四边形中的证明与计算问题（4类题型）-2025年中考数学二轮复习热点题型专项训练（原卷版）

专题09四边形中的证明与计算问题

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算....................................................1

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算..........................................................5

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算.........................................................10

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算.......................................................15

中考练场.................................................................................................21

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块的核心内容之一，它依托平行四边形独特的

性质，综合考查学生对几何知识的理解与运用，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对平行四边形性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的熟练运用，以及基于这

些性质进行几何证明和边角计算，同时考查能否结合其他几何图形知识解决综合问题。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是平行四边形；利用平行四边形性质证明线段相等、角相等或直线平行；已

知平行四边形部分边角条件，计算其他边角的大小；在平行四边形与三角形等组合图形中，进行边角关系的推理与计

算。

3.高频考点：考点集中在平行四边形的判定定理（如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、

两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形）的应用，平行四边形性质在证明和计算中的运用，以及

平行四边形与三角形全等、相似等知识的综合考查。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够依据已知条件合理选择平行四边形的判定与性质进行证明和计

算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出平行四边形及相关几何关系；掌握扎实的几何运算能力，准确求

解边角数值。

5.易错点：易错点在于判定平行四边形时条件使用不充分或错误；在运用平行四边形性质时，对边、角、对角线关系

混淆；在综合图形中，不能有效整合平行四边形与其他图形的性质，导致证明和计算出错；计算过程中粗心大意，出

现数值计算错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

L平行四边形的性质:―――

①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

符号语言：：AB〃DC,AB=DC,.♦.四边行ABCD是平行四边形

②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：：AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四边行ABCD是平行四边形.

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

符号语言：VZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,二四边行ABCD是平行四边形

④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

符号语言：0OA=OC,OB=OD,回四边行ABCD是平行四边形

【典例分析】

例1.（2024・山东济宁・中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC,2。相交于点O,。4=OC,请补充一个条件

使四边形45co是平行四边形.

例2.（2024・四川巴中・中考真题）如图，ABCD的对角线AC、3。相交于点。，点E是BC的中点，AC=4.若ABCD

的周长为12,则COE的周长为（）

AD

a

A.4B.5C.6D.8

例3.（2024•浙江・中考真题）如图，在中，AC,8。相交于点O,AC=2,BD=273.过点A作AEL8C的垂

线交BC于点E,记班长为x,8c长为y.当尤，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

例4.（2024•黑龙江大庆.中考真题）如图，平行四边形ABC。中，AE.CF分别是一54。，/BCD的平分线，且£、

厂分别在边BC,AD上.

⑴求证：四边形MCF是平行四边形；

⑵若NADC=60。，DF=2AF=2,求「.GO尸的面积.

例5.（2024•山东青岛•中考真题）如图，在四边形438中，对角线AC与8。相交于点。，ZABD=NCDB,BEYAC

于点E,于点F,且庞;=£>F.

（1）求证：四边形ABC。是平行四边形;

⑵若AB=BO,当-43E等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时大的值.

【变式演练】

1.（2025・浙江温州•模拟预测）如图，在，ABCD中，E是BC边上一点，AB=AE,AD=DE,若N3=70。，则NCDE

的度数为.

2.（2025•河南焦作•一模）如图，在ABCD中，NA=80。，点E是C。边上一点，且3。平分若NCBE=20。,

BE=a,EC=b,贝UABCD的周长为（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+3bD.6a-3b

3.（2024・贵州・模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC与3D相交于点。，且AO=C。，点E在8D上，满足AE//CD.

⑴判断四边形AECD的形状，并证明；

（2）若AB=3C,CD=5,AC=8,求四边形AEC。的面积.

4.（2024・广东揭阳•一模）如图，在四边形ABCD中，/A=/C=90。，AD=CD,点、E,尸分别是AB,BC上的点,

连接DE,DF,EF,且ZADF=/CDE.

c

（1）求证：AED"CFD；

（2）若DE=2AE=4,DEBC,求BC的长.

