内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（解析版）

2024-2025赤峰市红山区高二年级上学期期末考试

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写消楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码

粘贴区.

2.选择题必须使25铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

2

__A={X|X-3X-4<0）B={xeN|2-x>0）A»_/、

1.已知集合I।11>,则“Il万一（）

A.{3,4}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.[2,3,4）

【答案】B

【解析】

【分析】由解一元二次不等式解出集合A,再由交集的运算求出最后结果即可.

【详解】由题意可得A={x[—1<XK4},B={xeN|x<2},则A5={0,1}.

故选：B.

2.一组数据1,1,3,4,5,5,6,7的第25百分位数是（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数的概念计算即可求解.

【详解】由题意知，该组数据共有8个，贝^=0.25x8=2

所以第25百分位数为10=2.

2

故选：B

3.平行直线《：2x+y-5=0与6：%一功+5=0之间的距离为（）

A.6B.2行C.3A/5D.5亚

【答案】C

【解析】

【分析】先通过平行求出6,再利用平行线的距离公式求解.

21-5

【详解】因为/1〃4,所以bwO,—=—w——，

1-b5

解得人=—3,所以/2：2x+y+10=0,

故两平行直线间的距离a==3石.

V4+1

故选：C.

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天

健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的

路程为（）

A.6里B.5里C.4里D.3里

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以g为公比的等比数列，由$6=378求得首项，再由等比数

列的通项公式求得该人最后一天走的路程.

【详解】记每天走的路程里数为｛4｝,可知｛4｝是公比的等比数列，

"[I-/

由弟=378,得§6=<'=378，解得：4=192,

1--

2

/.a,-192x士=6.

625

故选：A.

2-

5.如图，空间四边形Q4BC中，。4=〃，OB=b，OC=c，点加在Q4上，且点N为

5C中点，则MN等于（）

o

1.171.B.-2/+L

A.—a+—b——c

222322

22,122,1

C.—CLH—b—cD.—a+—b——c

332332

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.

【详解】MN=MA+AN=^OA+^AB+AC^

=1(9A+|((9B-(9A)+1(OC-OA)

=--OA+-OB+-OC

322

21,1

=——a+—b+—c.

322

故选：B.

2

6.已知圆。1：(X+3)2+y2=81和。2：(X-3)+/=1,若动圆尸与这两圆一个内切一个外切，记该

动圆圆心的轨迹为则M的方程为()

22222222

A.%----1--y---=11B.土+乙=1—।—1D.土+乙=1

1672592516169

【答案】C

【解析】

【分析】设动圆半径为R.根据圆与圆的位置关系可得|C2Pl=&+火，|GP|=4—尺，再利用椭圆的定义得

到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程.

22y2=i

【详解】圆G：(x+3)+y=81WC2：(x—3)2+的圆心和半径分别为

£(—3,O)"=9C(3,O"=1,

由|GG|=6<9—1=8可知圆C2内含于圆G内.

设动圆半径为R,

由题意可得|QP卜乃+H，|G"=4—H，

两式相加可得IPC1I+\PC2\=q+72=1。>IC1C2I=6,

故点尸的轨迹为以G(-3,0),。2(3,0)为焦点的椭圆，其中2a=10,2c=6,

所以。2=25,b2—a2—c2—16.

22

所以椭圆方程为土+匕=1.

2516

故选：C.

7.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点厂的直线/与抛物线C交于点4,B,若AE=2q,若直线/的斜

率为k,则仁()

A.2A/2B.-2V2C.2形或-2版D.0或—叵

【答案】C

【解析】

【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线/的斜率.

【详解】当A在X轴上方时，过A3分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为4，吕，过3作

于D,设但到=「，贝U|AB|=3r,|AD|=r,所以忸。|=qAB?-W,

所以k=tan^BAD=画1=其变=2拒，

ADr

同理可得当A在x轴下方时，左的值为—2后，

故选：C.

8.我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.在封闭的鳖膈

P—ABC内有一个体积为y的球，若E4_L平面ABC,AB±BC,PA=AB=BC^1,则V的最大值

是()

A5a+3口5兀50—7n327r

A.------兀D.--C.------兀D.-------

6363

【答案】C

【解析】

【分析】确定球体积最大的特征，再利用三棱锥的体积等于其表面积与内切球半径积的三分之一求出球半

径，进而求出球的体积.

