2025年中考数学总复习：三角形及全等三角形 （原卷版）

专题08三角形及全等三角形

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）

知识模块一：三角形

知识模块二：全等三角形

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）

考点一：三角形的稳定性

考点二：与五线有关的计算

考点三：与五线有关的作图问题

考点四：利用三角形三边关系求解

考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合考点六：利用全等三角形的性质求解【热考】

考点七：全等三角形证明方法的合理选择

考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题考点九：利用全等三角形解决实际问题

考点十：全等三角形与相似三角形综合

04破,重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）

重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线

重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线

重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法

重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法

重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角【热考】

重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型【热考】

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）

易错点1：对三角形的高理解不到位

易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题

易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错【失分点】

易错点4：未掌握全等三角形的判定定理

1

思维早襟

高面点到对边的垂鳗

顶点到对边中点的线段

中线/------

------《重心三条中线的交点

五线

/~4c

角平分线

中位线三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半

垂直平分线经过线段中点与线段垂直的直线

不等腰，等腰，等边

知识梳理按边分

按角分锐角、直角、钝角

对应边相等

对应角相等

周长、面积相等

\全等对应的角平分线，中线，高相等

一般三角形SSS,SAS,ASA,AAS

判定

------《直角三角形HL

三角形及全等三角形我第三边SSS

已知两边找夹角SAS

找直角HL

一边为角的对边找另一角AAS

判定两个已知一边、一角找夹角的另一边SAS

三角形全

是角的邻边找夹边的另一角ASA

等的思路

我边的对角AAS

找夹边ASA

学法指导已知两角

找其中一角的对边AAS

判断三条线段能否组成三角形最短的两边之和〉第三边

利用三角形全等证明线段的和/差截长补短法

三角股卜角定理碉仑是"角"转换的有效工具

技能提升

构造三角形，利用三角形全等，是证明线段相等或角相等的常规方

法

［已知中点/中线倍长中线法

知识模块一：三角形

知识点一：三角形的相关概念

三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

三角形的表示：用符号表示，顶点是A、B、C的三角形记作“AABC”，读作“三角形ABC”.

【补充】三角形的表示方法中代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自

2

由安排，即AABC,AACB等均为同一个三角形.

三角形的稳定性：三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳

定性.

【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样

多边形就具有稳定性了.

三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.

三角形三边关系的应用：

1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.

2）已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围：|a-b|<c<a+b

3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.

知识点二：与三角形的有关线段（掌握）

类型三角形的高三角形的中线三角形的角平分线

从三角形的一个顶点向它的对三角形一个内角的平分线与它的对

文字三角形中，连接一个顶点和它对边中

边所在的直线作垂线，顶点和垂边相交，这个角的顶点与交点之间的

语言点的线段.

足之间的线段.线段.

AAA

图形

语言

DDD

VAD是AABC中BC边的高VAD是AABC中BC边的中线VAD是AABC中NBAC的角平分线

性质

・•・ZADB=ZADC=90°==1

ABD=CDSAABDSAADC^~SAABCZBAD=ZDAC=-ZBAC

2

2

用途

1）线段垂直.2）角度相等.1）线段相等.2）面积相等.角度相等.

举例

类型三角形的中位线三角形的垂直平分线

文字

连接三角形两边中点的线段经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线

语言

图形

语言小

3

VDE是AABC的中位线・・,直线1是AB的垂直平分线

性质

.\DE=-BCDE//BC・・・PA=PB,AC=BC,ZPCA=ZPCB=90°

2

用途

1）线段平行.2）线段关系.1）线段相等.2）角度相等.

举例

知识点三：与三角形有关的角（掌握）

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理的应用：

1）在三角形中，己知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；

2）在三角形中，已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；

3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数.

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

知识模块二：全等三角形

知识点一：全等三角形的概念

全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.

特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.

全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【补充】

1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形

状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.

2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.

全等三角形的表示：全等用符号“0”，读作“全等于”.

【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上.如4ABC和4DEF全等，记作4ABC

4

^△DEF,读作AABC全等于ADEF.

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.

常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等

图形.

知识点二：全等三角形的性质与判定

全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.

2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等.

3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）.

全等三角形的判定：

1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个

元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的

边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.

考点一：三角形的稳定性

1.（2023•吉林・中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是

5

2.（2022・广东•中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）.

