山东省名校2025届高三4月校际联合检测 数学试题（含解析）

山东省名校2025届高三4月校际联合检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A．72 B．108 C．120 D．1444．已知，为单位向量，且，则（

）A． B．2 C． D．45．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知随机变量，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．7．若函数有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（

）A． B．或 C．或 D．或二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则B．已知变量x，y的n对样本数据，，…，，，变量x，y的线性回归方程为，若，，则C．若随机变量服从二项分布：，则D．某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的75%分位数为13510．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为8B．若直线经过点，则的最小值是1C．若线段中点坐标为，则直线的方程为D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为11．已知函数，则（

）A．函数的值域为B．函数在处的切线方程为C．若函数的图象关于点对称，则点的坐标为D．三、填空题（本大题共3小题）12．二项式的展开式中含项的系数为．13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为．14．已知直线与曲线相切，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，若，，且的面积为，求．16．如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，．(1)求证：平面；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．18．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为．(1)求C的标准方程；(2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M．（i）证明：；（ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．19．“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．(1)求x的值；(2)随机变量的分布列和期望；(3)求．

参考答案1．【答案】B【详解】由，得，解得，故集合，由，得，解得，故集合，所以．故选B.2．【答案】A【详解】因为，所以，因此，故的虚部为．故选A.3．【答案】D【详解】在等差数列中，，解得，所以．故选D.4．【答案】C【详解】因为，所以，即，所以，因此，即．故选C．5．【答案】A【详解】由，得，等式两边同时除以，得，即，又，所以，所以.故选A.6．【答案】B【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，，所以，当且仅当，即时取等号．所以最小值为8.故选B.7．【答案】D【详解】当时，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．又，，，所以在和上各有个零点；又因为有个根，所以当时，有个零点，因为，所以，由题意可得，解得．故选D.8．【答案】C【详解】设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R，由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为，如图，由，可得，所以，因为，即，解得或．又，当时，；当时，．故选C．9．【答案】AB【详解】对于选项A，因为，，，所以，即，故选项A正确；对于选项B，由题意得，解得，故选项B正确；对于选项C，因为随机变量服从二项分布：，所以，所以，故选项C错误；选项选项D，由，可得这8次数学成绩的75%分位数为第6与第7个数据的平均数，故选项D错误.故选AB.10．【答案】BCD【详解】对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为，若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误；对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确；对于C，显然直线的斜率存在，设直线的方程为即，联立方程，得，设，，则，解得，所以直线的方程为，即，故C正确；对于D，设，圆心，则，因为，所以当时，取得最大值为，此时取得最大值为，故D正确．故选BCD.11．【答案】ACD【详解】对于A，函数，，因为，所以，因此，即的值域为．故A正确；对于B，，，所以，所以在处的切线方程为，即，故B错误；对于C，设点，则函数满足，即，即，所以，因此解得，，所以点P的坐标为，故C正确；对于D，由的图象关于点对称，知，设，所以，又，所以，即，因此．故D正确．故选ACD.12．【答案】720【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，得，所以二项式中展开式中含项的系数为720．13．【答案】【详解】解法一：易知抛物线的焦点为，

若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，由得，设、，则，由韦达定理可得，，所以，即，①因为，即，②．由①②得，，所以；解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，由得，设、，则，由韦达定理可得，，因为①，，，解得，，所以，②，联立①②可得.14．【答案】【详解】由，得，设切点坐标为，由导数的几何意义得，又点既在直线上又在曲线上，所以，联立和，消去，得，令，则恒成立，即函数在区间上单调递增，又，所以，得到．15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以．由，得，，所以的增区间为．（2）由，得，因为，所以，所以，即，因为，所以，因此，又，所以，即，所以，即．16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）方法一：如图，在线段上取一点，使，由已知，，且，在线段上取一点，使，由已知，，且，所以，且，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，且平面，所以平面．方法二：如图，连接并延长交于连接，在中，过点作，交于点，因为，所以，又是的中点，则，所以，即，又因为，所以，又平面，平面，所以平面．（2）由，，知．以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．又，得，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）函数的定义域为，则，当时，，则在上单调递减，当时，由，得，所以在上是单调递增函数，由，得，所以在上是单调递减函数，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可知，当时在上单调递增，在上单调递减，所以，要证，即证，因为，因此只需证，设，，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以，所以当时，，从而命题得证．18．【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）点N在定直线上【详解】（1）由题意可知，可得，双曲线C的渐近线方程为，即，点到其渐近线的距离为，所以，因此，双曲线C的方程为．（2）（i）因为是C上第一象限的动点，则，可得且，易知点、，所以，，由双曲线的定义可得，所以，先证明：双曲线在点处的切线方程为．联立，可得，又，整理可得，解得，所以双曲线在点P处的切线方程为，由，令，