山东省济南市历城区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

2025年山东省济南市历城区一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在这四个数中，最小的数是（

）A． B． C． D．2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（

）A． B．C． D．4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．5．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（

）A． B． C． D．6．2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．7．某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（

）A．6 B．12 C．16 D．249．如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（

）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论：①若点坐标为，则点的等和点在直线上；②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为；③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点：④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．12．化简的结果为．13．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为°．14．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是．15．如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为．三、解答题16．计算：．17．解不等式组：，并求所有整数解的和．18．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．

19．如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是．(1)求下折臂的长；(2)求路灯的高．（结果精确到，参考数据：）20．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．(1)求证：平分；(2)若，求线段的长．21．计算某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组频数频率40.08n140.28110.22m0.202合计501.00c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：(1)表1中的值为______，n的值为______；(2)表2中的值为______；(3)在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______；A．甲

B．乙

C．无法推断(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个?22．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同．(1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？(2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；(3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．24．抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长；(3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标．25．（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．《2025年山东省济南市历城区一模数学试卷》参考答案1．C解：，在这四个数中，最小的数是，故选：C．2．A解：．故选：A．3．D解：俯视图是：，故选：D．4．A解：如图，由题意得，，∵，∴，∵，∴，故选：5．C由数轴知：，，则，，、B、D选项正确，C选项错误；故选：C．6．B解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：B．7．B解：设“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别为，画树状图如下：共有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种，两位同学选择同一个展厅的概率为，故选：B．8．D解：在中，令，则，令，则，，，，，过作轴于，过作轴于，四边形是正方形，，，，，在与中，，，，，，，，，设，，，，，，点，点在反比例函数图象上，，，（不合题意舍去），，，故选：D．9．C解：由题意得，直线垂直平分，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：（舍负），∵，∴，∴，故选：C．10．B解：①设点，，故①正确；②设，，，，，故②正确；③设，，，点的等和点在直线上，当时，直线解析式为，而直线与直线平行，点的等和点一定不在直线上，故③错误；④设，，，代入得，即，对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点；故④正确；故选：B．11．解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，击中阴影区域的概率是，故答案为：．12．/解：，故答案为：．13．∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，∴它的一个外角．故答案为：．14．解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为，聪聪的速度为，，故答案为：．15．/解：如图，延长与的延长线交于点，∵，∴，，∴，由折叠可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，而，，∴，∴，∴；故答案为：16．解：17．，解：，解：解不等式①得，，解不等式②得，，不等式组的解集为，不等式组的整数解为，所有整数解得和为．18．见解析证明：四边形为菱形，，，，，，，即．19．(1)(2)（1）解：过点作于点，过点作于点，由题意可得四边形是矩形，，，，．在中，，答：下折臂的长约为．（2）解：过点作，垂足为．，．，．，，由题意可得四边形是矩形，，在中，，．．答：路灯的高约为．20．(1)见解析(2)（1）证明：连接，与相切于点，，，，，，，，平分．（2）解：，，是的直径，，，，，，，，，，．21．(1)10，0.18(2)6.15(3)A，A(4)估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个（1）解：∵这一组对应的频率为，∴，∴这一组对应的频数为：频率；（2）解：由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数，故中位数；（3）解：由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．故答案为：A，A；（4）解：甲试验田中穗长在范围内频率为，故甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个），答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．22．(1)品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元(2)套（1）解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元由题意得解得经检验，是分式方程的解答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元（2）解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，由题意得：解得为正整数，答：最少购进品牌工具套装套．23．(1)，(2)(3)（1）解：点在一次函数上，，一次函数的表达式为；点在直线上，，．，把代入得，解得：，反比例函数的表达式为；（2）解：法1：作轴交直线于点，，，，，．法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，与同底等高，，，，，；（3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可知：，，轴，轴，，，，，，点，为等腰直角三角形．设，则，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，解得：（不合题意，舍去），当时，，点的坐标为．24．(1)(2)(3)（1）解：抛物线过解得：抛物线解析式为：（2）抛物线与轴交于，令，则：，，∵，∴，∴，∴设直线的解析式为：，把代入得：，解析式为：，如图，过点作轴，垂足为，交于点，，∴，∵，，又，，又，，设，则解得：；（3）同（2）法可得：直线解析式为：由（2）知解析式