A.三角形B.长方形C.正方形D.平行四边形

3.（2024•吉林长春•一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行

四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（）

A.平行四边形的对边相等B.平行四边形的对角相等

C.四边形的不稳定性D.四边形的内角和等于360。

考点二：与五线有关的计算

1.（2024•山东德州•中考真题）如图，在AdBC中，4。是高，4E是中线，AD=4,S^ABC=12,贝UBE的长

C.4D.6

2.（2022.贵州安顺.中考真题）如图，在△ABC中，AC=2或，4ACB=120°,。是边AB的中点，E是边BC上

一点，若DE平分ATIBC的周长，则DE的长为（）

6

3.（2021•辽宁阜新•中考真题）如图，直线4B〃CD,一块含有30。角的直角三角尺顶点E位于直线C。上,

EG平分乙CEF,则N1的度数为°.

4.（2024•山东济南・中考真题）如图，在正方形4BCD中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径

作弧，两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心，以4。的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正

方形力BCD内部），连接DG并延长交BC于点K.若BK=2,则正方形ABC。的边长为（）

A.V2+1B.-C.—D.V3+1

22

5.（2024・四川巴中•中考真题）如图，团4BCD的对角线AC、BD相交于点。，点E是BC的中点，AC=4.若

EUBCD的周长为12,则△COE的周长为（）

BEC

7

A.4B.5C.6D.8

考点三：与五线有关的作图问题

1.(2024•黑龙江绥化•中考真题)已知：AABC.

(1)尺规作图：画出△28C的重心G.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)

⑵在(1)的条件下，连接4G,BG.己知A/IBG的面积等于5cm2,则△ABC的面积是cm2.

2.(2024.湖北武汉.模拟预测)如图是由小正方形组成的7X5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.AABC

的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)在图1中，BD平分N4BC交边力C于点D,先画出△力BC的角平分线力E,再在射线BD上画点尸，连接2F,

使得”=沙1;

(2)在图2中，先画AaBC的高再画N4F7C的平分线HP.

3.(2024•吉林•模拟预测)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小

正方形的边长均为1,AABC的顶点均在格点上，点G是图③中边4C上的任意一点：只用无刻度的直尺按

下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹.

(1)在图①中作边BC上的高2D；

(2)在图②中作△ABC的中位线EF,使点E、尸分别在边4C、4B上;

(3)在图③中4ABC的边4B上找到一点H,使4"=AG.

8

考点四：利用三角形三边关系求解

1.（2023・江苏盐城・中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm）,其中能搭成一个三

角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

2（2023•山东•中考真题）在△48C中，BC=3,AC=4,下列说法错误的是（）

A.1<AB<7B.SAABC<6

C.AABC内切圆的半径r<1D.当=时，AABC是直角三角形

3.（2023•河北・中考真题）四边形4BCO的边长如图所示，对角线4c的长度随四边形形状的改变而变化.当

△力8C为等腰三角形时，对角线4C的长为（）

A.2B.3C.4D.5

考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合

1.（2024・天津・中考真题）如图，Rt△力BC中，ZC=90°,ZB=40°,以点4为圆心，适当长为半径画弧，

交4B于点E,交2C于点F；再分别以点民尸为圆心，大于［EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）

在484c的内部相交于点P；画射线2P,与相交于点D,贝|乙4。。的大小为（）

2.（2024•四川凉山・中考真题）如图，△2BC中，N8CD=30。，^ACB=80°,CD是边4B上的高，2E是NdB

的平分线，贝亚/lEB的度数是.

9

c

3.（2023・辽宁锦州•中考真题）如图，在△力BC中，BC的垂直平分线交BC于点D交AB于点E.连接CE.若

CE=CA,/.ACE=40°,则N8的度数为.

考点六：利用全等三角形的性质求解

1.（2024.四川资阳・中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME-14）会标如图1所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（A/IBE,4BCF,

ACDG,ADAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF：AH=1：3,则sinN力BE=（）

A,匹BD*

5-1

2.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，在AABC中，点4的坐标为（0,1）,点B的坐标为（4,1）,点C的坐标为（3,4）,

点。在第一象限（不与点C重合），且△4BD与△ABC全等，点。的坐标是

10

3.（2024・四川遂宁•中考真题）如图1,A4BC与44祖6满足〃=Z.Ar,AC=A^,BC=8心，“*zC1；

我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2,在小4BC中,AB=AC,点、D,E在线段BC上,且BE=CD,

则图中共有“伪全等三角形”（）

考点七：全等三角形证明方法的合理选择

1.（2024.江苏徐州•中考真题）己知：如图，四边形48CD为正方形，点E在的延长线上，连接E4EC.

⑴求证：4EAB34ECB；

（2）若N&EC=45°,求证：DC=DE.

2.（2023•四川绵阳•中考真题）如图，固4BCD的对角线AC,BD相交于点。，点E,尸在力C上，且4E=CF.

⑴求证：BE||DF；

（2）过点。作。MlBD,垂足为。，交DF于点M,若ABFM的周长为12,求四边形BEDF的周长.

