2024-2025学年北京十五中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京十五中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若sinα<0且tanα>0，则α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.已知sinα=−35，且α是第四象限角，则tanα的值为(

)A.−43 B.−34 C.3.计算：sin20°cos10°−cos160°sin10°=(

)A.12 B.−12 C.4.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+bA.−8 B.−6 C.6 D.85.已知a=sin163°，b=cos72°，c=tan18°，则a，b，c的大小关系为(

)A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b6.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(

)A.y=tan2x B.y=|sinx|

C.y=cos2x−7.若cos(π4−α)=3A.725 B.15 C.−18.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(3sinA−sinB)，则∠C=A.5π6 B.2π3 C.π39.已知函数f(x)=tsinωx+cosωx(ω>0,t>0)的最小正周期为π，最大值为2，则函数f(x)的图象(

)A.关于直线x=−π4对称 B.关于点(−π4,0)对称

C.关于直线x=π10.已知平面向量a，b，c为两两不共线的单位向量，则“(a−b)⋅c=0”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边经过点P(−1,2)，则cosα=______．12.已知sinα=−22且α∈[0,2π)，则α13.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(a+b)⋅14.在△ABC中，A=π3，a=2．

①若B=π6，则b=______；

15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，设g(x)=|f(x)|，给出以下四个结论：

①函数g(x)的最小正周期是π3；

②函数g(x)在区间(7π18,5π9)上单调递增；

③函数g(x)的图象过点(0,32)三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知α，β均为锐角，sinα=45，cosβ=55．

(Ⅰ)求sin2α的值；

(Ⅱ17.(本小题14分)

已知向量a=(cosx,−12),b=(3sinx,cos2x),x∈R，设函数f(x)=a⋅b．

(Ⅰ)求f(x)18.(本小题13分)

在△ABC中，b2+c2−a2=423bc．

(Ⅰ)求tanA的值；

(19.(本小题15分)

已知函数f(x)=32sinωx+cos2ωx2−12(ω>0)，函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，求：

(20.(本小题15分)

在△ABC中，bsin2A=3asinB．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)若△ABC的面积为33，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．

条件①：sinC=277；条件②：bc=321.(本小题15分)

设n(n≥2)为正整数，若α=(x1,x2,…,xn)满足：

①xi∈{0,1,…,n−1}，i=1，2，…，n；

②对于1≤i<j≤n，均有xi≠xj；

则称a具有性质E(n)．

对于a=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，定义集合T(α,β)={t|t=|xi−yi|，i=1，2，…，n}．

(Ⅰ)设a=(0,1,2)，若β=(y1,y2,y3)具有性质E(3)，写出一个参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.D

7.D

8.D

9.C

10.C

11.−12.5π4或7π13.−2

1014.23315.①②④

16.解：(Ⅰ)因为α为锐角，sinα=45，又因为sin2α+cos2α=1，所以cosα=35，

所以sin2α=2sinαcosα=2425．

(Ⅱ)因为α，β为锐角，sinα=45，cosα=35，

所以tanα=sinαcosα=43，

同理sinβ=255，所以tanβ=sinβcosβ=2．

所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43+21−43×2=−2..

17.解：(Ⅰ)已知向量a=(cosx,−12),b=(3sinx,cos2x),x∈R，

则f(x)=a⋅b=cosx⋅3sinx−12cos2x=32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．

则f(x)的最小正周期T=2π2=π．

(Ⅱ)因为f(x)=sin(2x−π6)，

当x∈[0,π]时，−π6≤2x−π619.解：(Ⅰ)f(x)=32sinωx+cos2ωx2−12=32sinωx+12cosωx

=sin(ωx+π6)．

因为函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心间的距离为π2，

所以T2=π2，故T=π，ω=2，f(x)=sin(2x+π6)，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，

解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．

(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，

所以−12≤sin(2x+π6)≤1，

当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取最大值，最大值为1；

当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)取最小值，最小值为−12．

20.解：(Ⅰ)因为bsin2A=3asinB，由正弦定理得，sinBsin2A=3sinAsin B，

又B∈(0,π)，所以sinB≠0，得到sin2A=3sinA，

又sin2A=2sinAcosA，所以2sinAcosA=3sinA，

又A∈(0,π)，所以sinA≠0，得到cosA=32，所以A=π6；21.解：(1)根据题意，令β=(0,1,2)，即y1=0，y2=1，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=0(i=1,2,3)，则相应的一个T(α,β)={0}；

若β=(0,2,1)，即y1=0，y2=2，y3=1，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=0,i=11,i=2,3，则相应的一个T(α,β)={0，1}；

若β=(1,0,2)，即y1=1，y2=0，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,20,i=3，则相应的一个T(α,β)={0，1}；

若β=(1,2,0)，即y1=1，y2=2，y3=0，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,22,i=3，则相应的一个T(α,β)={1，2}；

同理可得，若β=(2,0,1)，则相应的一个T(α,β)={1，2}；

若β=(2,1,0)，则相应的一个T(α,β)={0，2}；

(2)假设存在α=(x1,x2,…,x6)，和β=(y1,y2,…,y6)均具有性质E{6}，且T(α,β)={0，1，2，3，4，5}，

则0+1+2+3+4+5=i=15|xi−yi|=15，因为|xi−yi|与xi−yi同奇同偶，

所以i=15|xi−yi|与i=15(xi−yi)同奇同偶

而本题中由(1)中结论可知，i=15|xi−yi|=15，i=15(xi−yi)=0，可见奇偶不同，