2025年中考数学总复习《二次函数压轴之线段问题》专项测试卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数压轴之线段问题》专项测试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标；(3)如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围．2．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)直接写出：，；(2)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．3．如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为．(1)求抛物线的解析式及B点坐标；(2)求的面积；(3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．4．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且；(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为和，求的最大值；(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．5．【综合探究】如图，已知抛物线的顶点为点，且与轴交于B、A两点（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线对称轴上的一个动点．设对称轴与轴交于点．(1)当点在轴上方且时，求的值；(2)若抛物线对称轴上存在一点，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点，请求出此时线段的长度．6．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点C是的中点时，求m的值；(3)过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？7．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.

图1

图2(1)求线段的长；(2)当时，求的取值范围；(3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值.8．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，BC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值；(3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，O，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B．(1)求此抛物线的表达式；(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线．(1)求直线的函数表达式；(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，且．(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），当面积最大时，求点的点坐标及面积的最大值．(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．13．抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B．(1)求k，b的值；(2)如图1，过点C的直线交线段于点M，若，直接写出点M的坐标；(3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，垂足为F．当时，求点F的坐标．14．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接．(1)求抛物线解析式；(2)当线段的长度最大时，求点P的坐标；(3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标．15．如图，抛物线与轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，且轴．(1)求抛物线L的函数解析式；(2)求线段的长；(3)点在抛物线上，且其横坐标为5，抛物线在点之间的部分（包括点）记作图象，若图象向上平移个单位长度后，与直线有唯一的公共点，求整数的值；(4)直线与抛物线交于两点，把抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”．若在直线的两侧的“美点”个数之比为，直接写出的取值范围．参考答案1．(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可；（3）根据经过点，则，得到，代入得，联立与，解得，再根据三角形面积公式得到，即可求解．【详解】（1）解：∵∴∴又∵对称轴为直线解得：∴抛物线的解析式为；（2）解：如图1，①当时则设直线解析式为将代入得：解得：∴直线解析式为∴∴直线解析式为：联立抛物线与直线得：整理得：解得：（舍去）②当时作如图2∵对称轴为直线∴∴∴作则设∴∴∴点∴直线解析式为：联立抛物线与直线得：解得（舍去）综上所述点的横坐标为或（3）解：直线：交线段于点（不与重合）当时∴点∴∵直线：经过点∴∴直线：联立直线：与直线：得：解得：又∵随的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质相似三角形的性质解直角三角形一次函数的图象与性质求函数解析式等知识掌握相关知识是解题的关键．