四川省泸州市三校联盟2024−2025学年高二下学期第一次联合考试数学试题含答案

/四川省泸州市三校联盟2024−2025学年高二下学期第一次联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．2．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．记为等差数列的前项和，，，则（

）A．58 B．63 C．75 D．844．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（）A． B．4 C．3 D．－36．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立C． D．7．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．88．已知，当时，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A． B．样本中得分不低于80分的同学有15名C．估计样本的40%分位数为66分 D．该组数据的平均数大于众数10．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（

）A．与点关于x轴对称的点的坐标为B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底C．已知，，则在上的投影向量的坐标为D．已知，平面的法向量为，则11．函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，函数只有一个零点B．若函数的对称中心为，则C．若函数在上为减函数，则D．当时，设的三个零点分别为，，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则三、填空题（本大题共3小题）12．函数的图象在点处的切线方程为.13．设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是．14．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为.（参考数据：）四、解答题（本大题共5小题）15．设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，是数列的前n项和，求证：.16．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．17．已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点.18．已知函数．(1)若，求的极值；(2)讨论的单调性；(3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；(1)求，，的值；(2)已知数列满足，求的前项和；(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．

参考答案1．【答案】A【详解】该机器人在时刻时的瞬时速度为故选A.2．【答案】C【详解】当直线与直线平行时，，且，解得当时，直线为，直线为，两直线平行.因此“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选C.3．【答案】D【详解】由，所以，又，所以，设该等差数列的公差为d，则由题意可知，所以.故选D.4．【答案】B【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法，而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法.故选B.5．【答案】D【详解】已知，得，因，则存在两根，不妨设，则由得，或；得，，则在和上单调递增，在上单调递减，则和分别为函数的极大值点和极小值点，又，是函数的极值点，所以，是方程的两个根，所以，，所以，则，由，且，可知，，在等比数列中，奇数项的符号相同，所以，因此．故选D.6．【答案】D【详解】因为，，，所以，，；对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，故A不正确；对于B，，所以事件A与事件B不独立，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，由，得，所以，故D正确；故选D.7．【答案】A【详解】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选A.

8．【答案】B【详解】由题意得，当时，，即，，令，则，因为恒成立，故在上单调递增，故，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，故，解得.故选B.【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．【答案】ABC【详解】对于A：由，可得：，正确；对于B：样本中得分不低于80分的频率，故样本中得分不低于80分的同学有，正确；对于C：第一个矩形面积为，第二个矩形面积为，第三个矩形面积为，，，所以样本的40%分位数：，正确；对于D：平均数为：，众数为：75，故D错误；故选ABC.10．【答案】AC【详解】A.与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确；B.，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误；C.在上的投影向量为，故C正确；D.因为，所以，所以或，故D错误.故选AC.11．【答案】ABD【详解】对于A，时，，令，令，即y=fx在上单调递增，在上单调递减，则y=fx的极大值为，极小值，又，即函数y=fx只有一个零点，在区间-1,1内，A正确；对于B，若函数的对称中心为，则有，即，所以，B正确；对于C，可知，若函数在上为减函数，则有在上恒成立，分离参数得在上恒成立，结合对勾函数的性质可知：，故，C错误；对于D，当时，，令，令，即y=fx在上单调递增，在上单调递减，则y=fx的极大值为，极小值，又，即函数y=fx有一个零点，分别在区间内，则有，故，所以，，则，D正确.选ABD.12．【答案】【详解】因为，得，则，所以切线的方程为，即.13．【答案】/【详解】显然，或，不妨令，将代入双曲线方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，则，方程两边同除以得：，解得：，因为，所以离心率为．14．【答案】3937万元【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.依题意可得，则，所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，则，即，则，故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.15．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）解：选①，因为，所以，所以数列等比数列，设数列得公比为由，得或（舍去），所以；选②，因为，当时，，所以，所以，即，当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；选③，因为，当时，，所以，即，当时，，所以，即，当时，上式也成立，所以；（2）证明：由（1）得，所以，所以.16．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.17．【答案】(1)；(2)证明见详解【详解】（1）由题意得解得∴椭圆E的方程为；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，点，，则，由得，由得，∴，，∵，∴直线的方程为，令得，即，∵当时，直线为x轴，∴若直线过定点，则点的纵坐标为0.当时，，∴，故直线过定点，综上，直线过定点.18．【答案】(1)极大值为，无极小值．(2)分类讨论，答案见解析.(3)1【详解】（1）的定义域为，当时，，令，解得当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以在时取得极大值为，无极小值．（2）因为当时，在上恒成立，此时在上单调递增；当时当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．设，则．设，，则在上单调递减，因为，，所以，使得，即．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以．因为，所以，故整数的