平面直角坐标系与函数基础-2025年中考数学专项复习（山东专用）

专题08平面直角坐标系与函数基础

考情聚焦

课标要求考点考向

1.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个

已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶

点坐标之间的关系.考向一坐标与图形变换

2.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边

形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应图形与

顶点坐标之间的关系.

坐标

3.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿

两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移

考向二平面直角坐标系

关系，体会图形顶点坐标的变化.

4.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点

坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小相同倍数时所对

应的图形与原图形是位似的.

5.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变考向一函数基础知识一一函数

量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例.图象的应用

6.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.

函数基

7.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函

础

数值.

8.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的

考向二函数基础知识一一动点

关系，理解函数值的意义.

问题

9.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步

讨论.

真题透视,

考点一图形与坐标

A考向一坐标与图形变换

解题技巧

（1）尸（x,y）关于x轴对称点为（尤,-y）；关于y轴对称点为（-x,y）；关于原点对称点为（-尤，-y）；

（2）尸（x,y）向右平移h（h>0）个单位为P（x+/z,y）,向左平移h（h>0）个单位为P（x-/z,y）,向上平移

k（k>0）个单位为尸（无,y+左），向下平移k（k>0）个单位为尸（x,y-左）.

1.（2024•青岛）如图，将正方形A3CD先向右平移，使点8与原点。重合，再将所得正方形绕原点。顺时

针方向旋转90。，得到四边形AB'C'。'，则点/的对应点A的坐标是（）

A.（―1,—2）B.（―2,—1）C.（2,1）D.（1,2）

【答案】A

【难度】0.65

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移

方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点/的对应点坐标为（2,-1）；如图所示，设E（2,-l）绕原点。

顺时针旋转90度后的对应点为F,分别过£、尸作x轴的垂线，垂足分别为G、H,证明一HFO空GOE（AAS）,

得到O//=GE=LHF=OG=2,则尸（—1,—2）,即点4的对应点A的坐标是（—1,—2）.

【详解】解：由题意得，平移前3（-3,0）,A（-l,-l）,

:将正方形A5CD先向右平移，使点8与原点。重合，

二平移方式为向右平移3个单位长度，

，平移后点A的对应点坐标为（2,-1）,

如图所示，设石（2,-1）绕原点。顺时针旋转90度后的对应点为凡分别过£、尸作x轴的垂线，垂足分别为

G、H,

：.ZOHF=NOGE=90°,

由旋转的性质可得ZEO尸=90。，OE=OF,

/./HOF+ZHFO=NGOE+ZHOF,

ZHFO=ZGOE,

：.,HFg,GOE（AAS）,

/.OH=GE,HF=OG,

£（2,-1）,

Z.OH=GE=1,HF=OG=2,

A/7（-1,-2）,

.,.点A的对应点H的坐标是（T,-2）,

2.（2024•淄博）如图，已知A,3两点的坐标分别为4（-3,1）,8（-1,3）,将线段平移得到线段CO.若

点A的对应点是C（l,2）,则点3的对应点D的坐标是.

【答案】（3,4）

【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，

上下移，横不变，纵加减.根据平移的性质，结合已知点A,B的坐标，知点A的横坐标加上了1,纵坐标

加1,则3的坐标的变化规律与A点相同，即可得到答案.

【详解】解：4（-3,1）平移后对应点。的坐标为C（l,2）,

.,.点A的横坐标加上了4,纵坐标加1,

8（-3,1）,

...点D坐标为（T+4,3+1）,

即（3,4），

故答案为：（3,4）.

A考向二平面直角坐标系

1.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线/的表达式为〉=乙点A的坐标为（3,0）,以。为

圆心，。4为半径画弧，交直线/于点瓦，过点与作直线/的垂线交x轴于点&；以。为圆心，。人为半径画

弧，交直线/于点纥，过点与作直线/的垂线交尤轴于点4；以。为圆心，。4为半径画弧，交直线/于点%

过点为作直线/的垂线交X轴于点4；••按照这样的规律进行下去，点4。24的横坐标是_______.