5.（2025•河北沧州•模拟预测）已知在VABC中，AB=AC,点。在BC上，以AZXAE为腰作等腰三角形ADE,且

ZADE=ZABC.连接CE,过E作交C4延长线于连接3M.

（2）求四边形MBDE的形状，并加以证明.

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块中对特殊平行四边形深入研究的重要内容，依托矩

形特有的性质，综合考查学生对几何知识的掌握与运用能力，常与三角形等知识融合,在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对矩形性质（四个角是直角、对角线相等且互相平分）的透彻理解与灵活运用，基于这些性质

开展几何证明，以及结合勾股定理、相似三角形等知识进行边角的精确计算，并关注与其他几何图形性质的关联运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是矩形；利用矩形性质证明线段相等、角相等、直线垂直；已知矩形的边长、

对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积等边角及图形相关数值；在矩形与三角形、其他四边形构成的

复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在矩形判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、三

个角是直角的四边形是矩形）的准确应用，矩形性质在证明和计算中的运用，以及矩形与直角三角形（由矩形内角为

直角产生）、等腰三角形（对角线相等产生）相关知识的综合考查，例如运用勾股定理求边长、借助相似三角形求线段

比例。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选用矩形的判定和性质进行严密证明；拥有

良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出矩形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知识在矩形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定矩形时条件使用错误或不完整，比如仅依据对角线相等就判定四边形是矩形；在运用矩形

性质时，混淆对角线与边、角之间的关系，致使证明出错；在计算边角时，因对矩形中特殊三角形（直角三角形、等

腰三角形）的性质理解不深，运用勾股定理、相似三角形知识出现偏差；在综合图形中，不能有效整合矩形与其他图

形性质，导致思路中断。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.矩形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的

对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.矩形的判定：

（1）直接判定：

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

（2）利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024・四川巴中•中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与30交于点0,DE人AC于点E,延长DE与交

于点尸.若AB=3,BC=4,则点尸到的距离为.

例2.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在矩形ABC。中，瓦/是边2C上两点，S.BE=EF=FC,连接

与AF相交于点G,连接2G.若AB=4,BC=6,贝Usin/GB/的值为（）

101033

例3.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图，在VABC中，AB=AC,。是8C的中点，CE//AD,AEYAD,EF1AC.

⑴求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若8C=4,CE=3,求取的长.

例4.（2024•湖北武汉•中考真题）问题背景：如图（1）,在矩形A2CD中，点E,尸分别是AB,BC的中点，连接8D,

EF,求证：△BCD^AFBE.

问题探究：如图（2）,在四边形ABCD中，AD//BC,/3CD=90。，点E是A8的中点，点尸在边3c上，AD=2CF,

EF与BD交于点G,求证：BG=FG.

FG

问题拓展：如图⑶，在“问题探究'’的条件下，连接AG,XD,AG=FG'直接写出谈的值.

例5.（2024.湖北武汉.中考真题）问题背景：如图（1）,在矩形ABC。中，点E,尸分别是AB,8C的中点，连接2D,

EF,求证：△BC/AFBE.

问题探究：如图（2）,在四边形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。，点E是AB的中点，点下在边BC上，AD=2CF,

EF与BD交于点G,求证：BG=FG.

问题拓展：如图⑶，在“问题探究”的条件下‘连接AG,AD3AG^FG,直接写出专的值.

【变式演练】

1.（2025•内蒙古包头•一模）如图，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与8。交于点。，AELBD,垂足为点E,

且AE平分/BAO,则A8的长为（）

C.2A/3D.3G

2.（2024・湖南长沙.模拟预测）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,80相交于点。，SLOC=OD.

BC

⑴证明四边形ABC。为矩形；

⑵若/Q4D=30。，BC=6,求△03C的面积；

⑶点E,歹分别是线段。2,上的点，若AE=M,AB=5,AF=1,BE=3,求跳'的长.

3.（2024・湖北.模拟预测）问题情境

在矩形ABC。中，对角线AC,8。交于点。，AD=.以。8为边作正方形OBFE,OE与DC父子点、P,如图1

所示.

