基本能力与创新应用：数学归纳法证明不等式

1/7数学归纳法证明不等基本能力与创新应用数学归纳法证明不等式有关自然数的不等式证明问题，可以考虑用数学归纳法，其主要步骤是：(1)证明当=（第一个自然数）时不等式成立；（2）假设不等式当=时（≥）时成立，证明=+1时不等式也成立；由（1）、（2）对于≥的一切自然数，不等式都成立.在证明归纳递推时，要把“证明的目标”牢记在心里，摆放在一个“明显的位置”，采用“分解动作”，用以前学过的不等式的证明方法，如作差法、放缩法、分析法、综合法、反正法等，从一边=+1的结果推证到另一边=+1的结果.这是数学归纳的核心，也是最困难的一步.但与其它方法比较起来，用数学归纳法证明含有自然数的命题还是容易些，建议同学们遇到这类题目而又一时找不到更简单的方法时，可以尝试用数学归纳法，避免因寻找证题思路而耽误过多的时间，造成“延时失分”.但有时数学归纳法并非是最好的证法.它虽然有过程相对固定，较易下手的优点，但一般说来，数学归纳法整体较繁，除非题目明确要求使用外，应先虑能否用其它证法解决问题.数学归纳法证明包括验证归纳基础和证明归纳递推两个步骤，在第二步证明中用不用归纳假设是不是用数学归纳法的标志之一.如果没有归纳假设过程就不是用数学归纳法.使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由=时命题成立推出=+1时命题成立.为了完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其它条件以及相关知识,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用.如比较法、放缩法、分析法、反证法等.例如：若不等式+++…+>,对于一切自然数均成立，求自然数的最大值，且证明你的结论.解：∵=+++…+.依题意，在=1时必满足>,即++>，则＜.∴＜26.取=25().+++…+>(*)(1)当=1时，由上述求过程可知不等式(*)成立.(2)假设=()时，不等式(*)成立,即+++…+>.当=+1时，有=+++…++++=(+++…+)+(++－)>+(+－)而+－=(－)+(－)=(－=(－)>0,∴+>.从而>亦成立.综上所述，对一切自然数，不等式(*)恒成立.+>另一种证法：∵+=>，∴+－>0.或解：令=+++…+，则－=+－.由前一种解法中知：－>0.故数列是递增数列，则≥.而依题意，要>恒成立，只需要＜即可，于是＜=.∴＜26.取=25().①教材的例1通过数列给出了一个不等式.通过观察、计算、归纳与的大小关系，然后利用数学归纳法证明.在推证=+1成立时，两次利用了≥5这个取值范围进行放缩.②教材的例2是一个涉及正整数的三角函数问题，在推证=+1成立时，利用了正弦函数、余弦函数的有界性，绝对值三角不等式等知识.③教材的例3给出了一个经典不等式——贝努利不等式:如果是实数，且＞－1,≠0,为大于1的自然数，那么有＞1+.它的证明过程比较简单，在推证=+1成立时，用了“去正缩小”的方法.之所以说贝努利不等式是一个经典不等式，是因为它有多种形式的变形.如当是实数，并且满足＞1或者＜0时，有≥1+(＞－1);当是实数，并且满足0＜＜1时，有≤1+(＞－1).当是实数，且＞－1,≠0,为不小于2的自然数，有≥.④教材的例4给出了一个形式简洁和谐的、有较高应用价值的不等式.在推证=+1成立时采用了分类讨论和在不失一般性的前提下把一般转化为特殊的方法.这些方法对我们今后证明不等式有很好的指导意义.右边例4-2还可以用二项式展开式来证明，方法更直观简洁.当≥3时，=(1+1)=++…++(至少有四项)=1++…++1≥2+2＞2+1.右边例4-5【误解】（1）=1时，+=1∴=1－即≥1－成立（2）假设=时，…≥1－(++…+)成立，当=+1…≥[1－(++…+)]≥（1－）[1－(++…+)]≥[1－(++…+)]－[1－(++…+)]≥1－(++…++)成立∴=+1时不等式仍成立据（1）、（2）可知N+时，原不等式成立。[误解]的错误在于完成=+1的证明过程中说理不充分.由…≥1－(++…+)得…≥【1－(++…+)】时没有交代≥0的条件；将1－后的展开式中，没有交代(++…+)≥0，而这一步正是解题的关键之一。例4-1用数学归纳法证明＜+1(成立，判断下列证明过程是否正确：证明：（1）=1时，左边==，右边=1+1=2，＜2，∴不等式成立；（2）设=时，不等式＜+1成立，则当=+1时，左边==＜=+2=（+1）+1，∴=+1时不等式成立。由（1）、（2）可知当时，不等式成立。解：该证明过程错误。实际上第二步不符合数学归纳法要求的，它是在没有应用归纳假设的情形下证明的，因此第二步证明不具备递推性。正确的证明如下：设=时，不等式＜+1即＜（+1）成立，当=+1时==＜＜=（+1）+1成立。例4-2用数学归纳法证明>2+1(,且n≥3).证明：（1）当=3时，23=8>2×3+1成立，命题成立.（2）假设=(k≥3)时，命题成立，即>2+1成立，当=+1时，=2>2(2+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)，∵k≥3,∴2k-1>0,从而>2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1.由（1）（2）可知，当，且n≥3时，>2+1.例4-3证明：≤,N+,为常数.证明：教材的例2可知≤，R,则==2≤2==.因此≤,N+,例4-4设=(1+－1,=,其中(－1,0),且N+，试比较与的大小，并给出证明.解：－=(1+－1－=，令=，则－=.∵－1＜＜0,∴1+＞0,故－与符号一致.在=1时，=(1+－（1+2=＞0；在=2时，=(1+－（1+3=（+3）＞0；在=3时,=(1+（1+4=[(+2)2+3].在此推测：＞0.下面使用数学归纳法证明.在=1时，=(1+－（1+2=＞0，∴此时命题成立.假设=(k≥1,N+)时，＞0成立.那么在=+1时，=(1+－[1+(+2)].∴=(1+－[1+(+1)]+[(1+)－1]=+[(1+)－1]对于[(1+)－1]，因为－1＜＜0，则(1+－1＜0，于是有[(1+)－1]＞0.故=+[(1+)－1]＞0.这就是说在=+1时，＞0.由(1)(2)可知，对于任何N+，，＞0都成立.因此－=＞0成立，故＞.[点评]本题关键处是“＞1+(+1),－1＜＜0”,贝努利不等式变形的形式.例4-5数列与满足条件0≤≤1且+=1（N+），用数学归纳法证明：…≥1－(++…+)证明：（1）=1时，+=1∴=1－即≥1－成立（2）假设=时，…≥1－(++…+)成立，当=+1时∵0≤≤1，+=1∴