山西省某中学2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试卷（含答案）

山西省实验中学

20242025学年第二学期第四次质量监测（卷）

八年级数学

（本试卷满分100分，考试时间90分钟）

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.若。>方，则下列不等式成立的是（）

A.a—1<6—1B.—3。>—3b

C.a+16>b+16D.—<—

55

2.一元一次不等式-xW2x+3的最小整数解是（）

A.0B.1C.-1D.3

3.如图，在RtAABC中，NC=90。,NB=30。,AB=4,则下列各图中的直角三角形与RtAABC

全等的是（）

4.不等式3x+l<2x的解在数轴上表示正确的是（）

A.-------1-----------------------1-----------1----------►B.-------1-----------A-----------1-----------1---------►

-2-101-2-101

C.-------1-----------------------1-----------1---------►D.-------1-----------A----------1----------1--------->

-2-101-2-101

5.如图，在△NBC中，AB=AC,ZC=30°,ABVAD,AD=5cm,则8c的长为（）

试卷第1页，共6页

A

6.如图，△NBC是等边三角形，BD1AB,BD=AB,则N/OC的度数为（）

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

7.如图，过点。分别作DE，/瓦。尸，/C,垂足分别为点E,F,且DE=DF,连接跖

与4D相交于点。则下列结论不一定成立的是（）

C.OD=OFD./士=4FAD

8.一个工程原定在10天内至少要挖土600m,在前两天一共完成了120m3,由于整个工程

调整工期，要求提前两天完成挖土任务，以后6天平均每天至少要挖土（）m3

A.56B.60C.72D.80

9.如图，已知一次函数y=fcc+6的图象与x轴交于点/（3,0）,与正比例函数y=%x的图

象相交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x的不等式6+6〈加x的解集为（）

A.x<lB.x>lC.x<3D.x>3

试卷第2页，共6页

10.如图，MBC中，4。为中线，点E为48上一点，AD,CE交于点、F,且/£=跖.

若/2=5,则CF=（）

二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.用反证法证明命题”一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设

12.函数y=x+2的图象如图所示，当>>0时，x的取值范围是.

13.如图，在等腰△ABC中，AB=BC=5,AC=6,//3C的平分线交NC于点。，M、

N分别是BD和5c上的动点，则CM+MN的最小值是.

\2x—a<X/、/、

14.已知不等式组一…的解集为T<x<l，则（。+1）伍-1）的值为一

15.如图，ZX/CE中，AC=AE,延长EC至点8,2。1/E交互4的延长线于点D,若

ZBAD=ZCAE,AB=6,AE=2,则3E的长为.

三、解答题（本题共8个小题，共55分）

试卷第3页，共6页

16.下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解不等式：言一1<生产

解：3（x+5）-6<2（3x+2）.……第一步

3x+l5-6<6x+4....第二步

3x-6x44+6-15第三步

-3x<-5……第四步

x<|……第五步

任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据进行变形的.

②第步出现错误，这一步错误的原因是.

任务二：请直接写出该不等式的正确解集.

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给

其他同学提一条建议.

7x+10>4（x+l）

17.解不等式组x-8将解集在数轴上表示出来.

x-5<----

13

18.如图，在Rta4BC中，ZACB=90°,。是上的一点，BD=BC,过点。作的

垂线交NC于点E,CD交BE于点、F.求证：BE垂直平分CZ）.

19.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开.”为了感受大自然，描绘大自然的美景，小明和同

学打算购买画板与画笔两种写生工具.已知购买1个画板需要15元，1盒画笔需要17

元.若需要画板个数和画笔盒数总共为10,且购买这些写生工具的总费用不超过157元，

请问最少购买多少个画板？

20.已知长方形纸片ABC。，点尸是A8上一点，将纸片沿尸C折叠，使点2的对应点"刚

好落在上.

试卷第4页，共6页

AD

(1)请用直尺和圆规作出点P；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若43=8,AD=\Q,求3尸的长.

21.某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比

购买1台Z型健身器材贵200元，购买2台/型健身器材和5台B型健身器材共花8000元.

(1M型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？

(2)该小区计划购买8型健身器材的数量不得超过n型健身器材，购买资金不低于10800

元.请通过计算说明共有几种购买方案？

22.项目化学习.

项目主题：优化运输方案

项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方,

物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便.某校综合实践活动小组以探究“优化某

企业运输方案”为主题开展了项目化学习.

驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系

研究步骤：

①收集某公司每月运往各地商品的信息；

②对收集的信息，用适当的方法描述；

③信息分析，形成结论.