图1图2图3

（1）求ND5尸的大小；

实践探究

（2）将正方形芯绕点。逆时针旋转得到正方形03'尸E,OE与矩形的边BC交于点。,

①如图2,当。时，直接写出NOQP的大小；

②如图3,当O夕与BC不垂直时，连接尸。，试探究N。。尸的大小；

结论运用

（3）在（2）的条件下，若BQ=3,求引尸的长.

4.（2024・贵州遵义三模）已知四边形ABC。是矩形，E是A8边上的一点，连接DE,CE,点P是EC上一动点（不与

E、C重合），连接尸3,过点尸作尸交DC于点、F.

【问题感知】

（1）如图（1）,当AD=3,EC=OC=5时，贝IJAE=

【探究发现】

(2)在(1)的条件下，如图(2)当点P运动到EC的中点时，求PF的长.

【拓展提升】

(3)如图(3)当ZBCE=45。时，探究线段CF,BC,CP之间的数量关系，并说明理由.

5.(2024・四川雅安・模拟预测)将一长方形纸片Q4BC放在直角坐标系中，O为原点，点C在无轴上，04=9,OC=15.

图1图2备用图

⑴如图1,在。4上取一点E,将△EOC沿EC折叠，使点。落在A8边上的点。，求线段AE.

(2)如图2,在04,OC边上选取适当的点F,将9沿吹折叠，使点。落在边上的点川处，过点D作DG

垂直于C。于点G,交MF于点T.

①求证：TG^AM；

②设T(x,y),求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示.

(3)在(2)的条件下，当尤=6时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点。使以讯Q,尸为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出。点坐标；若不存在，请说明理由.

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何领域中对特殊四边形深入探究的关键内容，借助菱形区

别于一般平行四边形的特殊性质，全面考查学生的几何思维与解题能力，常与其他几何图形知识综合呈现，在中考数

学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对菱形特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角）的深度理解与灵活运用，以

此为基础进行各类几何证明，以及结合三角函数等知识进行边角的精准计算，并注重与其他几何图形性质的关联应用。

2.高频题型：高频题型包括证明一个四边形是菱形；利用菱形性质证明线段垂直、角平分线关系、线段相等；己知菱

形的边长、对角线长度等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、边长与高的关系等边角数值；在菱形与三角形、其

他四边形组成的复合图形中，推理并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在菱形判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互

相垂直的平行四边形是菱形）的准确应用，菱形性质在证明和计算中的运用，以及菱形与直角三角形（因对角线垂直

产生）、等腰三角形（四条边相等）相关知识的综合考查，如利用勾股定理计算边长、三角函数求角度等。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择菱形的判定和性质进行严谨证明；拥有敏

锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出菱形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，特别是涉及勾股定理、

三角函数等知识在菱形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定菱形时错用或漏用条件，如仅依据对角线垂直就判定四边形是菱形；在运用菱形性质时,

混淆对角线与边、角之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对菱形中特殊三角形（直角三角形、等腰三

角形）的性质把握不准，运用勾股定理、三角函数出错；在综合图形中，无法有效整合菱形与其他图形性质，思路混

乱。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.菱形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

2.菱形的判定：

（1）直接判定：

四条边都相等的四边形是菱形。

符号语言：：AB=BC=CD=DA,.,.四边形ABCD是菱形

（2）利用平行四边形判定:

①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024.山东济南.中考真题）如图，在菱形ABCD中，AEA.CD,垂足为E,C产，AO,垂足为下.

求证：AF=CE.

例2.（2024•江苏宿迁・中考真题）如图，在四边形ABCZ）中，AD//BC,且AD=£>C=gBC,E是BC的中点.下面

是甲、乙两名同学得到的结论：

甲：若连接AE,则四边形ADCE是菱形;

乙：若连接AC,则ASC是直角三角形.

请选择一名同学的结论给予证明.

例3.（2024・云南・中考真题）如图，在四边形ABC。中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且A3〃CD,AD//BC,

四边形£FGH是矩形.