V八

/0A,A2A3A4x

【答案】21012

【分析】本题考查的是一次函数性质应用,等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴

于点〃，依次求出，找出规律即可解决.

04OA3,OA4,

【详解】解：作轴于点〃，

y八

/

均在直线y=x上,

/0HAXA2A3A4x

\OH=B.H,

\?BQH45?,

A

A(/2,0),OAt=0Bt,

\OBi=GA,=V2,

A/,?BQH45?,

\。g=44=夜，

\0Al=6OBI=亚0Al=2,

・•・4(2,0),

同理，0\=OB2=B2A3=2,

A3

OA3=V204=2/2=(V2),

4

同理，OA4=(A/2)

0A=（可

即点4必的横坐标是2KH2,

故答案为：21012.

考点二函数基础

A考向一函数基础知识——函数图象的应用

1.(2024•泰安)同一条公路连接A,B,C三地，B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、3地

同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两车之

间的距离y(km)与时间X(h)的函数关系.下列结论正确的是()

Q

A.甲车行驶］h与乙车相遇B.A,C两地相距220km

C.甲车的速度是70km/hD.乙车中途休息36分钟

【答案】A

【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为40-20=20(km)

两车行驶了4小时，同时到达C地，

如图所示，在1-2小时时，两车同向运动，在第2小时，即点。时，两车距离发生改变，此时乙车休息,

E点的意义是两车相遇，尸点意义是乙车休息后再出发，

，乙车休息了1小时，故D不正确,

设甲车的速度为akm/h,乙车的速度为6km/h,

根据题意，乙车休息后两车同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a<b

2&+20-2a=40

即b-a=10

40+20

在小-即时，乙车不动，则甲车的速度是一1—=60km/h,

，乙车速度为60+10=70km/h,故C不正确，

AC的距离为4x60=240千米，故B不正确，

设x小时两辆车相遇，依题意得，60%=2x70+20

QQ

解得：x即1小时时，两车相遇，故A正确

故选：A.

2.（2024•潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学

奖.某科研小组用石油酸做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提

取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：

提取时★以取书的森咐提取热度对青梭取率的*也

501001502002W提取时Me.35*0455055匹8取出电（

由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）

A.1OOmin,50℃B.120min,50℃C.100min,55℃D.120min,55℃

【答案】B

【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键.根据图像即可得到最佳时

间和温度.

【详解】解：由图像可知，在120min时提取率最高，

50℃时提取率最高，

故最佳的提取时间和提取温度分别为120min,50℃,

故选B.

3.（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步走

向8地.途中偶遇一位朋友，驻足交流1。min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min,跑步到

达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的

时间x（min）之间的函数关系.（）

那么以下结论：

①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；

②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；

③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后lOOmin；

④A,8两地之间的距离是11200m.

其中正确的结论有：

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当x=50时V第一次

为0,可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当x=86

时，丫取得最大值，最大值为3600,进而可得出结论②正确;③设甲的速度为xm/min,乙的速度为ym/min,

利用路程=速度x时间，可列出关于x,V的二元一次方程组，解之可得出x,V的之，将其代入86+——

x+y

中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,进而可得出结论③错误；④利用路程=速度

x时间，即可求出A,3两地之间的距离是11200m.

【详解】解：①;乙比甲晚出发30min,且当x=50时，y=0,

二.乙出发50-30=20（min）时，两人第一次相遇,

既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min,结论①正确；

②观察函数图象，可知：当x=86时，'取得最大值，最大值为3600,

甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确;

③设甲的速度为xm/min,乙的速度为ym/min,

(50-10)%=(50-30)j

根据题意得:

(86-30)j-(86-10)x=3600

x=100

解得:

y=20Q

36003600

86+------=86+=98

x+y100+200

甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误;

200x（86-30）=11200（m）,

二.A,3两地之间的距离是11200m,结论④正确.

综上所述，正确的结论有①②④.

故选:B.