3.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，△ABC中，AACB=90°,点。为AC边上一点，以点。为圆心，。。为

半径作圆与力B相切于点D,连接CD.

11

⑴求证：/-ABC=2^ACD；

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半径.

考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题

1.（2024•山东泰安・中考真题）如图，RtAABC中，^ABC=90°,分别以顶点A,C为圆心，大于|aC的长

为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N,作直线MN分别与BC,4C交于点E和点F；以点A为圆心，任意

长为半径画弧，分别交48,AC于点H和点G,再分别以点H,点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧

交于点P，作射线4P,若射线4P恰好经过点E,则下列四个结论：①NC=30。；②4P垂直平分线段BF；

③C£=2BE；@S^-^S.其中，正确结论的个数有（）

BEF6AABC

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024・北京・中考真题）如图，在菱形48CD中，Z.BAD=60°,。为对角线的交点.将菱形A8CD绕点。逆

时针旋转90。得到菱形ABO,两个菱形的公共点为E,F,G,从对八边形给出下面四个结

论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点。到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

3.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，△力BC和AaDE是以点力为直角顶点的等腰直角三角形，把AADE以4

为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点.若力B=®AD=1.以下结论：①BD=CE；②BD1CE；

12

③当点E在B4的延长线上时，MC=萼；④在旋转过程中，当线段MB最短时，AMBC的面积为/其中

C.3个D.4个

考点九：利用全等三角形解决实际问题

1.（2024・山东・中考真题）【实践课题】测量湖边观测点4和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A,B两点间的距离以及NP4B和

4PBA,测量三次取平均值，得到数据：4B=60米，4PAB=79°,Z.PBA=64°.画出示意图，如图

图I

【问题解决】（1）计算4P两点间的距离.

（参考数据：sin64°«0.90,sin79°«0.98,cos79°«0.19,sin37°«0.60,tan37°«0.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2,选择合适的点D,E,F,使得4D,E在同一条直线上，S.AD=DE,乙DEF=LDAP,当F,D,

P在同一条直线上时，只需测量EF即可.

13

D

F

图2

（2）乙小组的方案用到了.（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.

2.（2024・四川宜宾•中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1,左侧是岷江，右侧是金沙江，正面

是长江）.某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D,在地标广场上

选择两个观测点A、B（点A、B、C、。在同一水平面，且4B||CD）.如图2所示，在点A处测得点C在

北偏西18.17。方向上，测得点。在北偏东21.34。方向上；在2处测得点C在北偏西21.34。方向上，测得点。

在北偏东18.17。方向上，测得2B=100米.求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）.（参考数据：

sinl8.17°x0.31,cosl8.17°«0.95,tanl8.17°«0.33,sin21.34°-0.36,cos21.34°-0.93,tan21.34°-0.39）

图1图2

3.（2024•河北石家庄.模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的

测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O,连接4。，CO,并分别延长至点B,点D,使。B=OA,0D=0C,

连接8D.

J4

c

o

DE

备用图

⑴如图1,①求证：AC=BD；②若44=35。，乙4OC=90。，贝此。='

(2)如图2,但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点Z),使0。=。。,

过点D作AC的平行线。E,延长40至点F,连接EF,测得NDEF=120°,/.OFE=90°,DE=5m,EF=9m,

请求出池塘宽度4c.

考点十：全等三角形与相似三角形综合

1.(2023・浙江绍兴・中考真题)如图，正方形48CD中，28=3,点E在边4。上，DE=24E,F是8E的中

点，点H在CD边上，AEFH=45°,贝的长为().

2月

3

2.(2024.四川・中考真题)如图，在四边形4BCD中，N力=90。，连接BD,过点C作CE14B,垂足为E,CE交

BD于点F,zl=AABC.

(1)求证：z2=Z3；

(2)若N4=45°.

①请判断线段BC,的数量关系，并证明你的结论;

15

②若BC=13,AD=5,求E尸的长.

3.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在团4BCD中，乙4BC为锐角，点E在边4D上，连接BE,CE,且〃加；=

SAOCE•

（1）如图1,若F是边BC的中点，连接EF,对角线AC分别与BE,EF相交于点G,”.

①求证：H是4C的中点；

②求4G:G//://C；

（2）如图2,BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接力M,CE的延长线与2M相交于点N.试探究线段AM与

线段4N之间的数量关系，并证明你的结论.

重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线

1.（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】

（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1,在A/IBC中，=4C,点F是4C上一点，点E是

延长线上的一点，连接EF,交BC于点D,若ED=DF,求证：BE=CF.