H

D

BFC

⑴求证：四边形A5C。是菱形；

（2）若矩形EFGH的周长为22,四边形ABC。的面积为10,求AB的长.

例4.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）如图，在平行四边形ABCL（中，点P在边AD上，AB^AF,连接所，点。为

郎的中点，AO的延长线交边8C于点E,连接所

⑴求证：四边形4近尸是菱形：

⑵若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,ZBAD=120°,求AE的长.

例5.（2024・江苏盐城・中考真题）如图1,E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点

连接AG、CH交于点N,将四边形A0QV称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形”.

AN

MC

图1图2图3

⑴求证：中顶点四边形AMCV为平行四边形；

⑵①如图2,连接AC、瓦＞交于点。，可得M、N两点都在上，当平行四边形ABC。满足时，中顶点四边

形⑷0CV是菱形；

②如图3,已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.（保留作图

痕迹，不写作法）

【变式演练】

1.（2025•广东深圳•一模）如图，四边形ABC。为平行四边形，对角线AC的垂直平分线口分别交边A。，BC于点E,

F，垂足为0.

⑴求证：四边形AFCE为菱形；

（2）在BC的延长线上取一点G,使CG=OC,连接OG.若b为BC的中点，且NG=15。，AB=8,求二FOG的面积.

2.（2025•湖南长沙•模拟预测）如图，矩形45co的对角线AC与相交于点O,CD〃OE,直线CE是线段OD的垂直

平分线，CE分别交于点EG,连接。E.

⑴判断四边形OCDE的形状，并说明理由；

⑵当CD=6时，求EG的长.

3.（2025•河南郑州•一模）如图，菱形ABC。的对角线AC,BD相交于点0,E是的中点，点八G在上，EF±AB,

OGEF.

⑴求证：四边形OE/G是矩形；

⑵若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.

4.（2025•湖南长沙•一模）如图，在菱形ABCD中，钻=6,48=60。，点瓦厂分别是AB,AD上的动点，满足他=£）F,

连接CE,CF,EF,EF与AC交于点G.

.女-----

-z£--7D

B

⑴求/ECP的度数;

⑵填空：

_AFAE_AFFG_AGAG

①一+—=,②---------=,③一+——=；

CDAC--------------------CDEC--------------------AEAF--------------------

⑶记AAEG的面积为H，AFG的面积为S2，△AEC的面积为S3,AFC的面积为S4.

①若CF?=3AF-FD,求1t的值；

②试判断［+今的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

5.(2025•山东青岛•模拟预测)已知：如图，在菱形ABCD中，AD=10cm,BD=12cm,动点P从点8出发，沿BD方

向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点£(出发，沿D4方向匀速运动，速度为lcm/s,连接尸。，设运动时间为r(s)

(0<?<10).

(I)延长0P交2C于点E,若四边形AQE8是平行四边形，求才的值;

(2)当t为何值时，点尸运动到CD的垂直平分线上？

⑶设四边形A2P。的面积为S(cn?),求5与/的函数关系式.

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块里对特殊四边形深度探究的关键内容，凭借正方

形集矩形与菱形特性于一身的独特性质，全面考查学生对几何知识的综合运用与逻辑思维，常与三角形、其他四边形

知识交织，在中考数学中分值占比约4%-8%»

1.考查重点：重点考查对正方形性质(四条边相等、四个角是直角、对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一

组对角)的深度理解与灵活运用，以此为基础展开几何证明，并结合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识进行

边角的精准计算，同时注重与其他几何图形性质的综合运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是正方形；利用正方形性质证明线段相等、垂直、角平分线关系；已知正方

形边长、对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积、周长等边角及图形相关数值；在正方形与三角形、

其他四边形组成的复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系与图形面积。

3.高频考点：考点集中在正方形判定定理（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形、对角线互相垂直

且相等的平行四边形是正方形、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形）的准确应用，正

方形性质在证明和计算中的运用，以及正方形与等腰直角三角形（由正方形性质产生）、全等三角形、相似三角形相关

知识的综合考查，如运用勾股定理求对角线长度、借助全等三角形证明线段关系。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择正方形的判定和性质进行严谨证明；拥有

