2025年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练1．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．(1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？(2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？2．某工厂加工一种产品，其销售价随产品成本的变化而变化，已知该产品的最低成本为40元/千克，且销售价p（元/千克）与产品成本x（元/千克）符合一次函数关系；在产品销售过程中，销售量y（千克）随着销售价p（元/千克）的变化而变化，其函数关系如图所示：(1)请求出y与的函数解析式；(2)请计算当销售价是多少时该工厂可获得最大利润？3．《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：IMAX厅电影票售价x（元/张）4050IMAX厅售出电影票数量y（张）160120(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本）4．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且不超过150元，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？5．海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克；当每千克梨的售价为5元时，日销售量为260千克，设日销售利润为W元．(1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；(2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元．6．合肥作为“大湖名城，创新高地”，凭借科技创新实力享誉全国．庐智高新技术企业研发部门针对新型产品的资金投入与生产利润关系展开生产模拟，设定投入资金为（万元）与生产利润（万元）的关联机制如下：第一阶段（技术卵化期）：当时，产值，第二阶段（规模扩张期）：当时为，受多重成本因素影响，该阶段生产利润遵循二次函数．并且时，，第三阶段（稳定产出期）：当时启动第三阶段生产模式，发现投入资金每增加1万元，生产利润同步增加1万元．(1)求、的值；(2)按当前模拟环境，求最大生产利润；(3)生产部门发现在当前模拟环境下，会出现一段投入资金增多而生产利润下降的情况，决定提前进入第三阶段，即在时，进入第三阶段生产模式．请帮助生产部门确定为何值时进入第三阶段可以获得生产利润最大？最大生产利润为多少？7．在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米．(1)求关于的函数关系式．(2)求该球飞行过程中的最大垂直高度．8．小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度．(1)直接写出点C的坐标．(2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）．(3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号）9．社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．(1)求道路的宽是多少？(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出，若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最高，最高为多少元？10．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？11．如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）．(1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）．(2)该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．(3)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？12．某商场以每件50元成本价新进一批商品．据市场调查分析知，如果按每件60元销售，一周能卖出400件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为元．(1)求出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式：(2)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式：(3)若物价部门要求该商场销售这种商品的利润不能超过40%，求该商场销售这种商品一周毛利润的最大值以及此时的销售单价．13．某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票．(1)求与之间的函数解析式；(2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？(3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．14．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如下图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数解析式；(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？15．某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：(1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练》参考答案1．(1)衬衫的单价应下降25元(2)单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键．（1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可；（2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得：，解得：，经检验都符合题意．∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，∴x应取25元．答：衬衫的单价应下降25元．（2）设每天利润为w元，由题意，得：，，当时，盈利最多为1250元，所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．2．(1)(2)当销售价为80元时，工厂可获最大利润【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．（1）利用待定系数法求解即可；（2）由图形可知销量与价格有两段，所以分两段去讨论，然后比较求解即可．【详解】（1）解：设函数解析式为，由题意可得，解得：，所求的函数解析式为；（2）设该工厂获得的利润为w，由，可得，，对称轴，且抛物线开口向上，在对称轴左侧，y是随x增大而减小，，，∴当时，可获得最大利润，由图像可得，当时，，，，随x增大而减小，当时，可获得最大利润，，当销售价为80元时，工厂可获最大利润．3．(1)（，且是整数）；(2)该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元．【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数，正确列出二次函数解析式是解题的关键．（1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式；（2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可．