2．(1)2(2)当时四边形面积最大其最大值为8此时(3)或【分析】（1）令由得点坐标令由得点坐标将的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式进而由二次函数解析式（2）连接设求出得到再根据二次函数的性质求得最大值便可得点的坐标（3）根据旋转性质求得点和点的坐标令点和点在抛物线上时求出的最大和最小值便可．【详解】（1）解：令得∴令得解得∴把两点代入得解得∴抛物线的解析式为（2）解：连接如图设令得解得：或∴则∴当时四边形面积最大其最大值为此时M的坐标为（3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段如图∴∴当在抛物线上时有解得当点在抛物线上时有解得或∴当或时线段与抛物线只有一个公共点．【点睛】本题是一个二次函数的综合题主要考查了二次函数的图象与性质旋转的性质待定系数法求函数图象与坐标轴的交点求函数的最大值三角形的面积公式第（3）关键是确定点的坐标与位置．3．(1)抛物线的表达式为(2)10(3)线段的最大值是4此时点P的坐标为【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点待定系数法求函数的解析式二次函数的性质．（1）用待定系数法求解即可（2）由ABC的坐标得再根据三角形面积公式求解即可（3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为设则即可得出根据二次函数性质可得答案．【详解】（1）解：把代入得：解得∴抛物线的表达式为令则或4∴（2）解：∵∴（3）解：设直线的解析式为∵∴解得直线的解析式为设∵轴当时此时线段的最大值是4此时点P的坐标为．4．(1)(2)(3)存在或【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可（2）求出的解析式设则：将转化为二次函数求最值即可（3）易得垂直平分设勾股定理求出点坐标三线合一结合同角的余角相等推出分别作点关于轴和直线的对称点直线与抛物线的交点即为所求进行求解即可．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于AB两点与y轴的正半轴交于C点且∴解得：∴抛物线解析式为：（2）解：∵∴设直线的解析式为：把代入得：∴∴设则：∴∴∴∵∴当时的最大值为（3）解：存在：∵点为的中点∴∵∴∴设则：在中由勾股定理得：∴∴∵∴∴①取点关于轴的对称点连接交抛物线与点则：设的解析式为：则：解得：∴联立解得：（舍去）或∴②取关于的对称点连接交于点连接交抛物线于点则：∵∴∵∴∴∴过点作轴则：∴∴∴设直线的解析式为：则：解得：∴联立解得：（舍去）或∴综上：或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用涉及待定系数法求函数解析式中垂线的判定和性质等积法求线段的长坐标与轴对称勾股定理解直角三角形等知识点综合性强难度大计算量大属于中考压轴题正确的求出函数解析式利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．5．(1)(2)【分析】（1）分别令分别解方程求得的坐标进而得出顶点设对称轴与轴交于点根据平行线的性质得出进而根据正弦的定义即可求解（2）如图所示过点作于点交对称轴于点连接并延长交第二象限抛物线为点在中得出则当点三点共线且垂直时最小待定系数法求的解析式联立进而即可求解．【详解】（1）解：∵令解得即把代入中得即∵∴对称轴是直线顶点∴∵∴∴．（2）解：如图所示过点作于点交对称轴于点连接并延长交第二象限抛物线为点在中∴∴∴要取得最小值即要最小∴当点三点共线且垂直时最小此时最小∵∴∴即∵设直线的解析式为：则解得：∴的解析式为：联立解得或（舍去）∴∴．【点睛】本题考查了二次函数综合问题二次函数与坐标轴的交点二次函数的图象与性质勾股定理解直角三角形综合运用以上知识是解题的关键．6．(1)(2)(3)当点E的坐标为时线段的长最大最大值为【分析】（）先由求出然后代入求出的值即可（）先求出根据中点坐标可得则有然后求出的值即可（）先证明则再求出再由勾股定理得出再代入得到然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标．【详解】（1）解：由得当时当时∴∵抛物线经过点∴解得：∴抛物线的函数表达式为（2）解：∵当时∴∵点是的中点时∴∴整理得：解得：∵点不与点重合∴（3）解：∵∴∵∴∴由（）知∴∵∴∴在中∴∴∴当时有最大值此时∴．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质勾股定理相似三角形的判定与性质解一元二次方程解题的关键是学会添加常用辅助线构造三角形解决问题学会利用参数表示线段的长解决问题属于中考压轴题．7．(1)(2)当时(3)见解析【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性等腰直角三角形性质全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据对称性求出点B的坐标即可求出的长（2）由AB的坐标求出抛物线解析式求出顶点可得y的取值范围（3）分别过作直线的垂线垂直为根据为等腰直角三角形可得得到得根据即得．【详解】（1）抛物线与轴交于两点且对称轴为直线（2）∵抛物线与轴交于两点．∴．．．当时．∵当时当时．（3）分别过作直线的垂线垂直为．则．．又为等腰直角三角形．．．．．．．∵∴．．．．8．(1)(2)(3)存在点的横坐标为或【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解（2）求出直线的解析式为设则进而求得的表达式根据二次函数的性质即可得出答案（3）分两种情况①若②若由相似三角形的性质可求出的长求出点坐标联立直线和抛物线的解析式可求出答案．