敏锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出正方形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，尤其是勾股定理、

全等与相似三角形知识在正方形边角计算与图形关系推导中的应用。

5.易错点：易错点在于判定正方形时条件使用不充分或错误，如仅依据四条边相等就判定四边形是正方形；在运用正

方形性质时，混淆边、角、对角线之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对正方形中特殊三角形（等腰

直角三角形）的性质把握不准，运用勾股定理、全等与相似三角形知识出错；在综合图形中，无法有效整合正方形与

其他图形性质，思路混乱。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.正方形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正

方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组

对边中点的直线也是对称轴。

2.正方形的判定：

（1）利用平行四边形判定：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

（2）利用菱形与矩形判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2024•内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，边长为2的正方形ABCZ）的对角线AC与5。相交于点0.E是BC边

上一点，F是BD上一点,连接若DEF与.DEC关于直线DE对称，则厂的周长是（）

C.4-2aD.V2

例2.（2024.山东东营・中考真题）如图，在正方形ABCZ）中，AC与80交于点。,8为A3延长线上的一点，且明=班）,

连接分别交AC,BC于点E,F,连接跖，则下列结论：@—=—；②tan/H=布-1；③BE平分NCBD；

BF2

④2AB2=DEDH.

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.（2024•江苏徐州•中考真题）已知：如图，四边形ABC。为正方形，点E在8。的延长线上，连接丛EC.

(1)求证：EAB£ECB；

⑵若NA£C=45。，求证：DCDE.

例4.（2024・四川南充・中考真题）如图，正方形ABC。边长为6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE,点尸在48

边上以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时点。在BC边上以2cm/s的速度由点C向点8运动，设运动时间为/秒

（0<r<3）.

⑴求证：AEPsCEQ.

⑵当△EPQ是直角三角形时，求才的值.

（3）连接AQ,当tanNA0E=（时，求△AEQ的面积.

例5.（2024・海南・中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点8、C重合），N1=N2,AE=EF,AF

⑵如图2,石以，诙于点尸，交A£）于点

①求证：点P在/ABC的平分线上；

②当啜=根时，猜想AP与的数量关系，并证明；

DH

③作HN_LAE于点N,连接MN、HE,当MN〃/ffi1时，若AB=6,求BE的值.

【变式演练】

1.(2024・安徽蚌埠•模拟预测)己知正方形MC。中，E为CD垂直平分线上一点，E,F关于直线8。对称，BF

和EO相交于点G,求证：

(1)AE.LBF；

(2)AG//BD.

2.(2024•福建龙岩•模拟预测)如图，点E为正方形ABC。对角线AC上一点，连接。E,过点E作交射线

BC于点凡以所为邻边作矩形DEEG,连接CG.

⑴求证：矩形。EPG是正方形；

(2)若NCDG=30。，求——的值.

EC

3.(2023•吉林松原•模拟预测)已知正方形A2CZ)边长为1,对角线AC,8。相交于点。，过点。作射线OE,OF,分

(1汝口图1,当时，求证：四边形AEOP是正方形；

(2)如图2,将射线OE,OF绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段OE与。尸的数量关系，并给出证明；

②四边形OEAF的面积为二

(3)如图3,在四边形PQWN中，PQ=PN,NQPN=NQMN=90。,连接尸Af.若尸M=9,请直接写出四边形尸QWN的

面积.

4.(2024.四川南充.模拟预测)如图1,正方形ABCL(中，对角线AC与50相交于点。，在线段A0上任取一点尸(端

点除外)，连接尸口、PB.将线段DP绕点尸逆时针旋转，使点。落在54的延长线上的点。处.

(1)当点P在线段A。上的位置发生变化时，NDP。的大小是否发生变化？请说明理由；

(2)如图2,作于点M,作PN人AD于点N,作PELAO交AB于点E,作EFLO8于点R请你写出AQ与0P

的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,将(1)中正方形ABCD换成菱形ABC。，且NABC=60。，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，

并说明理由.