A考向二函数基础知识——动点问题

1.（2024•泰安）如图，在菱形A3C。中，AB=10cm,ZABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE为

一边作NAEF=6O。，E尸交射线3C于点尸，连接8E,。尸.点£从点C出发，沿C4方向以每秒2cm的速

度运动至点A处停止.设△3EF的面积为yen?,点E的运动时间为x秒.

BC

备用图

求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

［答案］y=-V3x2+1OA/3X（O<x<5）；

【分析】过点E作小_LBC于N,解直角三角形得到EN=CE-sin60°=瓜cm,CN=CE-cos60°=xcm,可

得3N=3C-OV=（107）cm,由等腰三角形三线合一可得陟=2（10-x）cm,即可由三角形面积公式得到

'与x的函数表达式，最后由0<2xV10,可得自变量x的取值范围；

【详解】解：过点E作ENLBC于N,则NEVC=90°,

,/BE=EF,

：.BF=2BN,

:四边形ABCD为菱形，ZABC=60°,

Z.BC=AB=10cm,ZACB=-ZBCD=6Q°,

2

即NEQV=60。，

*.*CE=2xcm,

/o1

EN=C£.§ire6fl°=2xP—=jx,CN=CEcos60°=2x?-=x,

22

BN=BC-CN^（10-x）cm,

BF=2（10-x）cm,

Ay=1BFEN=gx2（10一x）x氐=一号+10后,

0<2^<10,

0<x<5,

y=—A/3X2+10\/3x（0<x<5）；

AD

2.（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,菱形及G//的顶点E,G在同

一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2y/3cm,ZE=60°,现将菱形ER市以1cm/s的速度沿方

向匀速运动，当点E运动到C£＞上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积

S（cm2）与运动时间《s）之间的函数关系图象大致是（）

【答案】D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，

先求得菱形的面积为64，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱

形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解.

【详解】解：如图所示，设EG,打交于点。,

,:菱形EFGH,ZE=60°,

HG=GF

又：NE=60。，

:是等边三角形,

,/EF=2V3cm,ZfffiF=60°,

ZOEF=30°

/.EG=2EO=2xEPcos30。=6EF=6

；・S菱形上柘"=gEG•收=：x6x26=6g

当0Vx<3时，重合部分为MNG,

如图所示，

依题意，.MNG为等边三角形,

运动时间为f，则NG=---="

cos3003

“EM6-t2A/3

卜—.........—-------—.......

依题意，EM=EG-t=6-t,贝IJ-sin60。一外一3

S=S菱形EFGH_SEKJ

=6—46T)2二—/产+m―]2用6

,:EG=6<BC

・,・当6<x«8时，S=673

当8Vx<11时，同理可得，5=6-2

当11cxM14时，同理可得，S=-疗

综上所述，当0VXV3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<xV6时，函数图象为开口向下的一段

抛物线，当6<xW8时，函数图象为一条线段，当8<*V11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当

时，函数图象为开口向上的一段抛物线;

故选：D.

新题制I

一、单选题

1.（24-25八年级上•山东济南•期中）在平面直角坐标系中，点4的坐标为（4,2）,过点/作口，》轴

于点6,连接Q4,作关于直线4。的对称图形，得到△AEO,AE交x轴于点R则点尸的坐标为

1'°C.(3,0)D.°4

【答案】B

【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，Z1=Z2,OB=OE=2,AE=AB=4,

ZE=ZABO=90°,得/2=/3,则AF=OF,^AF=OF=a,在RtZkEOB中，+所？=。/2,列出方

程求解即可.

【详解】解：点4的坐标为（4,2）,过点4作轴于点昆

AAB=4,OB=2,AB〃尤轴，贝l|Nl=N3,

由对称可知，N1=N2,OB=OE=2,AE=AB=4,ZE=ZABO=90°,

12=N3,贝I|AF=OP,

T^AF=OF=a,则EF=AE—AF=4—a,

在RtZkEOW中，OE2+EF?=OF?,即：22+（4-a）2=a2,

解得：0=3，

2

.•.点P的坐标为（|,o],

故选：B.