【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点∴解得∴该抛物线的解析式为（2）解：∵抛物线的解析式为∴时∴∴．∵∴．∵∴设直线的解析式为∴∴∴直线的解析式为设则则∵∴时有最大值∴的最大值为．（3）解：∵∴若以为顶点的三角形与相似可分两种情况：①若∴∴∴过点作于点∴∴∴∴直线的解析式为∴∴②若∴∴∴∴同理的解析式为∴∴综上所述点Q的坐标为点Q的横坐标为或．【点睛】本题是二次函数压轴题考查了二次函数的图象与性质待定系数法图形面积计算相似三角形的判定与性质等知识点熟练掌握二次函数图象和性质相似三角形的性质等相关知识是解题关键．9．(1)线段所在直线的函数表达式(2)3【分析】（1）分别令解方程即可得到ABC三点的坐标再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式（2）根据题意结合（1）线段所在直线的函数表达式设点P的坐标为点N的坐标为由利用二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：在中令则点C的坐标为令则即解得：或点A在点B的左侧点A的坐标为点B的坐标为设线段所在直线的函数表达式为将点代入得解得：线段所在直线的函数表达式为（2）解：点P在抛物线上设点P的坐标为轴交于点N点N的坐标为点P在线段上方的抛物线上且且当时有最大值线段长的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质二次函数的最值一次函数的性质解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．10．(1)抛物线为：(2)(3)点的坐标为：）或．【分析】（1）由题意设抛物线为再进一步解答即可（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点结合轴对称最短路径可得的周长为最小根据点的坐标可求出直线的解析式是由抛物线的对称轴为代入直线的解析式即可求解（3）根据平行四边形的判定和性质可得设点则由此列方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点∴∴解得：∴抛物线为：（2）解：由（1）可知抛物线的表达式为：∴对称轴为直线∴点关于抛物线对称轴得对称点为点∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置即的周长为最小∵设直线的解析式为：∴解得∴直线的解析式为：∵抛物线的对称轴为直线∴当时则点（3）解：∵设直线为∴解得：∴直线的解析式为∴如图所示设点根据过点作轴的平行线交抛物线于点四边形为平行四边形则∴∴∴解得：∴当时∴即当时∴即∴点的坐标为：）或．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式轴对称最短路径的计算方法平行四边形的判定和性质的综合掌握二次函数图象的性质是解题的关键．11．(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为再求解再求解一次函数的解析式即可（2）如图过作轴交于连接设则再利用二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于∴∴∴令则解得：∴令时∴设直线为∴解得：∴直线为（2）解：如图过作轴交于连接设则∴∴当时面积最大而为定值∴此时最大∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数二次函数的解析式二次函数与面积问题线段问题熟练的利用二次函数的性质解题是关键．12．(1)(2)(3)①②时有一个交点时有两个交点时有一个交点【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式二次函数的图像和性质等腰直角三角形的性质熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）求出点坐标再将代入进行求解即可（2）过点作于点作轴交直线于点交轴于点证明为等腰直角三角形得到求出直线的解析式令则求出的长根据二次函数的性质求出最大值得到结果（3）①将坐标表示出来得到根据题意分两种情况进行讨论即可②由题意求出得到与对应的函数值相等从而得到答案．【详解】（1）解：点的坐标为①令则②由①②可得（2）解：过点作于点作轴交直线于点交轴于点轴为等腰直角三角形设直线解析式为：将代入解得设点当时有最大值此时且（3）解：①由题意可知当点在点右侧时此时线段的长度随的增大而增大不符合题意当点在点左侧时此时线段的长度随的增大而减小②由①得当重合时解得的对称轴为直线与对应的函数值相等时有一个交点时有两个交点时有一个交点．13．(1)(2)(3)F点坐标或F点坐标为【分析】（1）先求出将代入解方程组即可（2）设其中求解结合再建立方程求解即可（3）过点作轴于点G过点E作于点H由（1）得一次函数解析式为：设则则得到可得或得到为等腰直角三角形在中由勾股定理得而则在中由勾股定理得故当时此时当时此时【详解】（1）解：当解得：或∴当∴将代入得：解得：（2）解：由（1）得直线为∵过点C的直线交线段于点M∴设其中∵∴∵∴解得：∴（3）解：过点作轴于点G过点E作于点H由（1）得一次函数解析式为：∵点在直线上∴设则∴∴解得：或∴或∵∴而∴∵轴∴∵∴为等腰直角三角形∴在中由勾股定理得又轴∴∴在中由勾股定理得∴当时此时∴当时此时∴综上所述：或【点睛】本题考查了二次函数与面积的综合题涉及待定系数法求一次函数解析式抛物线与坐标轴的交点问题勾股定理等知识点熟练掌握知识点是解题的关键．14．(1)(2)(3)点E的坐标为【分析】（1）由待定系数法即可求解（2）由即可求解（3）由时则即可求解．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点∴直线解析式