辽宁省大连市三校联考2025届高三年级下册模拟考数学试卷（含答案）

辽宁省大连市三校联考2025届高三下学期模拟考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={1,2},B={xeZ?|log2（x-1）<1},则4nB=（）

A.0B.{1}C.{1,2}D.{2}

2.复数z=M，贝厉在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字

7时，另外一面必须写着字母从你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪

些牌？（）

4.若正实数x,y满足xy+x+y=3,贝卜+y的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级,也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼

准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（）

34

AA-ioC-|D7

6.墙上挂着一幅高为Izn的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画.将画上端一点

4、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点4B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为

最佳视角.若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为

）

A-D

-3B手!

7.已知点M是椭圆C4+\=l（a>6>0）上的一点，%,F?分别是。的左、右焦点，且“峥=60。,

点N在N&M七的平分线上，。为原点，ON//M&,\ON\=b,贝的离心率为（）

A夕B迫C2D±

A.3B.7C-3”7

,cl

8.Vx6(0,+8),不等式e%+1>2(a2x+pin(a%)恒成立，则正实数a的最大值是().

A.B.yj~eC.yj~e-1D.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=Zsin®%+0)(Z>0,3>0,0<0<〃)，若f(%)及其导函数/'(%)的部分图象如图所示,

A.f(x+7T)=/(%)B.函数f(x)在珞,刍上单调递减

C.1⑺的图象关于点(一也0)中心对称D./(%)+/'(©的最大值为?

10.已知正四棱锥”-4BCD的棱长均为2,下列说法正确的是()

A.平面M4B与平面4BCD夹角的正弦值为苧

B.若点尸满足乔=4瓦？+4而+(1-4—〃)前，则|而|的最小值为学

C.在四棱锥M-ABC。内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为16-8门

D.点Q在平面2BCD内，且|丽|=2|丽则点Q轨迹的长度为今

1

11.设数列｛即｝满足斯+1=w-5%1+9,=5,记数列｛——J的前n项和为％,则()

an-^

11

A.与+1>anB,瓦<1806x1807

1

D如<

C.0202545+(2)20252-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知事函数/(久)=(2a+3)xa,写出一个使得不等式一1<f(3-2久)<成立的自然数久的值_____.

13.点M为圆C:(x—l)2+(y+1)2=1上的一个动点，点N(l,0),则向量丽在加方向上的投影数量的最

大值为•

14.记max｛a,b,c｝表示a,b,c三个数中的最大数.若函数/(%)=ln(2ax2-bx+c)(a>b>c>0)的值域为

K则max后,黑｝的最小值为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，已知在四棱锥P-4BCD中，PD_L平面4BCD,四边形4BCO为直角梯形，AD1CD,AB//CD,

AB=ADPD2,CD=4,点E是棱PC上靠近P端的三等分点.

(1)证明：PA〃平面8DE;

(2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.

16.(本小题15分)

为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的

次数与年龄，得到如下的频数分布表.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

次数

每周0〜2次70553659

每周3y次25404431

每周5次及以上552010

(1)若把年龄在［20,40)的锻炼者称为青年，年龄在［40,60］的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称

为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值a=0.01的独立性检验判断体育锻炼

频率的高低与年龄是否有关联；

(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8

人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在［30,40)与［50,60］的人数分别为X,Y,f=\X-Y\,求f

的分布列与期望；

(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中

选择一种，己知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期

天选择跑步的概率分别为最I，I，求小明星期天选择跑步的概率.

2

n(ad-bc)

(参考公式：2?i=a+b+c+d.)

Z=(a+b)Q+d)(a+c)(b+d)'

附:

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.(本小题15分)

已知函数f(%)=In%—ax+1,aER.

(1)讨论函数/(%)的单调区间；

(2)若曲线/(%)在％=2处的切线垂直于直线y=2%,对任意％E(0,+8),/(%)+b］—240恒成立，求实

数b的最大值；

(3)若%0为函数g(%)=%［/(%)+In%-2］的极值点，求证：2ax0<ex°-1.

18.(本小题17分)

如图，直线k：%=my+几1与直线，2：%=my+n2,分别与抛物线T:y2=2Px(p>0)交于点4B和点C,

D(4。在久轴同侧)，线段AC与BD交于点从当人经过T的焦点F时4B两点的纵坐标之积的等于-)，

4

(1)求抛物线r的标准方程；

(2)线段4C与BD交于点”，线段力B与CD的中点分别为M,N

①求证：M,H,N三点共线；

②若21HMi=\HN\=2,求四边形力BCD的面积.

