微专题6　切线与公切线问题 高三数学

板块一函数与导数微专题6切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.【

真题体验

】√2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.ln23.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，

___________.精准强化练热点一曲线的切线热点二曲线的公切线热点突破热点一曲线的切线导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1√由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原点(0，0)代入切线方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.√求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.规律方法(1)已知曲线y＝xlnx＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝A.－1 B.－2 C.－3 D.0训练1√2x－y－1＝0热点二曲线的公切线导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.例2√考向1切点相同的公切线问题√(2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3lnx－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝A.－3 B.1 C.2 D.5设曲线f(x)＝x2－2m和g(x)＝3lnx－x的公共点为(x0，y0)，例3√因为函数f(x)＝lnx与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝lnx与g(x)互为反函数，所以g(x)＝ex，则g′(x)＝ex.考向2切点不同的公切线问题由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1，设直线l与函数g(x)＝ex的图象的切点坐标为(x1，ex1)，与函数h(x)＝ex＋1－1的图象的切点坐标为(x2，ex2＋1－1)，则直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2，

√(2)(2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3lnx的公切线，则m－n＝A.－30 B.－25 C.26

D.28求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.规律方法训练2(1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.3 B.2 C.1

D.0训练2√(2)已知曲线y＝alnx和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________________________.【精准强化练】√1.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x·ln2－y－1＝0 D.x·ln2－y＋1＝0函数f(x)＝2x，求导得f′(x)＝2xln2，则f′(0)＝ln2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln2·(x－0)，即x·ln2－y＋1＝0.√2.(2024·茂名模拟)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝ A.－2 B.－1 C.1

D.2因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，故曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.√设切点为(x0，lnx0)，√√5.已知直线l为曲线y＝x＋1＋lnx在A(1，2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于 A.0 B.－4 C.4

D.0或4√√√则两切点重合，即f(a)＝g(a)，9.已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条√√对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；

对于C，因为点(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，因为点(0，0)不在曲线上，所以设切点(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，

所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误.10.(2024·温州适考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是 A.f(x)＝sinx＋cosx

B.f(x)＝sin(cosx) C.f(x)＝x＋sinx

D.f(x)＝x2＋sinx√√√当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin1，直线y＝sin1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin1)，k∈Z，故B正确；√√√显然当m∈(－4e－2，0)时，g(x)＝－m有三个解，即有三条切线，n＝3；当m＝0时，g(x)＝－m有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1；当m>0时，g(x)＝－m无解，即不存在切线，不符合题意；当m＝－4e－2时，g(x)＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2；当m<－4e－2时，g(x)＝－m有一个解，即有一条切线，n＝1；所以A，B，D正确，C错误.12.过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线方程为___________________________. 2x－y＋2＝0(答案不唯一)214.若函数f(x)＝lnx＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是_____________.(－∞，1)依题意知y＝a与y＝2x－ex2－1的图象有两个不同的交点.令φ(x)＝2x－ex2－1，∵φ′(x)＝2－2xex2－1，令φ′(x)＝