山东省菏泽市第一中学2024～2025学年高一下学期4月月考数学试题

/高一数学4月自主检测一、单选题每题5分共40分1．四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（

）

A．B．C．10D．202．已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为（

）A． B． C． D．3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（

）A．B．2C．D．4．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（

）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：

①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面.其中错误的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．在中,分别为角的对边),则的形状为A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（

）A． B． C． D．8．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题每题6分共18分9．已知复数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的虚部为2 D．10．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（

）A．若点是的中点，，则B．若平分，则C．三角形外接圆面积最大值为D．若，，则内切圆半径为211．已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（

）A．直三棱柱外接球的半径为2B．三棱锥的体积与的位置无关C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为三、填空题每题5分共15分12．在中，角的对边分别为，且，则的面积为.13．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对．14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为．四、解答题15．(13分)已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.(1)求的值;(2)记复数，求复数的模.16．(15分)已知单位向量满足(1)求的值；(2)设与的夹角为，求的值；17．(15分)在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.(1)求；(2)求面积的最大值.18．(17分)已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球的表面积；(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.19．(17分)在中，，，对应的边分别为，，，(1)求；(2)若为线段内一点，且，求线段的长；(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；《2025年4月1日高中数学作业》参考答案题号12345678910答案AACDCADAABDAB题号11答案ABD7．A【详解】由正弦定理可得：，，即，即，即，即，所以或（舍去），所以，则，因为为锐角三角形，所以，即，解得：，因为在上单调递增，由，可得，所以..8．D【详解】解：的面积，，，则，，，，，，，，．10．ABD【详解】对于A，因为点是的中点，所以，因为，所以，所以，故，故A正确；对于B，在中，由正弦定理可得，因为平分，，所以，所以，同理，中，，所以，又，所以，所以，故B正确；对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即，因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误；对于D，如果直角三角形的话内切圆半径为2,不是直角三角形,半径就不是2,故D正确.11．对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，

如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图：所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，因为，所以其外接球半径为，故A正确；对于B，如图：

，因为分别为的中点，所以，又点在上，所以到的距离为定值，故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确；对于C，如图，连接，

因为分别为的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，又，所以，所以，所以,所以，所以四边形不是等腰梯形，故C错误；对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，过作，交于点，因为为中点，所以，所以，在中，则爬过的最小距离为：，故D正确.12．或13．314．/【详解】由，则，因为，故，则，即，即，，则，故，故的三内角都小于，则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为；又，则，则，解得，故，因为，即，所以，则.15．【详解】（1）由题意得:，即，所以，所以，，解得：，.（2），，，所以.16．【详解】（1）因为为单位向量，所以，所以，得到，则，则（2）因为，所以，而

所以，即17．【详解】（1）因为，且，所以，利用二倍角公式和边化角可得：，即，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即.（2）因为，所以，两边平方得：，所以，当且仅当时取等号.由，可得：，所以.所以面积的最大值为.18．【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，又，所以，又因为的面积为，，解得（负值舍去），又，所以，圆锥的侧面积.（2）作出轴截面如图所示：根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，设内切球半径为，即，则，所以，由（1）可知，圆锥的高，，则有，解得，所以圆锥的内切球的表面积；（3）由（1）知圆锥的高，令正四棱柱的底面边长为，高为，则，由得，，所以正四棱柱的侧面积，当且仅当，即时等号成立，所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.19．【详解】（1）因为所以，由正弦定