2.（23-24七年级下•广东汕头•期中）将VABC平移得到△A^G，若已知对应点和A（2租,2〃）,

则3（a,b）的对应点员的坐标为（）

A.（2a,2b）B.（a+m,b+n）C.（a+2,b+2）D.无法确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化一一平移，根据点/平移前后坐标判断出平移方式，即可求解.

【详解】解：；点A（S”）的对应点为4（2%,2〃），HP（m+m,n+n）,

.•.点A。%"）向右平移了/个单位，向上平移了〃个单位，

3（。,的对应点氏的坐标为，

故选B.

3.（22-23七年级上•山东烟台•期末）下列判断正确的是（）

A.点4（3,2）关于x轴的对称点坐标为点（-3,-2）

B•点4（-2,3）关于>轴的对称点坐标为点（-2,-3）

C.点A（-5,6）与点矶-5,-6）关于x轴的对称

D.点4（-5,-6）与点3（-6,5）关于y轴的对称

【答案】C

【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点横坐标相等，

纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数.据此逐个判断即可.

【详解】解：A、点A（3,2）关于x轴的对称点坐标为点（3,-2）,故A不正确;

B、点4（-2,3）关于y轴的对称点坐标为点（2,3）,故B不正确；

C、点A（-5,6）与点3（-5,-6）关于x轴的对称，故C正确；

D、点A（-5,-6）与点3（-6,5）不关于>轴的对称，故D不正确；

故选：C.

4.（24-25九年级上•山东泰安•期中）根据所学知识，你推测函数y=［的函数图象最可能是（

X

【分析】本题考查了反比例函数图象类型知识的推理，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键.

k

根据反比例函数解析式y=X0）进行推理即可求解.

【详解】解：：在函数y=±中，x在分母上，

丁・％w0,

当久>0时，y>0,%越大，）的值越小；

当x<0是，y<o,%越大，y的值越小；

二函数y=4的图象形如反比例函数丫=」的图象,

XX

故选：A.

5.（24-25七年级上•山东临沂•开学考试）从小我们就熟知各种成语或寓言故事,如图最符合下面（)

中描绘的场景.

A.水落石出B.刻舟求剑C.司马光砸缸D.乌鸦喝水

【答案】D

【分析】本题主要考查了折线统计图，根据统计图中水面随时间的变化关系，结合成语，逐项进行判断即

可.

【详解】解：图象表示水面先升高再不变，最后再逐渐减小，水落石出和司马光砸缸表示水面随时间逐渐

降低，刻舟求剑水面随时间是不发生改变的，乌鸦喝水是水面先升高，当水面到达瓶口后不再发生改变，

然后乌鸦喝了部分水后，水面再逐渐降低，故选项D符合题意.

故选:D.

6.（24-25九年级上•山东淄博•开学考试）明明从家出发去书店买书.当他走到一半路程时，突然发现

忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了.下面能反映明明活动情况的是

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据描述可知，小明从家出发到回到家经过了六个阶段，

分别是从家出发、返回家、在家拿钱、再从家出发、买书、回家，分别求出六个阶段路程与时间的关系即

可得到答案.

【详解】解：小明刚出发时，路程随时间增大而增大，返回家取钱途中，路程随时间增大而减小，直到小

明第一次返回家中时路程变为0,在家中取钱的过程中路程一直为0,再出发去书店时路程随时间增大而增

大，到达书店后买书的过程中路程保持不变，从书店返回家中的过程中路程随时间的增加而减小，故符合

明明活动情况的图象如下；

7.（23-24九年级下•山东聊城•期中）小亮和大刚利用周末进行跑步锻炼图中的函数图象表示了两人跑

步的过程（x表示小亮和大刚从起点出发所跑的时间，％,为分别表示小亮和大刚所跑的路程）.下列说

法：①两人出发后拉开的最大距离为尊米；②两人第一次相遇的时间是第40分钟；③两人两次相遇的时

间间隔13分钟；④两人第二次相遇时所走的路程是上詈米.其中全部正确的一项是（

)

C.①③④D.②③④

【分析】根据图中数据求出小亮和大刚在整个过程中的速度，然后逐项计算即可.本题考查一次函数的应

用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键.