图1

①如图2,小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM,使DM=8。，连接FM,

利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；

16

A

②如图3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM||4。交。8的延长线于点",利

用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；

请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

【类比分析】

(2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了

新的问题，请你解答，

如图4,在4ABC中，点E在线段力B上，。是BC的中点，连接CE,AD,CE与40相交于点N,若乙EAD+乙ANC=

180°,求证：AB=CN；

图4

【学以致用】

(3)如图5,在RtAABC中，^BAC=90°,zC=30°,4F平分NB4C,点E在线段B4的延长线上运动，

过点E作EDIMF,交AC于点N,交BC于点、D,且BD=C。，请直接写出线段AE,CN和BC之间的数量关

系.

17

2.（2024・江苏宿迁•模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：

如图①，在AABC中，点。是BC的中点，点E是4C的一个三等分点，S.AE=^AC.连结力D,BE交于点G,

错值•

小明发现，过点。作2c的平行线或过E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案.请你

根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程

【尝试应用】

（2）如图②，在AABC中，。为AC上一点，4B=AD,连结BD,若4E1BD,交BD、BC于点E.F.^AD=9,

CD=3,AF=8,贝ME的长为一.

【拓展提高】

（3）如图③，在平行四边形4BCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、力C分别交于点G、

M,若胎=:若△BEG的面积为2,则△力8G的面积为

重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线

1.（2024•山东青岛・中考真题）如图，将正方形4BCD先向右平移，使点B与原点。重合，再将所得正方形

绕原点。顺时针方向旋转90。，得到四边形4BO,则点A的对应点4的坐标是（）

18

A.(-1,-2)B.(—2,—1)C.(2,1)D.(1,2)

2.（2024•内蒙古赤峰.中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如

图1,在AABC中，4B=4C,点。是4C上的一个动点，过点。作DE1BC于点E,延长ED交B4延长线于

点?

图1图2

请你解决下面各组提出的问题:

（1）求证：AD=AF；

⑵探究黑与喘的关系;

某小组探究发现，当黑=刎，^=1当空=±时，竺J

DC3DE3DC5DE5

请你继续探究:

①当笔=:时，直接写出第I勺值;

DCoDr,

②当喧=阳猜想器的值（用含m,”的式子表示），并证明;

（3）拓展应用：在图1中，过点P作FP1AC,垂足为点P,连接CF,得到图2,当点。运动到使NACF=乙ACB

时，若冷拳直接写喘的值（用含，”的式子表示）.

3.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，在矩形48CD中，48=4,BC=8,点E是边4。上的动点，连结CE,

19

以CE为边作矩形CEFG（点。，G在CE的同侧），且CE=2EF,连结8F.

（1）如图1,当点E为力D边的中点时，点8,E,产在同一直线上，求BF的长.

（2）如图2,若乙BCE=30°,设CE与BF交于点K.求证：BK=FK.

（3）在点E的运动过程中，B尸的长是否存在最大（小）值？若存在，求出BF■的最值；若不存在，请说明理由.

重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法

1.（2024・吉林长春.一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题:

如图①，在△ABC中，AB=6,AC=8,第三边上的中线4D=久，贝h的取值范围是.

（1）如图②，延长4。至点A,使得连结4C,根据“SAS”可以判定A28。三,得出

A'C=AB=6.在△44'C中，A'C=6,AC=8,AA'=2x,故中线4D的长龙的取值范围是.

【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散

的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法.

【问题解决】（2）如图③，=AC,AD=AE,Z.BAE+AD=180°,连接BE和CD,点尸是CD的

中点，连接AF.求证：BE=2AF.小明发现，如图④，延长4尸至点4,使F4=4/，连接4D,通过证

明AdBE三△DA4,可推得BE=A4'=24F.

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长4尸至点4,使尸A=4尸，连接4D,

•・•点F是CD的中点，

：.CF=DF.

20

■：AF=A'F,/.AFC=/-A'FD,

：.AACF三△A'DF（SAS）,

：.A'D=AC,^A'DF=AACF,

■■.A'DWAC,AA'DA+^CAD=180°.

请你补全余下的证明过程.

【问题拓展】（3）如图⑤，在△48C和AAEF中，AB=AE,AC=AF,ABAC+^EAF=180°,点、M,

N分别是BC和EF的中点.若BC=4,EF=6,则MN的取值范围是

重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法

1.（2020・湖南湘西•中考真题）问题背景：如图1,在四边形力BCD中，NB4D=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

^ABC=120°,乙MBN=60°,NMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段4E,CF,

EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=2E,连接BG,先证明ABCG三

△BAE,再证明ABFCmABFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形A8CD中，^BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,^ABC=2乙MBN,ZJWBN绕

B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”

或者“不成立”），不要说明理由.

探究延伸2：如图3,在四边形2BCD中，BA=BC,ABAD+Z.BCD=180°,4ABe=2乙MBN,/MBN绕B

点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处舰艇乙在指挥中心南

偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里〃卜时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时