19.(本小题17分)

已知是无穷数列，是数列｛心｝的前几项和，对于?i,k,mEN*,给出下列三个条件：

①即eN*;②(71-m)Sn+m=(n+m)(Sn-Sm);®an_k+an_k+1+…+an_r=man(n>k);

(1)若an=2nT,对任意的n,meN*,数列｛an｝是否恒满足条件②，并说明理由；

(2)若m=1,数列｛厮｝同时满足条件①②，且a2025=4050,anan+1,求数列｛时｝的通项公式;

(3)若k=2,数列｛厮｝同时满足条件①③，求证：数列｛an｝为常数列.

参考答案

l.D

2.5

3.B

4.B

5.C

6.A

l.B

S.A

9.AB

10.BCD

11.ABD

12.3或4

13.2

14-

9

15.解：（1）证明：因为PD1平面力BCD,"DC=90。，

以点。为坐标原点，DA,DC,DP分别为乃y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

L144

则4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),

DB=(2,2,0)，DE=(0,$。，

设平面BDE的一个法向量为沅=(x,y,z),

的福_n[2%+2y=0

贝U巴,丝一°,即4,4八，令X=l,则访=(1厂1,1),

y-m-DE=03+/=0

又刀=(2,0,-2)，

可得两♦访=0，即可1万,

因为P4C平面BDE,

所以PA〃平面BDE；

(2)因为B(2,2,0)、C(0,4,0)P(0,0,2),

设平面PBC的法向量为元=(久,y,z),且标=(0,-4,2)，CB=(2,-2,0)，

,(n-CP=-4v+2z=0

则ni(一一，

In-C5=2x-2y=0

取x=1,可得元=(1,1,2),

由(1)知，平面BDE的一个法向量为沅=(1,—1,1),

所以cos<m,n>=品=7^=年’

因此，平面BDE与平面PBC夹角的余弦值为苧.

16.解：(1)零假设生：体育锻炼频率的高低与年龄无关,

由题得2x2列联表如下:

青年中年合计

体育锻炼频率低12595220

体育锻炼频率高75105180

合计200200400

400x(125x105-75x95)2

Z2-9.091>6.635,

~200x200x220x180-

根据小概率值a=0.01的独立性检验推断为不成立,

即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.0L

(2)由数表知，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的8人中，年龄在［30,40),［50,60］内的人数分别

为1，2,

依题意，f的所有可能取值分别为0,1,2,

所以p(f=0)=p(x=o,y=0)+P(X=i,y=1)=1+警=|1,

p(f=i)=p(x=O,Y=I)+P(X=i,y=o)+p(x=i,y=2)=等+•+*=||,

p(f=2)=p(x=o,y=2)=a=^，

所以f的分布列为:

pi™

565656

所以f的数学期望为E(9=oxg+lxg+2x^=g.

□ODO30DO

(3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件4,B,C,星期天选择跑步为事件。

则p(a)=",P(B)=g,P(c)=g，

P(DM)=31,P(D2|B)美，P(D|C)号2，

所以P(D)=P(4)P(D|X)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C),

7

Hpnpc,r)、=-1x-1+,-1x-2+,-1x-2=

g(015

即小明星期天选择跑步的概率为

17.解：(1)「(久)=|-a(x>0),

①当aW0时，f(x)=|-a>0,即函数f(x)的递增区间为(0,+8),

②当a>0时，令/(久)=(—a=0可得%=[,

当0<久<工时，f(x)=三巴>o,当x>工时，/(久)=—<0.

故函数〃久)的递增区间为(0,£),递减区间为(1+8)；

综上可知，当aWO时，函数/(X)的递增区间为(0,+8).

当a>0时，函数/(X)的递增区间为(0,；),递减区间为弓,+8)；

(2)函数/(X)在x=2处切线斜率为—；，/(2)=—；,解得a=l,

则f(%)=仇％—%+1,

即对任意xG(0,4-00),Inx—%+/?%—1<0恒成立，b<^+1—等,

令/i(x)=：+1—半，"(%)=ln^2~，令"(%)=0，得％=，，

则/i(x)在(0,e2)上单调递减，在02,+8)上单调递增，

•••h(X)min=八④)=1-^,即bW

故实数b的最大值是1-'

(3)g(%)=%[/(%)+Inx—2]=x(2lnx—ax—1)“(%)=2Inx-2ax+1

又因为x0为函数g(%)的极值点，所以g'Oo)=2仇%0-2ax0+1=0,

xx

则2a%g=2xolnxo+%0要证2ax^<e°—1,只需证2%。仇％0+x0<e°—1,

令(p(x)=2xlnx+x—ex+1,

易证靖>%+1在(0,1］上恒成立，

(令m(x)=ex—x—=ex-1>0(%>0),m(x)在(0,1］单调递增，m(x)>m(0)=0,ex>

%+1)

・•・当％£(0,1］时，(p(x)=2xlnx+(%+1—ex)<0显然成立；

当久e(1,+8)时，有Inx<%—1(下证),xlnx<%(%—1),

2xlnx+(%—ex+1)<2x(%—1)+(%—+1)=2x2—x—ex+1

(令n(x)=Inx—%+1,九'(％)=：—1V0(%>1),n(x)在(1,+8)单调递减，n(x)<n(l)=

0,Inx<%—1)

故只需证2x2-%-ex+l<0成立,也即证明2、<1,

ex

令t(x)=^2--1,则t，(x)=一",产-1),...X在Q4单调递增,(2,+吟单调递减,

7

ft(%)<ft(2)=/<1,.•・2x2—x+1<ex,当％E(1,+8)时,9(%)=2xlnx+(x—ex+1)<0成立.

