21A（21,

所以/（九）的单调递增区间为-巴上,+8,单调递减区间为—，―巴士

Iaa

+

若avO,由/'（尤）>0,得_QO,，+；由/得九£,+oo

a）（a

所以“X）的单调递增区间为-8,-巴土，单调递减区间为|-巴士,+8.

、a）I〃/

综上，当a=0时，函数/（x）的单调递增区间为（口,”），无单调递减区间；

/2jA（21

当a>0时，函数/（九）的单调递增区间为一里二,+8,单调递减区间为-8,-巴土

,d-ya

'cz2+P，2+]、

当a<0时，函数〃x）的单调递增区间为,单调递减区间为'+,+8.

-00,-a---------------a

、?I）

【小问3详解】

由(2)知,当a=0时，函数八%)在区间［—1,2］单调递增,

2.-1

当avO时，-3----~a+

当且仅当即〃=—1时等号成立，则函数/(%)在［—1,2］上单调递增;

当〃>。时，-

"+1ClH----a-———2

a

当且仅当a=：,即a=l时等号成立，则函数"%)在［—1,2］上单调递增.

综上所述，函数八%)在［T2］上单调递增，

所以M(a)-N(a)==(2+。)式2〃.(_］+力尸=(«2+«-2)efl.

由M(a)-N(a)“2a—l)ea+e2,得(/—a—l)e”—e?20,

令g(a)=(a?-«-l)e0-e2,则g'(a)=(4+a-2)e",

由g'(a)=。,得a=-2或a=l.

当x变化时，g'(x)与g(%)的变化情况如下表：

a(r,—2)-2(-2,1)1(L+8)

g'(a)+0-0+

g(a)/极大值极小值/

所以g(九)在(-8,-2)和(1,+8)上单调递增，在(-2,1)上单调递减.

又因为g(_2)=5e-2—e2<0,g(l)<g(—2)<0,且g(2)=0,

所以当ae［2,+co)时，g(«)>0；当ae(Yo,2)时，g(a)<0.

即当且仅当a«2,+co)时，"(。？/(0)之(20-1”+62恒成立，

所以使得M(a)-N(a)之(2a—l)e"+e?成立的。的最小值为2.

21.如图，设A是由3)个实数组成的〃行〃列的数表，其中均表示位于第，行第/列的实数，且

满足小,如，,，。加（'=1，2,与%，4（/=1，2,'，”）均是公差不为0的等差数列.

«11%2

〃

21。22a2n

%anlann

若根据条件P,能求出数表A中所有的数，则称A能被P确定.

（1）已知〃=3,分别根据下列条件，直接判断数表A能否被其确定：

条件P1「'已知阳，的，%”；

条件必：“已知的2，。21，。23