【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由上4J_平面ABC,A3,AC,BCu平面ABC,

可得PA，AB,PA，AC,PA，3C,

又PAcA3=4己4,45<=平面八钻，所以8C_L平面八IB,

因为PBu平面所以5C_LP3,所以PB=AC=J5，

设此时球的半径为七则/Y5C=(R(SMC+S尸然+S抬c+SPBC)，

即lx1x1=,7?.(工x1x1+1x1+1x0+1x0),解得R=拒—,

32322222

所以球的体积V的最大值为g兀.((1)3=5牛7兀.

故选：C

p

二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.口袋中装有大小质地完全相同白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=”取出的

两球同色”，事件3="第一次取出的是白球“，事件C=”第二次取出的是白球“，事件"取出的

两球不同色”，则（）

AP（3）=；B.3与C互斥

C.A与3相互独立D.A与。互为对立

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A,根据互斥事件的概率即可判断

B,根据相互独立事件的定义判断C,根据对立事件的概率即可判断D.

【详解】设2个白球为4,%，2个黑球为4,仇,

则样本空间为：

。川师生乂生⑶也也），（。2，。1），（。2，么），（。2也），（4，%），01，%），0］也），02吗102，%），02,4）｝，共12个

基本事件.

事件4=｛（弓，4），（《29），3也），92也）｝，共4个基本事件；

事件3=｛（4,42），（4，4），（《1，4），（。2，«1），（。2,4），（。2）2）｝，共6个基本事件；

事件C=｛（q,%），（&，，共6个基本事件；

事件。=｛（4,乙）,（《力2）,（4,4），（。2为2），39），（如。2），（4，％），（么，。2）｝，共8个基本事件,

对于A,由P（3）=g=工，故A正确；

V7122

对于B,因为3CH0,所以事件B与C不互斥，故B错误；

对于C,因为尸（4）=巴=1，=—=—,=—=—,

123122126

则P（A5）=尸（A>P（3）,故事件A与B相互独立，故C正确；

对于D,因为Ac£>=0,A.0=0,所以事件A与。互为对立，故D正确.

故选：ACD.

22

10.已知曲线C：」—+二_=1,则（）

2—m6—m

A.当机<2时，曲线。是椭圆

B.当爪=3时，曲线C是以直线y=±Gx为渐近线的双曲线

C.存在实数优，使得。过点（1,1）

D.当相«2,6）时，直线1=无总与曲线C相交

【答案】ABC

【解析】

【分析】A：根据2-机,6-m的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程;

C：代入（1,1）于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑机=4时的情况.

2—m>0

22

【详解】当田<2时，\6-m>0,所以方程+3_=1表示曲线是椭圆，故A正确；

,r2—m6—m

2—m丰o-m

2

当m=3时，方程为2-—%23=1,所以4=代/=1,其渐近线方程为y=±@x,即y=±氐，故B正

3b

确；

令--—+—-—=1,整理得加一6/〃+4=0（加/2且加/6）,此方程有解，故C正确；

2—m6—m

22

当机=4时，曲线C为双曲线乙-上=1,直线y=x为C的一条渐近线，此时无交点，故D错误.

22

故选：ABC.

11.已知圆C:_?+(y—I7=5,直线/:x—2y—8=0,点尸在直线/上运动，直线B4,PB分别切圆

C于点A,8.则下列说法正确的是()

A.四边形24cB的面积最小值为56

B.M为圆C上一动点，则快。|最小值为2行

C.|PA|最短时，弦直线方程为2x—4y—1=0

D.|PA|最短时，弦AB长为后

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理

计算求解.

