《用数学归纳法证明不等式》参考学案1_第1页
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1/3§4.2.1用数学归纳法证明不等式☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.数学归纳法的应用：例1.用数学归纳法证明不等式.例2已知x>-1，且x¹0，nÎN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.例3证明:如果为正整数)个正数的乘积,那么它们的和.例4证明:例5.当时,求证:参考答案1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1⑴当时,上式左边右边,不等式成立.⑵设当时,不等式成立,即有.那么,当时,=例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x¹0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3证明:⑴当时,有，命题成立.⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,那么它们的和.那么当时,已知个正数满足.若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立.若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与矛盾).不妨设.例4证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不

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