安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题含答案

/安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（）A．1 B． C． D．3．已知向量满足,,且,则（）A．1 B． C． D．24．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．15．已知函数满足，当时，，则（）A．2 B．4 C．8 D．186．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（）A． B． C． D．7．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件C． D．10．设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，无极值点C．，使在上是减函数D．图象对称中心的横坐标不变11．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则三棱锥的体积为定值C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则.13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数．14．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列中，，设为前n项和，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和16．如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．①求甲获胜的概率；②求．18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.19．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若，求的值；(3)求证：.

参考答案1．【答案】C【详解】由题意知，令，所以复数的共轭复数为，故选C.2．【答案】A【详解】由求导得.由或；由.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以函数的极大值点为，极小值点为.由题意可知，所以.故选A.3．【答案】A【详解】因为，则，又因为，由得，则，则，故选A.4．【答案】A【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为故选A.5．【答案】C【详解】因为，所以．因为，所以．故选C.6．【答案】B【详解】如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得：，利用等面积法：，可得：，解得：，再由棱台体积公式得：，由球的体积公式得：，所以正四棱台与球的体积之比是：，故选B.7．【答案】B【详解】设，，，则，整理后，与已知轨迹方程展开整理得：，对照，得，解得，所以.则当、、三点共线时取得最小值故选B.8．【答案】A【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，所以，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得.综上，故选A.9．【答案】ACD【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选ACD．10．【答案】BD【详解】对于A，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；对于B，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，B正确；对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，C错误；对于D，由，得图象对称中心坐标为，D正确.故选BD.11．【答案】ABD【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，故A正确；因为，，所以点在直线上，又因为，，所以四边形是平行四边形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；点为的中点，坐标为，点的坐标为，向量，向量，设直线与直线所成的角为，，又因为，当时，，即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，因为平面，所以，又，所以三棱锥外接球的半径，因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，所以的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，所以的轨迹的周长为，故D正确.故选：ABD.12．【答案】【详解】因为，所以，所以.13．【答案】【详解】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得，解得：．14．【答案】【详解】设与轴交点，连接，由对称性可知，，如图所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的内角和为，，即，则综上，．15．【答案】(1)(2)【详解】（1）数列中，，为前n项和，当时，，，当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，递推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以：，所以；所以数列的前n项和.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接平面平面，平面平面平面平面平面

，即又平面平面平面（2）连接，设，连接平面平面，平面平面，易知取中点，连接，则两两互相垂直.分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则，，设平面的一个法向量则即令，则设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的.正弦值为17．【答案】(1)(2)①；②．【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜，概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为．（2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，得，又，，得，与联立消去，得，所以甲获胜的概率为．②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则，即，同理，即，，即，，即，，即联立与，得，联立与，得，代入，得，所以．18．【答案】(1)(2)是，MN的中点为【详解】（1）由题意得，，又，解得，，，所以椭圆的标准方程为；（2）设，，因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在，故设直线BC的方程为：，其中，由得：，，得；x1+，，又因为直线AB的方程:，得，同理由+===故MN的中点为.19．【答案】(1)在处取得极小值，无极大值；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；（3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证.【详解】（1）当时，，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递