【详解】对于A,由切线长定理可得|下刈=归用，又因为|C4|=|CB|,所以

所以四边形A4cB的面积S=2S,Ac=|"|•|AC|=，

因为|PA|='c砰_(川2=1cp『5,当CPU时，|CP|取最小值，且|CP|mm=一下\=2下,

所以四边形PACB的面积的最小值为s=&XJ(2⑹2一5=5G,故A正确；

对于B,因为|CP|.」。-〈匚底所以"P最小值为|CP|.-厂=2百一石=石，故B错误；

IIminv\Imin

对于C,由题意可知点A,B,在以CP为直径的圆上，设尸(2a+8,a),

其圆的方程为：(x-a-q=(2。+8)：(。-1)?,

化简为X?—(2a+8)%+y2—(〃+]),+〃=0,与方程f+(>—=5相减可得：

(2〃+8)x+(〃—1)y—(〃+4)=0,

则直线AB的方程为(2a+8)x+(a—l)y—(a+4)=0,当|弘|最短时，CP工I,则上二义工=—1,

2a+82

解得〃=—3,故直线的方程为2x—4y—1=0,故C正确;

当|P4|最短时，圆心C到直线2x—4y—1=0的距离d==6,

对于D,

2,52

所以弦A3长为2,/—/=2卜；=而,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的

公共弦方程的求解，求出直线方程，然后利用垂径定理求出弦长.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知复数2=——，则闫一5=_________.

1-i11

【答案】l+i##i+l

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简复数，再求其共轨复数和模长代入即可.

1+i_(l+i)(l+i)_2i

【详解】依题意,则|z|=l,z=-i,

1-i—(l-i)(l+i)—2

所以|z|-z=l+i.

故答案为：1+i.

13.已知空间向量a=（2,—2,1）,&=（3,0,4）,向量。在向量B上的投影向量坐标为

【答案】与

【解析】

【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可.

【详解】由投影向量的定义可知，

Wa-bWb=伊仔10钙小八，八。，八4）=不2（八3,八0,八4）七（6八。"8、

故答案为：f—

14.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三

角”拓展而成的三角形数阵，记a“为图中虚线上的数1,3,6,10,依次构成的数列的第〃项，则

1111

—+—+—++---的值为.

I4/4I

I5)61051

【解析】

【分析】直接利用叠加法求4,裂项相消法求出数列的和.

【详解】根据题意：4-。1=2,。3-4=3，L,a“一a吁i=〃,

利用叠加法：a”-童=2+3+4+L+九,

,1+1)

由4—I,%—1+2+3+4++〃=-------.

所以一二2x

200

贝---1--------1--------F+—=2

dyCl?CI3%00loi■

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC中角的对边分别为"c,acosC+y/3asinC-b-c-O-

(I)求A；

(2)若。=出，且VABC的面积为3石，求VA3C周长.

TT

【答案】（1）-

3

（2）7+9

【解析】

【分析】（1）由己知和正弦定理可得答案；

（2）由面积公式和余弦定理可得答案.

【小问1详解】

由acosC+6asinC-6-c=0和正弦定理可得sinAcosC+esinAsinC-sinB一sinC=0，

sinAcosC+^sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0,

因为0<C<»，所以sinCwO,

所以7§sinA_cosA=l，=A--^e

【小问2详解】

SARr--bcsinA-^-be-3y/3>be=12,

-ABC24

又a?=b2+c2-2bccosA=[b+c）"—2bc—bc=13,

.\b+c—7,

a+Z?+c=7+,13，

VABC的周长为7+而.

16.在等差数列｛4｝中，%=7，/+2%=35,数列出｝的前〃项和为S“，且32一25“=1.

（1）求数列｛q,｝和｛%｝的通项公式;

（2）若c“=F求数列｛%｝的前几项和r“.

n

【答案】（1）«„=2/7-1,bn=3-'

（2）1=3-4

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,根据已知条件求出d的值，结合等差数列的通项公式可求得数

列｛%｝的通项公式；令〃=1,可求得伪的值，当〃22时，由3包一2s“=1可得2S,i=1,上述两

个等式作差可推导出数列｛bn｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列他“｝的通项公式；

（2）利用错位相减法可求得

小问1详解】

解：设等差数列｛q,｝的公差为d,

则ctj+2%=%—d+2（%+4d）=3a4+7d=21+7d=35,解得d=2,

所以，%=%+（〃-4）d=7+2（〃-4）=2〃-1,

数列｛bn｝的前n项和为Sn,且3bn-2S,=1,

当〃=1时，则有32-2S］=4=1,

当〃22时，由3优一2S“=1可得3bn_｝-2sl=1，

上述两个等式作差可得3包-3b,I-22=0,即2=3%,

所以，数列｛〃｝是首项为1,公比为3的等比数列，则勿=1X3"T=3"，

【小问2详解】

a2n-11352H-1

解：因为「子=亍］,则小三+要+系++行丁,①

132n—32n-l„

可用+『+一，②

-22（“+1）

3"

