北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题含答案

/北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题（本大题共10小题）1．已知全集为R，集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数，则共轭复数A． B． C． D．3．在的展开式中，x的系数为（）A． B． C．32 D．404．已知等差数列满足：，且，则（）A．2026 B．2025 C．2024 D．20235．已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（）A．16 B．6 C． D．46．若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（）A．， B．，C．， D．，7．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．9．经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（）A．有最大值为 B．有最大值为C．有最小值为 D．有最小值为二、填空题（本大题共5小题）11．双曲线的渐近线方程为.12．在中，已知，，.则.13．设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=.14．设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为；若有三个零点，则实数a的取值范围是.15．已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.其中正确结论的序号是.三、解答题（本大题共6小题）16．设函数(1)若，求的值.(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.条件①：在区间上单调递减；条件②：；条件③：为函数图象的一条对称轴.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，17．如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.

(1)证明：M为线段中点；(2)求二面角的余弦值.18．某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下第一部第二部第三部第四部第五部第六部普通观众评分87.285.484.984.984.783.6专业观众评分88.780.081.677.476.172.2(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.20．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；(3)若有两个根，，写出a的范围并证明.21．已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：(1)若数列，卷积核，求数列B.(2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.(3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】B【详解】由，可得或，所以，故选B.2．【答案】B【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.详解：由题意可得：，则其共轭复数.本题选择B选项.3．【答案】A【详解】通项公式，令，得，所以x的系数为，故选A4．【答案】D【详解】设公差为，由，，得，解得，所以，所以.故选D.5．【答案】C【详解】由题意可得，抛物线的焦点，由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，设，联立方程，可得，解得，由抛物线的定义可知，.故选C.6．【答案】D【详解】由于在圆上，圆心为，要使关于直线的对称点在圆上，则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合，故选D.7．【答案】A【详解】设函数，其定义域为．对求导，根据求导公式，可得．因为，所以，则．这表明函数在上单调递增．当时，，即，移项可得．所以由能推出，充分性成立．当时，即．因为，且在上单调递增，所以时，．这说明当时，不一定有，必要性不成立．因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．8．【答案】A【详解】因为，所以函数为偶函数，，令，则，所以函数，即当时，，所以函数在上单调递增，所以.故选A.9．【答案】B【详解】如图：设正四面体的棱长为，正三角形中，，正四面体的高，设,则中，,即,解得即则中，故选B.10．【答案】C【详解】设，由得，故,因此，故，由于，则，则，令，故在上单调递增，由于，故当在上恒成立，在上恒成立，故在单调递减，在单调递增，故当时，取到极小值也是最小值，因此因此，故由于恒成立，故，故选C.11．【答案】【详解】双曲线的焦点在x轴上，，所以渐近线方程为.12．【答案】/【详解】由正弦定理可得，故，故,13．【答案】【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得：，所以.已知，即，两边同时除以可得.因为，所以.根据指数的性质，可得，解得.14．【答案】1（答案不唯一），【详解】因为，则时，，在上单调递增，此时时，，在上单调递增，此时，故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，结合，则，故a的一个取值可为1；时，，令，则，解得或；时，，令，则，解得，当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；故实数a的取值范围是.15．【答案】①③④【详解】将代入，整理得，所以曲线关于原点对称，同理将代入方程整理后其方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；取，则，故，故（增根已舍去），因此②错误，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为；故③正确；令，可得，令，因为，所以函数有两个零点，又因为，，所以两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上当时，同理当时，即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，所以第一象限内的面积应大于1；由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故④正确.16．【答案】(1)(2)选择条件①或③，.【详解】（1）由题意可知，即，因，则.（2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，则在处取最小值，在处取最大值，则，，则，，因，则，则；条件②：因，则不可能成立，故无解析式；条件③：因，则在处取最大值，又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，则在处取最小值，则，，则，，因，则，则.综上可知，若选择条件①或③，则；若选择条件②，则不存在解析式.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由于平面，平面，平面平面,故,又,故四边形为平行四边形，故,由于，故,故M为线段中点，（2）过作于,过作于，连接,由于平面与平面垂直,且交线为,平面，故平面，平面，故,又，平面，故平面平面，故,故的补角即为二面角的平面角，由于故为的中点，则，由于为等边三角形，为的中点，故,在直角中，故二面角的余弦值为

18．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.根据古典概型概率公式，所以.（2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.根据二项分布概率公式可得：，，，，，列出的分布列：.

（ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.比较大小：因为，，所以.19．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知，解得，故椭圆方程为（2）设直线，联立与的方程可得，设，则,故，故，，故直线的方程为，联立与椭圆方程可得，解得,在直线中，令，则，故,故，故20．【答案】(1)增区间，减区间(2)(3)，证明见详解【详解】（1）由，故当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为.（2）曲线在处的切线斜率，又，所以其切线方程为，令，得，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.（3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，，当时，，当时，，即时，，时，，若有两个根，则，且，，要证，即证，又在上单调递减，即证，又，即证在上恒成立，又，即证，两边取对数，原命题即证在上恒成立，令，，，故在上单调递减，所以，所以在上恒成立，故得证.21．【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，理由解析【详解】（1）,,所以数列（2）方法一：依题意有当时，由又则，即当时，，当时，记，由即当时，，综上可得：数列B中最大的项为.方法二：由已知可得.当时，，因为>0,所以当时，，因为<0,所以因为所以因为所以所以所以当时，,所以数列中最大的项为或或.因为所以因为所以所以.（与无法比较大小，假设，当时数列B的最大值为，当时，数列B的最大值为；当时，数列B的最大值为.）综上，数列中最大的项为或.（3）方法一：当为偶数时，取数列的通项，此时对,有，故当为偶数时，存在数列，使得数列的各项为0，当为奇数时，设且，下面用反证法证明不存在数列，使得数列的各项为0，假设存在数列，使得数列的各项为0.为了更好地描述，我们记中不存在的，则对任意的，有，上式相减可得，即数列中