陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试数学试题含答案

/陕西省西安市长安区2025届高三第三次模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则的子集的个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．162．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（

）A． B． C． D．3．如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（

）A． B． C． D．4．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（

）A． B． C． D．5．定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（

）A．3 B．6 C．2 D．46．已知曲线，，其中．点，，是曲线与依次相邻的三个交点．若是等腰直角三角形，则（

）A． B． C． D．7．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（

）A．1 B．2C． D．8．函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若，则下列结论正确的有（）A．B．数据的30%分位数为5C．数据的标准差为3D．若，随机变量，则10．已知曲线，则（

）A．不是封闭图形B．有4条对称轴C．与坐标轴有4个交点D．与直线有4个交点11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（

）A．是非奇非偶函数B．的值域为C．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为D．的图象与的图象恰有个交点三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则．13．已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．14．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知分别为三个内角的对边，向量，.(1)求；(2)若.求的面积.16．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.17．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，.(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成角的正切值为2，点满足，求直线与平面所成角的余弦值.18．对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．(1)求椭圆的离心率；(2)过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；(3)若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．19．定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.(1)若，求的前项和；(2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；(3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.

参考答案1．【答案】D【详解】因为，，所以，所以的子集个数为．故选D．2．【答案】D【详解】，所以复数对应的点为，因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为，所以，故选D.3．【答案】C【详解】取的中点为，则也是，的中点，故，因此.故选C.4．【答案】C【详解】设为“第次按对密码”（），则事件“不超过2次就按对”可表示为，记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，由条件概率的性质可得..故选C.5．【答案】A【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3，所以，又，所以，又数列的各项均为正数，所以，所以，，所以，，故选A．6．【答案】D【详解】因为点，，是曲线与依次相邻的三个交点，不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图所示，为的中点，连接,易知，,与轴平行，所以又因为是等腰直角三角形，所以，所以又因为在曲线上，所以，又因为所以：即所以.故选D.7．【答案】D【详解】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，因此，，．记，，则，因为在上递减，且，，所以存在唯一的满足，即，且当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，故是的极大值点，也是最大值点．此时．故选D.8．【答案】A【详解】解：因为为奇函数，即，所以，函数的图像关于点对称，即，因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即，所以，，所以，即函数是周期为的周期函数，所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，所以，曲线在处的切线斜率为，因为，，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.故选A.【方法总结】由题意可以求得周期性与对称性，然后求出该点的斜率，再用点斜式方程求即可.9．【答案】ACD【详解】对于A，令，则，故A正确，对于B,将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，对于C，分别为，则平均数为，故方差为，故标准差为3，C正确，对于D，，故，故D正确，故选ACD.10．【答案】ACD【详解】对于A，因为，所以或，所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故A正确；对于B，由A项分析知，E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故B错误；对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确；对于D，因为C的一条渐近线方程为且，根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确.故选ACD.11．【答案】BD【详解】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误；对于B，当时，，故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况.当时，.此时，故，当时，，此时，故，综上可得时，的值域为，故B正确；对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，故，故C错误；对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确.故选BD.

【点睛】方法点睛：已知函数交点问题常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．【答案】【详解】由得，，因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，所以，即，所以，所以.13．【答案】8【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为，联立，消去可得：，解得，，，由抛物线的定义可得，，根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦，可知，故，故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．14．【答案】【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，则，所以，所以.15．【答案】(1)(2).【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.（2），所以，，,又,即,,或（舍）,故.16．【答案】(1)；(2)1.【详解】（1）由，，则，由，，则，所以；（2）由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接交于点，连接，因为是菱形，所以，又因为为的中点，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）过作交于点，面面，面面面，所以面，因为面，所以面，又面，所以，所以为的交点，为等边三角形，所以H为的重心，设DH与AB交点为M，连接，则为二面角的平面角，因为，在中，解得，因为，所以，所以平面，以为原点，所在直线为轴建立如图坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，令，可得：即，又，设平面和直线所成的角为，则，所以.18．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）在椭圆中，由，得，所以椭圆的离心率.（2）椭圆，由，解得，而，则，圆在处切线方程为，又过焦点，则，所以.（3）当时，椭圆，，设，椭圆在处切线为，圆在处切线为，由直线与均相切，得，即，由，得，解得，，当且仅当，即时取等号，即的最大值为，所以的最大值为.19．【答案】(1)(2)是的充要条件.(3)的最大值为，【详解】（1）依题意故因为，所以，当为奇数时，，当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.故当为偶数时，.当为奇数时，.综上所述，（2）充分性：因为，所以，所以，又因为，所以是以1为首项，1