故雹=3-畀

17.某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了〃位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制

按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在［70,80）中的市民有200

人.心理测评评价标准

调查评

[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

分

心理等

°CBA

级

（1）求〃的值及频率分布直方图中/的值；

（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75,则只管发放心理指导资料，

否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理

由.（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分+100）

（3）在抽取的心理等级为。的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进

行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在［40,50）的市民的心理等级转为8的概率为

；,调查评分在［50,60）的市民的心理等级转为8的概率为;,假设经心理疏导后的等级转化情况相互独

立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为8的概率.

【答案】（1）〃=1000,Z=0.002

（2）不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解

⑶-

9

【解析】

【分析】（1）根据调查评分在［70,80）中的市民有200人，且频率为10x0.020可求出〃的值，再由各组频

率和为1列方程可求出/的值；

（2）根据频率分布直方图结合平均数的定义求出调查评分的平均值，再计算出心理健康指数比较即可；

（3）根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求出抽取的调查评分在［40,50）和［50,60）中的人数，然后

根据相互独立事件的概率公式求解即可.

【小问1详解】

由已知条件可得n=200=1000,

0.02x10

又因为每组的小矩形的面积之和为L

所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8r）xl0=l,解得/=0.002；

【小问2详解】

由频率分布直方图可得，

45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7,

QQ7

所以市民心理健康指数平均值为——=0.807>0.75.

100

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

【小问3详解】

由（1）知：r=0.002,则调查评分在［40,50）中的人数是调查评分在［50,60）中人数的;,

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在［40,50）中有1人，在［50,60）中有2人，

设事件"在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B-.

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

,八/i1223123214

',4334334339

4

故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为一.

9

18.如图，在四棱锥尸―ABCD中，平面平面ABCD.ADLDCAB”。。，

===为棱PC的中点.

2

(1)证明：9//平面B4Z＞；

(2)若PC=«,PD=\,

（i）求二面角尸—QM—5的余弦值;

(ii)在线段A4上是否存在点。，使得点Q到平面的距离是汉5?若存在，求出尸Q的值；若不

9

存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)—1；(ii)存在，「。=还

63

【解析】

【分析】(1)通过证明四边形A5MN是平行四边形，可得AN,即可证明；

(2)(i)建立空间直角坐标系，利用向量法求解；(ii)利用点到面距离的向量法求解即可.

【详解】(1)取的中点N,连接AN,MN,如图所示：〃为棱PC的中点，

四边形ABMN是平行四边形，二K欣AN,

又仁平面PAD,ANu平面PAD,r.//平面PA£).

(2)PC=y/5,PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2,/.PDLDC,

:平面平面ABCD,平面POC平面ABCDuQCPDu平面PZ)C,

..PD,平面ABC。，

又AD,CDu平面AB。,；.PDLAD,而PD，CD,AD，DC,以点。为坐标原点,

以。6,。「所在直线分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，

如图：则P(O,O,1),£>(0,0,0),A(l,0,0),C(0,2,0),

加为棱PC的中点,

(i)DM=(1,1,0),

设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z),

n-DM=y+—z=0

则2，令z=2,则y=—l,x=L/.〃=(1，-1,2),

n-DB=x+y=0

平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0),

・•.cos5m=3^=3=两

|n||DA|lxV66

根据图形得二面角尸—DM—6为钝角，则二面角尸—£)•暇—B余弦值为-亚

6

(ii)假设在线段PA上存在点。，使得点Q到平面BDM的距离是友，

9

设PQ=XPA,O</1<1,

则Q(4,0,1—；l),题=(4—1,-1,1_4)，

由(2)知平面的一个法向量为“=(1,T,2),

B2-/7=A-l+l+2(l-2)=2-2,

/.点Q到平面BDM的距离是

\BQ-n\_2-A_246

I利一丁一丁'

22-41

33

22v2

19.“曲线M”：由半椭圆二+4=1(x20)与半椭圆二+=1(x40)组成，其中

a?b2瓦

a>Z?>c>0.如图，设点£耳,鸟是相应椭圆的焦点，A，4和稣鱼分别是“曲线V”与羽丁轴的交点,

N为线段44的中点.

(1)若等边三角