【详解】解：根据图象分析：

0~10分钟,小亮跑完3000米，

速度为市-=300（米/分钟），

0~30分钟,大刚跑完2500米,

速度为鬻=等（米/分钟），

10~50分钟，小亮停止运动，

50~55分钟，小亮跑到5000米，

1Y、1,5000—3000/业•/八左山、

速7度n为---------=400（米/分钟），

35~60分钟,大刚跑到5000米，

速度为500°2s250°=100（米/分钟），

①根据图中％和%相差最大时X的值为10,

Lrn.=_annnAIZ.2502500o,

止匕时M3000米，y2=lOx-^―=―-—米,

y-%=3000—誓=誓(米),

故①正确；

②根据图象两人第一次在3000米处相遇，

此时小亮在停止阶段，大刚在35-60分之间,

（3000-2500）-100+35=40（分钟），

故②正确；

③两人第二次相遇时均处于运动状态，设此时时间为x,

M=3000+400(.x-50),

y2=2500+100(x-35),

3000+400.r-20000=2500+200x-3500,

左刀,曰160

解得x=—

根据②中计算，两次相遇间隔时间为与-40=孝（分钟），

故③错误;

④根据③中计算，在第岑分钟时,

与一

%=3000+400x(50)=^92（米），

故④正确.

综上，正确的选项为①②④.

故选：B.

二、填空题

8.（24-25九年级上•山东济宁•期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数＞=丁-3/+3工-1的图象,

发现它关于点（1,0）中心对称.若点4（0于M）,4（02%）,4（0.3,%）,……,4。（2,%））都

在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则M+必+%+……+%9+%0的值是.

【答案】1

【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出%+为+为+%+%+%9=。，

进而转化为求为）+%。，根据题意可得％=。，为）=1，即可求解.

【详解】解：•••这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,

.0.1+1.90.2+1.80.9+1.1,

222

%+%+%+—9++%9=°，

，%+%+为++%9+%0=%。+%0，而4。（1，°）即％0=。，

y=—3x~+3x—1,

当x=0时，y=-l,即

：（0,-1）关于点（1,0）中心对称的点为（2,1）,

即当x=2时，y20=l,

%+%+%++%9+%0=%。+%。=°+1=1，

故答案为：1.

9.（24-25九年级上•山东青岛•期中）在平面直角坐标系中，Rt0AB的位置如图所示，在直线OA上依

次取点A，4，&…从，使然=204,44=3。4,&A=4OA,…，4T4=（72+1）04,分别过点4,

4，4…A"作。4的垂线，交X轴于点耳，层，鸟…纥，依次连接Ag,4鸟，&与…4-纥.若△OAB

的面积为1,则4一出纥的面积=.

2

【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的性质与判定，先求出OA=（"+1）（"+2）OA,再证明

2

△OAgs△04纥得到人生="=（"+1）（”+2），根据三角形面积计算公式得到\OAAB=1,贝I]

ABOA22

S4”,,里=-（M+I）OA.^―—>AB=^―~>■

【详解】解：：M=2OA,AlA2=3OA,=4。4…4TA=("+1)04,

：.OAn=OA+AAi+AlA2++4"，

^OA+2OA+3OA++(n+l)OA

_("+l)(〃+2)

—cy/i，

2

VABLOA,A,tBn±OA,

/•AB//A„Bn,

△。心必必纥，

.a瓦一。4-("+I)5+2)

••--------------------------------,

AB0A2

•//xaiB的面积为1,

：.-OAAB=l,

2

.11/、(〃+1)(〃+2)(H+1)2(H+2)(n+1)2(H+2)

・・S4_14B„=-A-AA^=-(^1)^^一々―^AB=^—――^AB=^—V―1，

故答案为：("+1)5+2).