数据信息：

信息1,某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往B,。三地，其中运往C地

的总费用与运往/地总费用相同；

信息2,各地的运费如下表所示：

运送地点A地8地C地

运费(元/件)402030

问题解决:

试卷第5页，共6页

⑴设每月运往/地的商品X件，运往8地的商品〉件，则运往C地的商品为一件（用含X,

丁的式子表示），请写出了与x之间的数量关系为夕=_；

⑵设运往4B,C三地的总运费为川（元），试写出w与x的函数关系式；

（3）若某月运往B地的商品件数不超过运往/地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件

才能使总运费最少？最少为多少元？

23.综合与实践

如图，在等腰直角△NBC中，点D是斜边42上的动点（点。与点N不重合），连接C。，

以CD为直角边在CD的右侧构造等腰Rt^CDE,NACB=NDCE=90°,连接BE.

特例感知

（1）如图1,请判断与/。之间的位置关系和数量关系，并说明理由；

拓展应用

（2）点尸与点C关于对称，连接。尸，EF,BF,如图2.已知/C=6,设4D=X.

①ACBE的面积为（用含x的代数式表示）；

②当BF=2时，请直接写出/。的长度.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的

方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都

乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质逐项判断解题.

【详解】解：A.不等式的两边都减1,不等号的方向不变，故A错误；

B.不等式的两边都乘以-3,不等号的方向改变，故B错误；

C.不等式的两边都加16,不等号的方向不变，故C正确；

D.不等式的两边都除以5,不等号的方向不变，故D错误；

故选：C.

2.C

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.

先移项，合并同类项，然后系数化为1,得出不等式的解，最后得出最小整数解即可.

【详解】解：-x<2x+3

—x—2x«3

—3x«3,

解得：x>-l,

••.最小整数解是-1,

故选：C.

3.A

【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS,SAS,ASA,AAS,HL可筛选出答案.

【详解】•••RtaABC中，ZC=9O°,NB=30。，♦•ZA=6O。，AC=2,

A、此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；

B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；

C、此选项中是60。角所对的直角边是2,不能判定三角形全等，故此选项错误；

D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法；判定两个直角三角形全等的方法有:

SSS、AAS、ASA、AAS、HL五种.做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.

4.B

【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可.

答案第1页，共14页

【详解】解：3x+l<2x

解得：X<-1,

在数轴上表示其解集如下:

-----1-------15-------1-------1--------->

-2-101

故选B

【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向

左拐”是解本题的关键.

5.D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度的直角三角形,

掌握相关知识点是解题关键.由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到

ZS=ZC=30°,/A4c=120。，进而得到/C/。=30。=NC,从而推出4。=CD=5cm,

BD=2AD=10cm,即可求出2c的长.

【详解】解：=ZC=30°,

:"B=NC=30°,

ABAC=120°,

ABIAD,

ABAD=90°,

:.ZCAD=30°=ZC,

AD=CD=5cm,

在RM45D中，Z5=30°,

/.BD=2AD=10cm,

/.BC=BD+CD=15cm9

故选：D.

6.D

【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等

边三角形的性质可得出24=8C、NN8C=60。，由8。_L48、5。=A8可得出为等腰

直角三角形，进而可得出乙42。=90。及2。=5C,再根据等腰三角形的性质结合三角形内

角和定理即可求出/BOC的度数即可得出结论.

答案第2页，共14页

【详解】解：•・•△/8C为等边三角形，

BA=BC,AABC=60°.

vBD1AB,BD=AB,

为等腰直角三角形，

...NABD=90°,BD=BC,NADB=ABAD=45°,

ZCBD=ZABC+ZABD=150°,

NDCB=ZBDC=；(180。一NCBD)=15°,

ZADC=ZADB-ZCDB=45°-15°=30°.

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练

掌握知识点是解题的关键.

根据角平分线的判定得到4D平分/A4C,可判断D、也可证明Rt△/及理RtANED(HL),

贝=再由三线合一即可证明A.

【详解】解：^DE=DF,

.••N。平分ZR4C,

"EflD=AFflD,

■：AD=AD,DE=DF,

Rt△AED=Rt△(HL),

・•・AE=AF,

•••NO平分ZR4C,

OE=OF,

故A、B、D均正确，不符合题意，

现有条件证明不出C选项，故符合题意，

故选：C.

8.D

【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设后6天平均每天要挖土xn?,根据题意可得

不等式，解不等式即可.

【详解】解：设后6天平均每天要挖土皿？，

答案第3页，共14页

则120+6x2600,

解得：x>80,

・•・平均每天至少要挖土80m3,

故选：D.

9.B

【分析】根据图象得出P点横坐标为1,观察函数图象得在P点右侧，的函数在>=

kx+b的函数图象上方，由此得到不等式依+6〈加x的解集为x>l.