综上所述，2axo<ex°-1成立.

18.1?：(1)因为抛物线焦点为《,0)@>0),

则与=mx0+n-t,即九i=1,

所以直线，1：%=my+1,

代入抛物线方程可得：y2=2p(jny+1)=y2=2pmy+p2,

即y2_2pmy_p2=0,

则为LVB=一22，

由题意-p2=-i,解得p=I，

4Z

所以所求抛物线方程为必=x.

(2)①证明：设4(久1，%),3(久2，%)，C(久3，、3)，。(久4，％)・

x

若打=刀2，3—x4,则直线4B,CD斜率不存在，

由对称性，可知M,N,"均在x轴上，则M,H,N三点共线；

若乂1K右，尤3力乂4，则直线斜率存在，

直线ZB方程为：y二学二+y「结合方=/,据=%2,

儿2人1

则丫=T~T（比一/）+%今（,一彳乂彳一巧）+比="0Si+y）y-y，2="，

x2~xl丫2一丫12

同理可得c。方程：（、3+y4）y-y3y4=%，zc方程：（%+乃））7-%）^=久，

BD方程：（%+y4）y-y2y4=久.

设”（如,旷“），N（xN,yN）,

因48〃C。，则为+y2=y3+y4今女受=区普今VM=VN-

则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC,BD交点为P（孙,yp）,Q（xQ,yQ）.

将y=空代入直线4c方程，

则与=（为+内）•?一为乃="贷》

将y=空代入直线BD方程，

则%=5+”）•华-尔4=嵬

注意到孙~XQ=光+22+13）一巧」3一光一旷3。2+%）+y2y4

y\+丫仍一当当一（於+y3y4-y2yQ为（为十当一无）一〉式九十为一当）

-2一2

=a42y4yl=0,又注=丫。==丫山则P,Q两点重合，

即P,Q为线段AC与BD交点”，且点M,H,N三点共线；

②由（2）,直线MN与乂轴平行，贝1121HMi=\HN\=2今2（如-xM）-xN-xH=2.

又久时=空=亨，同理可得诉=亨，

=*+"2。1+、3）->1乃=%+y3（力+y4）->2y4：

又由（2）XH

—2—2

=*+y2（yi；y3）-"y3

则久H-_zhzl=1%（乃+乃）一乃乃一犬=2

2=?」也叱…"黄7g2+%）+94=4

由为+%=为+%，则话-y3（y2+乃+%一%）+y2（yi+y2-%）=4,

即2黄+龙一3y2y3-y，3+%>2=4.

则2%+迸-3y2y3-y，3+y，2-[y2（yi+乃）-%乃一期=2n2yl+2yj-4y2y3=2

=>（乃-%）2=1n1为一=L

如图，

过B作MN平行线，交CD为E,则四边形MBEN为平行四边形，

1Q

结合21HMi=|HN|=2,则|附=3,SABCE=^\BE\•\y3-y2\=

&AB//CD,贝!结合21HMi=|"N|,

同幽=\MH\\AH\=\BH\=1

人」|CD|一\NH\一\CH\一\DH\-2f

又M为ZB中点，则E为NC中点，

则S1BCE-SABNE=Z&BCD，^ABCD=^AABD

Q

则四边形48C0的面积S=SABCD+SAABD=6S/BCE=6x^=9.

711

19.解：(1)van=2-,

n

・・・Sn=2-1,

不防令九=2,m=1,(n-Tn)Sn+m=S3=7,

(n+m)(Sn-Sm)=3(S2-S])=6,

(ri-rn)Sn+mH(九+m)(Sn-S小),

・•.数列｛时｝不恒满足条件②；

(2)若m=1,由②得(九一l)Sn+1=(n+l)(Sn-S",

即2szi=(n—l)an+1+(ri+l)alf

当九>2时，2s71T=(n-2)an+nar,

两式相减，得2azi=(n-l)an+1-(n-2)an+a19

BPnan=(n—l)an+1+

・•・(n+l)an+1=nan+2+。1，

两式相减，得九%i-(n+l)an+1=(n-l)an+1-nan+2»

KPnan+nan+2=2nan+1,

vn>2,

•e,an+an+2=2an+1，

2S=(n—

又•・•nl)an+1+(n+