2

10.(2024•山东聊城•一模)在平面直角坐标系中，VAOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0),把VA03

按如图所示的方式放置，并将VA03进行变换：第一次变换将VA03绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长

扩大为VA03边长的2倍，得到第二次变换将△AO片绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为

△4。耳边长的2倍，得到△4。不，...,依此类推，得到:&)24。82024，则点4(124的坐标为.

［答案］(-22023,-22023X^)

【分析】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用.根据旋转角度为60。，可知每旋转6次后点力又回到

2024

X轴的正半轴上，故点4。24在第三象限，MOA024=2,即可求解.

【详解】解：:VAOB为等边三角形，点/的坐标为(1,0),

OA=1,

:每次旋转角度为60。，

,6次旋转360。，

第一次旋转后，A在第四象限，。4=2,

第二次旋转后，为在第三象限，04=2：

第三次旋转后，4在x轴负半轴，04=2?,

第四次旋转后，4在第二象限，04=2、

第五次旋转后，4在第一象限，。&=25,

第六次旋转后，4在轴X正半轴，。4=26,

……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴,

：2024+6=3372,

二点4必在第三象限，且。4必=22024,

OH=。/48S=2-XCOS60O=22.，

=。/4•sinNHO&"2皿"与=&2比'

•••点4024的坐标为卜2皿3,一22023*班).

故答案为：卜?2023,_22°23X6).

三、解答题

11.(24-25八年级上•山东青岛•期中)如图，猴山的坐标为(-3,4),孔雀园的坐标为(0,2).

(1)车站的坐标为」

(2)现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为」

(3)在(2)的条件下，若一位游客游玩路线为：大门一小凉亭一虎山一孔雀园一车站，则这一总路线的长

度为一单位长度.

【答案】(1)0,0)

⑵(T2)

(3)20+2指+2

【分析】本题主要考查了坐标确定位置，两点间距离公式，线段垂直平分线的判定，解题关键是根据已知

条件，画出平面直角坐标系.

(1)根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案；

(2)可知小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点，即可

求解；

(3)根据两点间距离公式求出各路线长，再相加即可.

【详解】(1)解：由题意得，建立平面直角坐标系，如图：

故答案为：(1,0)；

(2)解：•.•小凉亭到猴山、大门、车站的距离都相等，

••・小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点,

小凉亭的坐标为(T,2),

故答案为：(-1,2)

(3)解：由坐标系得大门坐标为(-3,0),虎山坐标为(0,4),而孔雀园坐标(0,2),车站的坐标(1,0),小凉亭

的坐标(-1,2)

大门到小游亭的距离为：7(-3+1)2+(0-2)2=272,小游亭到虎山的距离为：J(-l-Op+(2-4)2=5

虎山到孔雀园的距离为：4-2=2,孔雀园到车站的距离为：J(1-0『+(2-=6,

总路线的长度为：2立+五+2+君=2夜+2君+2,

故答案为：2夜+2&'+2.

12.(24-25八年级上•山东潍坊•期中)已知，在直角坐标系中，点/是x轴上的一点，且点力的坐标为

(-2,0).

(1)如图1,点8的坐标为(0,-4),以4点为顶点，42为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC.求点C的

坐标；

⑵如图2,尸是y轴负半轴上任意一点，点户的坐标为(0,爪).以尸为直角顶点，P4为腰作等腰直角三角

形APD,且点，在第四象限，点〃的纵坐标为〃，请猜想加与〃的等量关系并证明.

【答案】⑴(-6,-2),详见解析

(2)n-m=2,详见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，

(1)过C作CM_Lx轴于〃点，由“AAS”证明AM4c2可得出。0=。4=2,MA=OB=4,即

可求点C坐标；

(2)如图2,如图2,过，作DQLO尸于0点，可证四边形。瓦＞。是矩形，可得OE=QD,DE=OQ,即

OP=PQ+OQ=DE+PQ=-m,由“AAS”可明aAOP四二P£>Q,可得QP=49=2,进而代入即可得

n-m=2；

正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键.

