微专题8　不等式恒(能)成立问题 高三数学

板块一函数与导数微专题8不等式恒(能)成立问题高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，以解答题的形式出现，多为压轴题，难度较大.【

难点突破

】(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.高考真题法一

f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1＞0，ex－a＞0，所以f′(x)＞0，则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立.②当0＜a≤e2时，f′(x)≥0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立.样题1③当a＞e2时，当x∈(2，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(2，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意.综上，a的取值范围是(－∞，e2].法二当x≥2时，f(x)≥0恒成立，样题2已知函数f(x)＝x(lnx＋1).若f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2恒成立，求实数m的取值范围.f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2，即mx≤xlnx＋x2＋2.

样题3令h′(x)＝0，得x＝1或x＝－2(舍去).当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增.故h(x)min＝h(1)＝3，所以m≤3，即实数m的取值范围为(－∞，3].1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别.规律方法训练【精准强化练】2.(2024·南京调研改编)设函数f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围.由题意，f(x)＝(x－1)(ex－e)，x∈R，当x<1时，x－1<0，ex－e<0，∴f(x)>0，当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0，∴f(x)≥0，∴f(x)≥0恒成立，且f(x)min＝f(1)＝0.∵∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，∴∀x2∈[0，＋∞)，f(x1)min≤g(x2)恒成立，∴∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即∀x∈[0，＋∞)，g(x)＝ex－ax－1≥0恒成立.法一g′(x)＝ex－a，易知g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴当x≥0时，g′(x)≥g′(0)＝1－a，①当1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(0)＝0，∴a≤1满足题意；②当1－a<0，即a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，∴当x∈(0，lna)时，g′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(lna)<0，∴a>1不满足题意.综合①②可得，a的取值范围为(－∞，1].法二当x＝0时，很显然符合题意，3.已知函数f(x)＝ex＋(1－a)x－lna·lnx(a>0).(1)若a＝e，求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)<1在区间(1，＋∞)上有解，有实