山西大同某校2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题含答案

/山西大同某校2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若函数在处的导数等于，则的值为（

）A． B． C． D．2．骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（）A． B． C． D．3．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（

）A． B． C． D．4．在中，是的中点，，若，则的值分别为（）A．， B．，C．， D．，5．函数的部分图象大致形状是（

）A． B．C． D．6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（

）．A． B． C．2 D．7．展开式中的系数为（

）A． B． C．30 D．908．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则当取得最小值时，的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（

）A． B．C． D．10．对任意实数，有.则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．11．已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．在等比数列中，，，则．13．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有.14．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．16．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)求证：平面；(2)若，，，求二面角的余弦值．17．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．18．已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值．19．设函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）

参考答案1．【答案】D【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.【详解】由已知得．故选D．2．【答案】C【详解】事件表示两次点数的最小值为3，最大值为6，有，共2种情况，事件包含，共7种情况，所以.故选C3．【答案】C【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以.所以的范围为.故选C.4．【答案】B【详解】如图，因为，所以点为线段的中点，则有,因为是的中点，所以，所以.所以，.故选B.5．【答案】C【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选C.6．【答案】A【详解】∵，设为所求的点，则得，，则点P到直线的最小距离为．故选:A.7．【答案】D【详解】，的通项公式为，令，则，则，令，则，则，所以展开式中的系数为.故选D.8．【答案】A【详解】由过点的直线可设为，与抛物线，联立消去x得：，设交点，则，由，取等号条件是，此时.故选A.9．【答案】AD【详解】由题意知，，，，，，，.故选.10．【答案】ACD【详解】对任意实数x有，所以，故A正确；令，可得，故B不正确；令，可得，故C正确；令，可得，故D正确．故选ACD．11．【答案】ACD【详解】解：因为，即，所以，，解得，故A正确；由此可得，，，，……所以当为奇数时，为偶数，为奇数，所以，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故B错误；当为偶数时，为奇数，为偶数，则，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故C正确；对于D，==，故D正确.故选ACD.12．【答案】【详解】在等比数列中，，则，设，设等比数列的公比为，则，所以，，同号，又，所以．13．【答案】72【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，所以总共有：种方式.14．【答案】【详解】由题意，，设，则问题可转化为.因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.15．【答案】(1)5(2)32(3)答案见解析【详解】（1）的展开式的通项为（r＝0，1，2，…，n），∵展开式中的第二项和第三项的系数相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；（2）展开式中所有二项式系数的和为；（3）二项式展开式的通项为（r＝0，1，2，…，5），当r＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为，，．16．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点．因为平面平面且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以，同理得．因为，且平面，所以平面．（2）因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意，得，，，，则，，，．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设二面角的平面角为，则由图可得．故二面角的余弦值为．17．【答案】(1)分布列见解析，1(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．的分布列为012的数学期望．（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，．即每位员工经过培训合格的概率为．（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，则（万元）即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．18．【答案】(1)，；(2)证明见解析.【详解】（1）因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，当时，，当时，，则，，所以，，所以椭圆的标准方程为．因为，所以椭圆的离心率为．（2）由（1）知直线的斜率为，设直线的方程为，Mx1,y1联立方程组，消去得，则．因为，，所以，因为，且，所以，所以，即为定值．19．【答案】(1)答案见解析(2)存在，的最小值为0【详解】（1）因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，