【详解】（1）解：设，将，代入，得：，解得：，（，且是整数）；（2）解：设每场的获利为元，根据题意，得：，抛物线开口向下，又，且是整数，时，取得最大值，，答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元．4．(1)(2)当销售单价为120元时，商场获得利润最大利润8000元【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；（2）根据销售单价不低于100元，且不超过150元，得求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值．【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，由图象可知，函数经过，，可得，解得，这段时间内y与x之间的函数解析式为；（2）销售单价不低于100元，且不超过150元，，设获得利润为，即，对称轴，，即二次函数开口向下，的取值范围是，即当销售单价时，获得利润有最大值，最大利润元．即：当销售单价为120元时，商场获得利润最大利润8000元．5．(1)(2)当时，最大，元【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出；（2）根据日销量不低于160千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案．【详解】（1）解：由题意可知，当时，，当时，，设，则，得，，则日销售利润；（2）解：，，∴，，则，对称轴为直线，该图象开口向下，∴当时，随增大而增大，∴当时，取得最大值，此时，（元），即：当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元．6．(1)(2)最大生产利润为30万元(3)当万元时，生产利润最大为万元【分析】该题考查了二次函数和一次函数的应用，解题的关键是理解题意．（1）根据第二阶段与第一阶段函数在处值相同可求出对应，再结合题目已知数据代入二次函数，利用待定系数法即可求解；（2）分别求出各阶段函数的最大值，取三个阶段中的最大值即可求出最大利润．注意第二阶段为二次函数，需要判断开口方向来判断最值．（3）根据题意利用第二，三阶段函数在处函数值相同求解第三阶段函数，第三阶段函数为一次函数，判断值大小即可求解在时取得最值，从而得到提前进入第三阶段后的最大利润．【详解】（1）解：第二阶段函数在处与第一阶段相连，即第一，二阶段在处函数值相同，故当时，．将代入二次函数得：，即，解得：．（2）解：由（1）知第二阶段函数为，∵，开口向下，函数在处取得最大值，∴当时，最大利润为：，当时，，由题意知第三阶段函数为，当时，最大利润为．比较各阶段最大值可知最大生产利润为30万元．（3）解：当时，在抛物线上点时进入第三阶段生产模式，设点横坐标为，则点纵坐标为，当时，函数值随x的增大而增大，设解析式为，代入得，∴解析式为，∴点纵坐标值为，即为最大生产利润．∴，∴当万元时，生产利润最大为万元．7．(1)(2)12米【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识．（1）根据已知条件得到，把A点代入得到，于是得到结论；（2）把配方得到，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：点A距离点O的水平距离为12米时，垂直距离为米，∴，把A点代入得，解得，∴y关于x的函数关系式为：；（2）解：∵，∴当时，，∴该球飞行过程中的最大垂直高度是12米．8．(1)(2)（或）(3)【分析】本题考查二次函数的应用．（1）令，解方程即可得出点C的坐标；（2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可；（3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案．【详解】（1）解：令，解得，，∴点C的坐标为；（2）解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1，设抛物线G的函数表达式为，抛物线G经过点C，将点代入，得，解得（舍去），，抛物线G的函数表达式为（或）；（3）解：当时，，解得，（不合题意，舍去）．球筐的最左端与原点的距离为6.5，当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，，球筐的最右端与原点的距离为7.5，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，b的取值范围为．9．(1)6m(2)当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入最高，最高为元．【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键．（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：由题意得，整理得：，解得：（舍去），，答：道路的宽为米．（2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为元，根据题意得，，∵∴当时，有最大值，最大值为，答：当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入最高，最高为元．10．(1)每千克应涨价5元(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用．（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据利润每千克盈利日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元；（2）设涨价z元时总利润为y，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可．【详解】（1）解：设每千克应涨价x元，则，解得或，因为要顾客得到实惠，所以，答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）解：设涨价z元时总利润为y，则，即，∵，∴y有最大值，当时，y取得最大值，最大值为6125．答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．11．(1)（）(2)不能；理由见解析(3)；【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可；（2）当时，利用判别式进行判断即可；（3）利用二次函数的性质，求最值即可．【详解】（1）解：，．，，∵，∴．（2）不能．理由：当时，，即：．，故此时方程无解，该试验田的面积不能达到．（3），当时，有最大值，最大值为，即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．12．(1)(2)(3)该商场销售这种商品一周毛利润的最大值为6000元，此时的销售单价为70元【分析】此题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是关键．（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）根据每件的利润乘以总件数即可得到w与x的函数关系式；（3）根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：由题意得，，一周销售量（件）与（元）的函数关系式为；（2）由题意得，；（3），，，，当时，随的增大而增大，当时，毛利润有最大值，最大值为（元），该商场销售这种商品一周毛利润的最大值为6000元，此时的销售单价为70元．13．(1)(2)排队等待人数最多时是人；(3)自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况．【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．（1）依据题意，由顶点坐标为，可设，再将代入，求得的值，则可得与之间的函数解析式；（2）依据