【详解】解：由图象可知：尸点横坐标为1,

当x>l时，的函数在》=船+6的函数图象上方，即AX+6</MX,

所以关于x的不等式kx+b<mx的解集是尤>1.

故选：B.

【解答】本题考查一次函数与一元一次不等式的理解与掌握，解题的关键是根据图象得出当

x>l时，kx+b<mx.

10.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质•正确做出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

延长/。至点G,使。G=4。，连接CG,证明gAGCO(SAS),再运用全等三角形的

性质可得/B=CG,NG=NEAF,然后运用等腰三角形的性质可得CG=CF,进而求解即

可

【详解】解：如图，延长4D至点G,使。G=/。，连接CG.

因为5。=CD,ZADB=ZGDC,

所以段AGCD(SAS).

答案第4页，共14页

所以/8=CG,NG=NEAF.

因为/E=EF,

所以/E4F=NEF4.

又因为N£E4=NCFG,

所以NG=/GA?,

所以CG=CF.

所以/3=CF=5.

故选B.

11.一个三角形中有两个角是直角

【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可.

【详解】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中

有两个角是直角.

故答案为一个三角形中有两个角是直角.

【点睛】此题考查反证法，解题关键在于掌握其证明过程.

12.x>-2##—2<x

【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一元一次函数与不等式，掌握一次函数的图象

和性质是解题的关键.

根据一次函数图象确定不等式的解集，即可解答.

【详解】由函数>=x+2的图象可知，当x=-2时，y=0,

当x>-2时，函数图象在x轴上方，

当y>0时，即x+2>0,

・,•x>—2,

答案为：x>-2.

13.—

5

【分析】过点/作于N交8。于〃，根据轴对称和由垂线段最短确定最短路线问

题，/N的长度即为CN+MN的最小值，根据勾股定理与等面积法求解即可.

【详解】解：如图，由垂线段最短，过点/作NN,3c于N交8。于"，

答案第5页，共14页

D

・・•△/3C是等腰三角形，是/48C的平分线,

••.8。垂直平分/。，AD=CD=3,

.•・♦、C关于8。对称，BD=<52"=4,

由轴对称性质，AM=CM,

.■.CM+MN=AM+MN=AN,此时值最小，

由等面积法可得：-xAC-BD=~xBC-AN,

22

.-.6x4=5AN,

24

.-.AN=—,

24

；.CM+九W的最小值是行.

24

故答案为：—.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，确

定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观.

14.-6

【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解.先

求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出。、6的值，再

代入代数式进行计算即可得解.

2x-a<1①

【详解】解:

尤-26>3②

解不等式①:

2x—a<\,

2x<a+1,

a+1

x<------

2

答案第6页，共14页

解不等式②:

X-2/J>3,

x>3+26,

•・.不等式组的解集为：3+26<x<一,

・.・不等式组的解集为

3+2/>=-1,———=1,

2

解得：b=-2,<7=1,

(a+l)(Z>-l)=(l+l)(-2-l)=-6,

故答案为：-6.

15.46

【分析】延长/。至点G,使得/O=OG,连接8G,即有2。垂直平分4G,则有

AB=BG,ABAD=ZBGD,再证明ZC〃BG,则有NG3£=NNC£,根据NC=/E,有

NACE=NAEC,进而有/GAE=//EC,则BG=GE,然后由勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，延长AD至点G,使得4D=DG,连接2G,

vBDLAG,AD=DG,

.•.8。垂直平分NG,

AB=BG,

AB=6,

・•.BG=6,

・•.ABAD=/BGD,

•・•ABAD=/CAE,

・•・ZCAE=ZBGD,

：.AC//BG,

・•.ZGBE=/ACE,

答案第7页，共14页

AC=AE,

ZACE=ZAEC,

・•.NGBE=ZAEC,

・•.BG=GE,

•・•BG=6,

.・・G£=6,

vAE=2,AD=DG,GD+AD+AE=GE,

AD=2,DE=4,

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=62-22=32,BE2=BD2+DE2,

■■■BE2=32+^=48,

•••BE=AC,

故答案为：46.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，平行的判定与性质，等角对等边，等边对等角，勾

股定理的知识，构造辅助线2G,证明3G=GE是解题的关键.

16.不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x>|,见解析

【分析】根据不等式的性质及解一元一次不等式的步骤可进行求解.

【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的;

②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变.

任务二：六一IV女

3（x+5）-6<2（3x+2）,

3x+15-6<6x+4,

3x—6xK4+6—15,

—3x«—5,

任务三：去分母和化系数为1可能用到性质3,不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数,

不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向.