【详解】(1)771(-2,0),5(H),

：.OA=2f03=4,

过。作CMLx轴于〃点，如图1,

AZMAC+ZOAB=90°,ZOAB-^-ZOBA=90o,

：.ZMAC=Z0BAf

在△M4C和△OBA中，

ZCMA=ZAOB=90°

<ZMAC=ZOBA,

AC=BA

.・・咨OBA(AAS),

：.CM=OA=2,MA=OB=4,

：.MO=AO+AM=2+4=6,

・••点C的坐标为(-6,-2)；

(2)如图2,过〃作。尸于。点，

图2

VDQLOP,Z)E_Lx轴交x轴于点£,ZPOE=90°,

・・・四边形OMQ是矩形，

/.OE=QD,DE=OQ,

OP=PQ+OQ=DE+PQ=-m,

ZAPO+ZQPD=90°,ZAPO+ZOAP=90°,

ZQPD=ZOAP,

在jAOP和△尸QO中，

ZAOP=ZPOD=90°

<ZQPD=ZOAP,

AP=PD

・•._AOaPQD（AAS）,

・・.QP=AO=2,

・・,〃在第四象限，点〃的纵坐标为77,

QP=OP—DE=—m—（―H）=2,

/.n-m=2.

13.（24-25九年级上•山东淄博•阶段练习）小慧和小钮同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中,

画出了如下四个二次函数的图象（其中4大0）

抛物线4：X=G?+6X+C,抛物线4：%=-办2+bx+c，抛物线4：%=以2-灰+c,抛物线

l,-y^ax2+bx-c.发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系：

（1乂可以通过得到。（填平移、轴对称或中心对称）；

（2）在下面的说法中，正确的是（填序号）

①4和。关于原点（。，0）中心对称；

②4和4关于点（QC）中心对称；

③4和4关于直线y=。轴对称，但不成中心对称.

【答案】（1）平移

⑵①②

【分析】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点（或

直线）的对称点.

（1）观察解析式可得答案；

（2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可.

【详解】（1）解：4可以通过平移得到乙，

故答案为：平移；

（2）抛物线y=-"?+桁+。关于原点（0,0）对称的抛物线解析式为-y=-a（-域+。（-x）+c,即

2

y=ax+bx-c9

■■h和Z4关于原点（0,0）中心对称,故①正确；

设（x,加+尿+c）为抛物线/］上任意一点，其关于（0,C）的对称点坐标为（一匹-办2一区+C）,

_ax^—bx+c——a(—x)+b(—x)+c,

（^-x,-ax2-bx+c^在抛物线y=-ax2+bx+c±.,

即抛物线4上任意一点关于（0©的对称点都在k上，

和，2关于点（0,C）中心对称，故②正确；

设卜,-62+云+9为抛物线4上任意一点，其关于直线y=c的对称点为k,依2-反+。），

（天,加-瓜+°）在抛物线7=0^-取+4:上，

•■•4和4关于直线,=。轴对称，

2

（x,-ax+for+c）为抛物线12上任意一点，其关于（与,c）的对称点为（-尤+，,加-Zzx+c）,

.（方丫/6）

ax2—bx+C=41—X4——b\—X~\—|+C,

b

2

（~x+—,ax-bx+c）在抛物线y=QR2一万工+。上，

a

h

即抛物线6上任意一点，其关于（二,C）的对称点都在抛物线4上，

2a

h

•••抛物线k和抛物线4关于（=，C）对称，故③错误；

2a

・•・正确的有①②，

故答案为：①②.

14.（22-23七年级下•山东济南•期末）如图是小亮放学回家的路程与时间之间的关系折线图，其中t

表示时间，s表示离开学校的路程.请根据图像回答下面的问题：

八s（km）

3.5---------------入

u510152025/（分）

（1）这个折线图反映了哪两个变量之间的关系;

⑵求当f=5时的s值