5.(2024•江苏盐城・三模)【教材呈现】

(1)如图1,在正方形9CD中，£'是BC上的一点，ABE经过旋转后得到△ADF',

①旋转中心是点；旋转角最少是度.

②爱动脑筋的小明，在CD边上取点G,连接AG、EG,使得NG4E=45。，他发现：GE=BE+DG,他的发现正确吗？

请你判断并说明理由.

【结论应用】

(2)①图1中，若正方形ABC。的边长为。，则CEG的周长为(用含有。的式子表示).

②如图2,在四边形ABCZ)中，ADBC(BC>AD),IB90?,BC=AB=12,E是48的中点，且NDCE=45。，则

£>E的长=.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形ABC。中，Z&W=60°,在线段AD上选一点尸(不与点4。重合)，沿3尸折叠，得到AB尸

在线段CD上取点。，沿B。折叠，使得点C与点M重合，连接AC,分别交线段BP、3。于点G、H,若AG=6,8=4,

求的长.

03中考练场

一、填空题

1.（2025•黑龙江哈尔滨•一模）如图，在正方形ABCD中，BC=3,延长2C至点E,使CE=2,。尸平分/WC交AE于

点、F,则线段OF的长为

2.（2025・重庆大渡口・模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点尸在BC边上，且班'=连接政交

3,连接CE,若CE=CF,则长为

在菱形ABCD中，NB=60。，E,X分别为AB,BC的中点，G,尸分别为线段协,

CE的中点.若线段A8的长为8囱，则星的长为

4.（2025•山西朔州•一模）如图，边长为2的正方形AB8的对角线相交于点。,加为。4上的一点，。0=1,连接.将

绕点M逆时针旋转90。，得到线段MN,点N在边C。上，过点N作NPLAC,则DN的长为

二、解答题

5.（2025・重庆大渡口•模拟预测）如图，在ABCD中，对角线AC与2。相交于点0,NC4B=NACB,过点3作BEJ.AB

交AC于点E.

⑴求证：ABgBEO；

（2）若AB=10,AC=16,求OE的长.

6.（2025・湖北•模拟预测）如图，在ABCD中，点尸在边AD上，AB=AF,连接防，。为防的中点，A。的延长

线交边BC于点E,连接E尸.求证：四边形跖是菱形.

7.（2025・辽宁沈阳•模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,E,尸是对角线80上的点，且BE=DF,连

接AE,CF,AF,CE.求证：四边形AFCE1是菱形.

8.（2025•云南•模拟预测）如图，在「ABCD中，对角线AC,8£＞相交于点0,ADVBD,E是8的中点，过点E作

EF//BD,交BC于点

⑴求证：四边形吆是矩形；

⑵若AD=8,DC=12,求四边形OEEB的面积.

9.（2025•贵州•模拟预测）如图，在।ABCZ）中，对角线AC,8。相交于点0,作/BAD和/BCD的平分线，分别交89

于点G,H,延长AG交BC于点E,延长C"交AD于点

（2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形AECF的形状，并证明.条件①：BD平分NCDF；

条件②：ZBAE=2ZEAC.

10.（2025•黑龙江哈尔滨•一模）已知四边形ABCD+，BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.

（I）如图1，若DCBE,求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2,连接AC,设3DAC相交于点F,若DE垂直平分线段AC,请直接写出图中与NDEC相等的角（NDEC除

外）.

11.（2025•贵州•模拟预测）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动.将直角/MEN的顶点E放在正方形ABC。的对角线

AC上（点E不与A、C重合），其中直角边上河与BC交于点R直角边EN与CD交于点G.

⑴发现：如图，当所与3c垂直时，填空：EFEG.（填“>”、"=”或“<”）

（2）探究：如图，当跖与3c不垂直时，请判断EF与EG之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不

变，请给出证明；

（3）拓展：当族与2C不垂直时，以EF、EG为邻边构造矩形EFHG,连接CH,请直接写出/BC"的度数.

12.（2025・江苏宿迁•模拟预测）如图是一张矩形纸片ABC。，点”是对角线A