安徽省江淮十校2024−2025学年高三下学期4月联考数学试题含答案

/安徽省江淮十校2024−2025学年高三下学期4月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（其中为虚数单位），则的值为（

）A． B． C． D．3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．6．下列关于函数说法正确的是（

）A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴7．的展开式的常数项是（）A． B． C． D．8．已知，且，，则（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变C．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为710．设、是曲线上两个不同的点，则（）A． B．C． D．11．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（

）A．已知，，则曲线C上满足的点P有且只有一个B．曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为D．曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过2三、填空题（本大题共3小题）12．设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为.13．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是.14．已知表示不超过的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的n的和等于.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，.(1)求；(2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围.16．如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点.

(1)证明平面；(2)求二面角的余弦值.17．2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI

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Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴.假设今天天气是晴天，回答以下问题：(1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望；(2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值.18．已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1.(1)求椭圆的方程；(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，（i）求点M到直线距离的最大值；（ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值.19．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数极值点的个数；(3)设，，求证：.

参考答案1．【答案】C【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故选C.2．【答案】D【详解】因为，所以.故选D.3．【答案】C【详解】因为，所以，即，所以在上的投影向量为.故选C4．【答案】A【详解】因为，又，所以.故选A.5．【答案】B【详解】

设，，，则，，由，因，，则，代入整理得，，显然，故，因，故当时，取得最大值，此时取得最小值为36，故的最小值为为6.故选B.6．【答案】B【详解】令，即，解得；所以当时，由，所以，所以；令，即，解得；所以当时，由，所以，所以；综上可得，且的值域为，故B正确；作出函数的大致图象：由图可知不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；因为，，，由图可知在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，故C错误；的对称轴为，故D错误；故选B.7．【答案】D【详解】的展开式通项为：，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.8．【答案】B【详解】因为，两边同除以，得，即，①因为，两边同除以，得，即，整理得，②由①②可构造函数，显然该函数是上的增函数，于是根据①②知，所以，因此．故选B．9．【答案】AC【详解】对于A：若一组数据的方差为，所以所有数据都相同，故A正确；对于B：若原数据的卡方记作，即，则新数据的卡方记作，则，所以结论可能会发生改变，故B错误；对于C：依题意，所以，故C正确；对于D：因为，所以第70百分位数为，故D错误.故选AC10．【答案】ACD【详解】对于选项，构造点，点恒在的上方，则，即，故A正确，B错误；

对于选项C，构造，则，点，点恒在的上方，则，两边取对数得，即，故C正确；

刈于选项D，构造，则，点，点恒在的上方，则，两边取对数得，即，故D正确；

故选ACD．11．【答案】ACD【详解】对于A项,点P满足,则点P在y轴上，将代入方程，得，即，解得，得唯一交点为，故A项正确；对于B项,令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点，故B项错误；对于C项,因为直线与曲线必有公共点，联立，可得，由题意可知，解得或，即实数的取值范围是.故C项正确；对于D项,根据曲线C：，可知，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故D项正确.故选ACD.12．【答案】【详解】因为，，所以，双曲线：的两条渐近线方程分别为，若，则的倾斜角为，的倾斜角为，即，解得，则C的离心率为.13．【答案】【详解】因为关于的不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以，即的取值范围是.(令，则，，所以在上存在零点).14．【答案】341381【详解】由于分母的最小公倍数为6，故可先考虑时满足的的值的情况.当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；当时，,不满足；当时，，满足；当时，，不满足.综上，满足题意的可以表示为的形式，由，可得，，即所有满足条件的构成等差数列，其首项为5，末项为2021，项数为337，故当时，所有满足条件的n的和等于.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴记点到的距离为，则，∴，，，∴．∴，又，∴．（2）由（1）知，，，∴．设．在中，由正弦定理可得，∴，则，，∴∵为锐角三角形，，解得，又，在均为递增函数，且函数值均为正数，又在上单调递减，所以在上单调递减，当时，当时，所以，故．16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设圆的半径为，所以，当且仅当时取等号．所以当为正方形时，面积最大，所以，交于点，连接，因为为中点，E为中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，所以，，，所以为正三角形，所以，又因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．又因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，连接，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以为的平面角，又，，所以，所以，所以二面角的余弦值为.

17．【答案】(1)分布列见解析，.(2)，趋于的稳定值为.【详解】（1）由题意可知：的值可以为：.且，，，.所以的分布列为：0123所以（2）由题意：数列中：，.设，由.所以，且.所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以.因为，所以趋于的稳定值为.18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由题意：，解得.所以椭圆的方程为：.（2）（i）如图：易知：，，所以直线的方程为：.设，因为在第一象限，所以可取.所以点到直线的距离为：，当时取“”.所以点M到直线距离的最大值为.（ii）因为直线的方程为：，令可得；直线的方程为：，令可得.所以四边形的面积为：为定值.又面积的最大值为：，所以面积的最大值为：.19．【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，，则，又，则曲线在处的切线方程；（2）的定义域为，则，因，故，由可得或，当时，，则在上单调递增，故函数无极值点；当时，，由可得或；由可得，即函数在上