内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案

/内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，若，且，则（

）A． B． C． D．2．已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．3．已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（

）A． B． C．2 D．44．已知向量，则（

）A．2 B． C． D．15．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程为B．以线段为直径的圆与抛物线的准线相切C．以线段为直径的圆与轴相交D．以线段为直径的圆过定点10．一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（

）A．样本正相关 B．C． D．处理后的决定系数变大11．已知如图为方格，挖去左上角的一个方格后，可以用个下列图形完全覆盖住（可以旋转，翻折但不能重叠）的有（

）（注：题中每个方格都是边长为1的正方形）A． B． C． D．三、解答题（本大题共5小题）12．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1．(1)求的方程；(2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值；(3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值．13．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为．(1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．14．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在有最小值4，求的值．15．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点．(1)求证：；(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值；(3)记点到平面的距离分别为，求的最大值．16．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，(1)证明：数列是等差数列；(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．四、填空题（本大题共3小题）17．在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为．18．已知是数据的第70百分位数，若，则．19．若函数为偶函数，则实数．

参考答案1．【答案】B【详解】因为，所以，且.故选B.2．【答案】D【详解】因为角的终边经过点，可得，由三角函数的定义，可得，故A，B，C错误，D正确.故选D.3．【答案】A【详解】∵复数是关于的方程的一个根，∴，即∴，解得，故选A.4．【答案】C【详解】已知向量所以，即，即，故选C.5．【答案】A【详解】设，，因为线段的中点为，所以，，所以，两式相减可得：，即，所以，即，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，化简为：，经检验符合题意.故选A.6．【答案】B【详解】由题意可知，则，因，则，则，，因在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得，解得，故的取值范围是.故选B.

7．【答案】C【详解】如图，设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，设球与母线切于点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，圆台的母线长，而，因此，所以，过作，垂足为，则，所以，所以球的表面积为.故选C.8．【答案】D【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，依次求解判断各个选项.【详解】对于A，令，即．因为满足，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；对于B，令，即．易判断在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；对于C，由，得，易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；当时，单调递减，且；当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．故选D.9．【答案】ABD【详解】对于A，因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为，故A正确；对于B，设的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为，可得，所以B正确；对于C，设、，则由抛物线的定义可得：,，的中点为，的中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；对于D，、，所以的中点，，设直线为，所以联立，所以，所以，因为，所以，以线段为直径的圆过定点，故D正确.故选ABD.10．【答案】BD【详解】A选项，因为原始数据的经验回归方程为，斜率为负数，所以样本负相关，A选项错误；B选项，，所以，B选项正确；C选项，由图可知处理后的数据的残差分布更集中，说明处理后的数据的残差方差更小，所以，C错误；D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大，这表明处理后的数据的线性关系更强，因此决定系数变大，D选项正确.故选BD.11．【答案】ACD【详解】由题意，假设每种不同的颜色代表选项给出的一个基本图形A项，∴能够用12个图形完全覆盖住剩余部分，A正确；C项，∴能够用6个图形完全覆盖住剩余部分，C正确；D项，∴能够用8个图形完全覆盖住剩余部分，D正确；而B项则无法不重叠地将剩余部分覆盖住，故选ACD.12．【答案】(1)的方程为；的方程为(2)证明见解析(3)【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，又因为离心率为，所以，代入得，解得，所以双曲线的方程为．因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以，所以抛物线的方程为．（2）设双曲线的半焦距为，则，又因为离心率为，所以，代入得，解得，所以双曲线的方程为．因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以，所以抛物线的方程为．（3）设，因为函数的导数为，所以直线的方程为，由于在直线上，则，同理，所以均满足方程，所以直线的方程为，联立方程，得，所以，则，又因为到直线的距离，所以面积，又因为，所以，当为时取最小值，所以面积最小值为．13．【答案】(1)4(2)(3)【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得．（2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，，由全概率公式可得．所以，该学生能猜对的概率为．（3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为，记得分为的概率为，且，，所以，，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，由累加法可得．因此，戊组获胜的概率为．14．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，故曲线在点处的切线方程为．（2），①当时，，因为，所以，此时在无最小值；②当时，（i）若，则在上，，所以在上单调递增，无最小值．（ii）若，则时，有在上单调递减，时，有在上单调递增，故在上的最小值为，即，整理得，解得或（舍去）．综上，得．15．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，且平面平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以；（2）取的中点，连接，则，又，所以四边形为平行四边形，因为平面平面，所以，故四边形为矩形，在中，，又，所以在中，，所以．因为平面平面，所以，又因为平面，且，所以平面，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．，设平面的法向量为，则，即，可取．设平面的法向量为，则，即，可取．设二面角的大小为，则则二面角的正弦值为；（3）设，则，设平面的法向量为，则，即，可取．因为，所以，故，设，则，令，得，解得（舍去），，故时，时，，所以，故的最大值为．16．【答案】(1)证明见解析(2)存在；或或或或或【详解】（1）由，得，又数列的各项均为正数，则，所以，又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列．（2）由（1）得，于是，假设存在正整数，使得成等比数列，则，即，即，整理得，因为均为正整数且，所以的正整数解为：或或或或或所以存在正整数，使得成等比数列．17．【答案】【详解】∵，∴,.当且仅当，即时等号成立.又，∴，∴.故答案为：18．【答案】80【详解】将数据按从小到大的顺序排列为：，因为，所以数据的第70百分位数为第5个数