故答案为：不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x>|,不等式的两边都乘以（

答案第8页，共14页

或都除以）同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关

键.

一7,

17.-2<x<—,图见解析

【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是掌

握解一元一次不等式的步骤和依据及确定不等式组的解集的口诀:大大取较大,小小取较小，

大小小大中间找，大大小小无处找.

分别求出每个不等式的解集，继而可得不等式组的解集.再把解集在数轴上表示即可.

【详解】解：解不等式7X+10N4（X+1）,得：x>-2,

解不等式X-5<T，得：%<p

7

原不等式组的解集：-2<x<j,

解集数轴表示：

II।III161A

-4-3-2-1012374

2

18.见详解

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等

三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；先证

RME8C丝RtAE3Z>（HL）,即可得出BE是上D8C的角平分线，再根据等腰三角形三线合一

即可得证.

【详解】证明：•・•//C3=90。，且DEJ.AB,

4EDB=ZACB=90°,

在RLEBC和RtAEBD中,

\BD=BC

\EB=EB'

・•.Rt^EBC^RtAEBD（HL）,

ZCBE=/DBE,

•「BD=BC,

答案第9页，共14页

.,.A8OC是等腰三角形,

BFrCD,CF=DF,

BE垂直平分CD.

19.最少购买7个画板.

【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键.根据题意

列出不等式解题即可.

【详解】解：设购买加个画板，则购买(10-加)盒画笔.

根据题意，得15加+17(10-^)4157,

13

解得〃心

,•”为正整数，

，加的最小值为7.

故最少购买7个画板.

20.⑴见解析

(2)AP的长为5.

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理.

(1)以点C为圆心，C8为半径作圆作弧，交4D于点"，连接C8',作的平分线交

N8于点尸即可；

(2)证明APCB也APCB'(SAS),推出瓶=P9，设PB=PB'=x,则/P=8-x,求得

5,D=V102-82=6.得至1」/8'=4,在中，由勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：如图，点尸即为所作;

(2)解：由作图知，CB=CB',NPCB=NPCB',PC=PC,

.•.△PCB%PCB[SAS),

：.PB=PB',

答案第10页，共14页

设PB=PB'=x,则/尸=8—x,

•••长方形纸片/BCD,

ZA=ZD=90°,AD=CB=CB'=10,CD=AB=8,

B'D=V102-82=6，

•••AB'=10—6=4,

在中，

由勾股定理得AP2+AB'2=PB'2，即（8-尤y+42=/,

解得x=5,

・•.BP的长为5.

21.（IM型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元

（2）共有2种购买方案

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意,

正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键.

（1）设/型健身器材的单价是x元，8型健身器材的单价是y元，根据“购买1台8型健身

器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台/型健身器材和5台B型健身器材共花

8000元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买他台N型健身器材，则购买（1。-加）台5型健身器材，根据“购买2型健身器

材的数量不得超过N型健身器材，购买资金不低于10800元”，即可得出关于m的一元一次

不等式组，解之即可得出机的取值范围，再结合加为整数，即可求解.

【详解】（1）设N型健身器材的单价是x元，8型健身器材的单价是y元，

y—x=200

依题意得:

2x+5y=8000

x=1000

解得:

3^=1200

答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元.

（2）设购买加台/型健身器材，则购买（1。-加）台2型健身器材，

10-m<m

依题意得:

1000/M+1200（10-m）>10800

答案第11页，共14页

解得：5<m<6.

又•.•利为整数，

・••加可以为5,6,

・二共有2种购买方案.

7

22.⑴(2000-x-y)；y=--x+2Q0Q

(2)w=x+40000

(3)最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元

【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，列代数式，能够根据题意列

出不等式，和等量关系式解决本题的关键.

(1)根据每月要将某企业的2000件商品分别运往B,C三地，即可求出运往C地的商

品数；由运往C地的总费用与运往/地总费用相同，即可得到了与x之间的数量关系；

(2)根据题意将运往4B,C三地的总费用相加即可；

(3)根据题意列出不等式，解不等式，结合(2)中总费用关系式，利用一次函数的性质即

可得.

【详解】(1)解：根据题意得：运往C地的商品为(2000-x-切件，

••・运往C地的总费用与运往/地总费用相同，

7

40x=30(2000-x-y),即/=-；》+2000

一7

..)与x之间的数量关系为：y=--x+2000.,

(2)解：运往/地的总费用为：40x,

(7、140

运往8地的总费用为：20y=20-yx+2000\=--x+40000,

运往C地的总费用为：40%，

.•.w=40x+40x+|x+40000|=—x+40000；

I3)3

7

(3)解：根据题意得：-］元+2000VX,

解得：x>600